固體物理學(xué)教案6-1省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第六章金屬自由電子論物理現(xiàn)象或試驗(yàn)結(jié)果物理模型決定原因結(jié)果與預(yù)言驗(yàn)證修改理論解釋1/49§6.1Sommerfeld自由電子論電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定散射機(jī)制1、自由電子量子模型（模型關(guān)鍵點(diǎn)）電子在一有限深度方勢(shì)阱中運(yùn)

動(dòng)，電子間相互作用忽略不計(jì)電子按能量分布遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)電子填充滿足Pauli不相容原理2/492、電子能量狀態(tài)V0：電子在勢(shì)阱底部所含有勢(shì)能，取V0＝0令有1）.運(yùn)動(dòng)方程3/49方程解：A：歸一化因子，由歸一化條件確定電子能量：V:金屬體積

：電子波矢4/49金屬中原胞總數(shù)：N＝N1N2N32）.周期性邊界條件h

為整數(shù)設(shè)N

是金屬沿基矢

（＝1，2，3）方向原胞數(shù)，周期性邊界條件：

，＝1,2,35/49令：h

為整數(shù)，＝1,2,36/49在k空間中，電子態(tài)分布是均勻，分布密度只與金屬體積相關(guān)在

空間中，波矢

分布密度為每一個(gè)量子態(tài)在

空間中所占體積為：7/493）.能態(tài)密度在能量為E球體中，波矢k取值總數(shù)為考慮電子自旋，如將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)，在能量為E球體中，電子能態(tài)總數(shù)為8/49定義：能態(tài)密度其中：電子能態(tài)密度并不是均勻分布，電子能量越高，能態(tài)密度就越大能態(tài)密度：在E－E＋dE之間單位能量間隔中能態(tài)數(shù)9/493、Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)（電子基態(tài)分布）1）.量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)量子統(tǒng)計(jì)：Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)和Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n＋1/2）粒子（如：電子、質(zhì)

子、中子等），費(fèi)米子遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)規(guī)

律，費(fèi)米子填充滿足Pauli原理經(jīng)典統(tǒng)計(jì)—Boltzmann玻色子：自旋為整數(shù)n粒子（如：光子、聲子等），

玻色子遵從Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律，

玻色子不遵從Pauli原理10/492）.T＝0K時(shí)電子分布T＝0時(shí)，電子分布函數(shù)為f(E)={1EEF00E>EF0EEF001f(E)T＝0——費(fèi)米半徑——費(fèi)米動(dòng)量——費(fèi)米能11/49——費(fèi)米速度在E－E＋dE中電子數(shù)為：dN＝f(E)N(E)dE系統(tǒng)自由電子總數(shù)為T＝012/49——自由電子密度金屬：n：1022~1023cm－3EF0~幾個(gè)eV13/49系統(tǒng)總能量：T＝0定義Fermi溫度：金屬：TF：

104~105K物理意義：構(gòu)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱振動(dòng)能，相當(dāng)于多高溫度

下振動(dòng)能14/49元素EF0

(eV)TF

(104K)元素EF0

(eV)TF

(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度計(jì)算值15/493）.T>0時(shí)分布能量在E－E＋dE之間電子數(shù)為：——Fermi－Dirac分布函數(shù)：電子化學(xué)勢(shì)，其物理意義是在體積不變情況

下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需自由能當(dāng)E＝時(shí)，f()＝1/2，代表填充概率為1/2能態(tài)16/49E

，f(E)快速趨于零當(dāng)E－>幾個(gè)kBT時(shí)，exp[(E－)/kBT]>>1，F(xiàn)ermi－Dirac分布過(guò)渡到經(jīng)典Boltzmann分布E－>幾個(gè)kBT能態(tài)基本上是沒(méi)有電子占據(jù)空態(tài)17/49對(duì)金屬：T<<TF總是滿足，將金屬自由電子氣稱為強(qiáng)簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體－

E>幾個(gè)kBT時(shí)，exp[(E－)/kBT]<<1，f(E)1在強(qiáng)簡(jiǎn)并情況下，EF（EF是T>0時(shí)費(fèi)米能）量子力學(xué)中能量簡(jiǎn)并性：能量簡(jiǎn)并性；金屬自由電子氣簡(jiǎn)并性：統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)并性，即指金屬

自由電子氣與理想氣體遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律差異性對(duì)于半導(dǎo)體，n~1017cm-3，其TF~102K

