廣東省湛江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省湛江市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知兩個(gè)單位向量，滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．參考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．2.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．

參考答案：A三視圖所對(duì)應(yīng)的空間幾何體為一個(gè)半圓錐拼接一個(gè)三棱錐所得，故其體積，故選A.3.已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】通過誘導(dǎo)公式求出sinα的值，進(jìn)而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．4.若變量滿足，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（

）參考答案：B5.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為（

）A.4 B.C. D.2參考答案：B分析：仔細(xì)觀察三視圖，發(fā)揮空間想象力，可知該幾何體是底面為斜邊邊長為2的等腰直角三角形、高為2的直三棱柱，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：由三視圖知，該幾何體是底面為斜邊邊長為2的等腰直角三角形、高為2的直三棱柱，所以該幾何體的表面積為，故選B.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.6.從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球（不放回），則試驗(yàn)結(jié)束.（1）求第一次試驗(yàn)恰摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球概率；（2）記試驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）；（2）的分布列為1234

略7.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足對(duì)任意的，都有，成立，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設(shè)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，則A∪B等于()．A．{x|3≤x＜4}

B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2}

D．{x|x≥2}參考答案：D略9.設(shè)集合U={1，2，3，4}，A=｛1，2｝，B={2，4}，則等于（

）A.{1，4}

B.{1，3，4}

C.{2}

D.{3}參考答案：B10.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，若，則可以是A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程B9【答案解析】D

選項(xiàng)A：x1=1，選項(xiàng)B：x1=0，選項(xiàng)C：x1=或-，

選項(xiàng)D：x1=；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，

g（）=+-2＜0，則x2∈（，），故選D．【思路點(diǎn)撥】首先確定選項(xiàng)A、B、C、D中的零點(diǎn)為x1，從而利用二分法可求得x2∈（，），從而得到答案．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在邊長為2的正方形內(nèi)部任取一點(diǎn)，則滿足的概率為_______．參考答案：略12.a，b為正數(shù)，給出下列命題：①若a2﹣b2＝1，則a﹣b＜1；②若＝1，則a﹣b＜1；③ea﹣eb＝1，則a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，則a﹣b＜1．其中真命題的有

．參考答案：①③①中，a，b中至少有一個(gè)大于等于1，則a+b＞1，由a2-b2=（a+b）（a-b）=1，所以a-b＜1，故①正確．②中＝=1,只需a-b=ab即可，取a=2，b=,滿足上式但a-b=>1故②錯(cuò)；

③構(gòu)造函數(shù)y=x-ex，x＞0，y′=1-ex＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，∵ea-eb=1，∴a＞b，∴a-ea＜b-eb，

∴a-b＜ea-eb=1，故③正確；④若lna-lnb=1，則a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正確．故答案為：①③．

13.若loga4b=－1，則a+b的最小值為

。參考答案：114.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第

項(xiàng).參考答案：六15.已知，設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)可行解的個(gè)數(shù)，則=_______參考答案：略16.設(shè)函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)為上凸函數(shù)．若函數(shù)為上凸函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)任意、、，…，都有（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），稱此不等式為琴生不等式。現(xiàn)有下列命題：①是上凸函數(shù)；②二次函數(shù)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0；③是上凸函數(shù)，若是圖象上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且；④設(shè)A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最大值是。其中，正確命題的序號(hào)是

（寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)）．參考答案：①③④17.如圖圓的直徑,P是AB的延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓的切線,切點(diǎn)為C,連接AC,若,則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，E為PB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求點(diǎn)P到平面ACE的距離．

參考答案：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）

略19.某民營企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙(注：利潤與投資單位：萬元)．

甲

乙（Ⅰ）分別將兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資(萬元)的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元?參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)投資為x萬元,A產(chǎn)品的利潤為萬元,B產(chǎn)品的利潤為萬元.由題設(shè)由圖知=,故=

又

從而.（Ⅱ）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元,則B產(chǎn)品投入10-x萬元,設(shè)企業(yè)利潤為y萬元.令，則.當(dāng).答：當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元,企業(yè)最大利潤為萬元.

20.如圖，點(diǎn)C是以A，B為直徑的圓O上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，S是圓O所在平面外一點(diǎn)，且總有SC⊥平面ABC，M是SB的中點(diǎn)，AB=SC=2．（1）求證：OM⊥BC；（2）當(dāng)四面體S﹣ABC的體積最大時(shí)，設(shè)直線AM與平面ABC所成的角為α，求tanα．參考答案：考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面所成的角．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（1）證明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC；（2）求出四面體S﹣ABC的體積最大時(shí)，，取BC的中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN與SC平行，MN⊥平面ABC，則α=∠MAN，即可求tanα．解答： （1）證明：由于C是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，∵O，M分別為AB，SB的中點(diǎn)，∴OM平行于SA，∴OM⊥BC…（2）解：四面體S﹣ABC的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值…取BC的中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN與SC平行，MN⊥平面ABC，則α=∠MAN，∴…點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四面體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.如圖：⊙O的直徑AB的延長線于弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，=，DE交AB于點(diǎn)F．（1）求證：O，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）求證：PF?PO=PA?PB．參考答案：證明：（1）連接OC，OE，因?yàn)?，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分）又因?yàn)椤螩DE=∠COE，則∠AOC=∠CDE，所以O(shè)，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．…（5分）（2）因?yàn)镻BA和PDC是⊙O的兩條割線，所以PD?DC=PA?PB，…（7分）因?yàn)镺，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以∠PDF=○POC，又因?yàn)椤螪PF=∠OPC，則△PDF∽△POC，所以，即PF?PO=PD?DC，則PF?PO=PA?PB．…（10分）考點(diǎn)：相似三角形的判定．專題：選作題；推理和證明．分析：（1）連接OC，OE，證明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）利用割線定理，結(jié)合△PDF∽△POC，即可證明PF?PO=PA?PB．解答：證明：（1）連接OC，OE，因?yàn)?，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分）又因?yàn)椤螩DE=∠COE，則∠AOC=∠CDE，所以O(shè)，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．…（5分）（2）因?yàn)镻BA和PDC是⊙O的兩條割線，所以PD?DC=PA?PB，…（7分）因?yàn)镺，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以∠PDF=○POC，又因?yàn)椤螪PF=∠OPC，則△PDF∽△POC，所以，即PF?PO=PD?DC，則PF?PO=PA?PB．…（10分）點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查割線定理，三角形相似的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)22.

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)A（-2,0）與點(diǎn)B（2,0）的斜率之積為，點(diǎn)P的軌跡為曲線C。(Ⅰ)求曲線C的方程；(Ⅱ)若點(diǎn)Q為曲線C上的一點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與橢圓的交點(diǎn)為D。求線段MN長度的最小值。

參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)，由題意知

，即化簡得曲線C方程為：（Ⅱ）思路一