當(dāng)T~TF時(shí)，其分布已經(jīng)很靠近于經(jīng)典分布了－

E>幾個(gè)kBT能態(tài)基本上是滿態(tài)18/49對(duì)于金屬而言，因?yàn)門<<TF總是成立，所以，只有費(fèi)米面附近一小部分電子能夠被激發(fā)到高能態(tài)，而離費(fèi)米面較遠(yuǎn)電子則仍保持原來(lái)（T＝0）狀態(tài)，我們稱這部分電子被“冷凍”下來(lái)。所以，即使金屬中有大量自由電子，不過(guò)，決定金屬許多性質(zhì)并不是其全部自由電子，而只是在費(fèi)米面附近那一小部分。19/494、結(jié)果與討論（粗略數(shù)量級(jí)估算）1）.電子熱容量對(duì)于金屬，當(dāng)T>0時(shí)，只有在費(fèi)米面附近幾個(gè)kBT電子受熱激發(fā)，對(duì)電子熱容量貢獻(xiàn)主要來(lái)自費(fèi)米面附近厚度~kBT一層電子在E－EF

kBT中電子數(shù)為20/49而每個(gè)電子熱運(yùn)動(dòng)平均能量：因?yàn)闊峒ぐl(fā)，系統(tǒng)所取得能量為21/49電子熱容量為：對(duì)于一摩爾金屬，N＝ZN0，Z：每個(gè)金屬原子所貢獻(xiàn)自由電子數(shù)常溫下，CL3R，因?yàn)門<<TF，所以Ce<<CL，即常溫下能夠無(wú)須考慮電子熱容量貢獻(xiàn)22/492）.Pauli順磁考慮T

0極端情況B=0時(shí)，M=0

B平行于B：－BB

B：玻爾磁子，B＝9.27×10－24J/TB

0時(shí)，自旋磁矩在磁場(chǎng)中取向能：

B反平行于B：＋BB23/49每個(gè)電子自旋磁矩從－

B變?yōu)椋?/p>

B改變了2

B所以，產(chǎn)生總磁矩為24/49因?yàn)?/p>

BB<<EF0，所以，對(duì)電子Pauli順磁有貢獻(xiàn)并不是金屬全部自由電子，而只是在費(fèi)米面附近一小部分電子3）.導(dǎo)電率

當(dāng)

0時(shí)，電子定向運(yùn)動(dòng)可看成兩個(gè)過(guò)程：當(dāng)＝0時(shí)，系統(tǒng)總電流為0電子因?yàn)榕鲎捕ザㄏ蜻\(yùn)動(dòng)

電子在電場(chǎng)

作用下作加速運(yùn)動(dòng)25/490kxky

0時(shí)費(fèi)米球球心將偏離原點(diǎn)位置，使原來(lái)對(duì)稱分布偏向一邊，有一部分電子對(duì)電流貢獻(xiàn)不能被抵消，從而產(chǎn)生宏觀電流26/49電子因?yàn)榕鲎捕テ涠ㄏ蜻\(yùn)動(dòng)電子定向漂移速度為電流密度：費(fèi)米球心移動(dòng)距離為

：平均自由時(shí)間27/490kxky

kFⅠⅡ第二種解釋：只有在費(fèi)米面附近未被抵消部分電子才對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)這部分電子對(duì)電流貢獻(xiàn)為這部分電子所占分?jǐn)?shù)為28/49這時(shí)，對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)電子數(shù)目即使少，但其運(yùn)動(dòng)速度很快，其結(jié)果與高濃度但低漂移速度電子對(duì)電流貢獻(xiàn)相同。嚴(yán)格理論計(jì)算結(jié)果支持了后一個(gè)說(shuō)法。這主要是因?yàn)镻auli不相容原理結(jié)果。能量比EF低得多電子，其附近狀態(tài)仍被其它電子所占據(jù)，沒(méi)有空狀態(tài)來(lái)接納它。所以，這些電子不能吸收電場(chǎng)能量而躍遷到較高能態(tài)，對(duì)電導(dǎo)作出貢獻(xiàn)，能被電場(chǎng)激發(fā)而對(duì)電導(dǎo)有貢獻(xiàn)只是在費(fèi)米面附近一小部分電子。29/49§6.2Sommerfeld展開式及其應(yīng)用一、問(wèn)題提出和因?yàn)榻饘儋M(fèi)米能EF0>>kBT，當(dāng)T>0時(shí)，只有在費(fèi)米面附近一小部分電子被激發(fā)而躍遷到高能態(tài)，而比費(fèi)米能低幾個(gè)kBT電子仍保持原來(lái)狀態(tài)，所以，這種類型積分能夠作適當(dāng)近似處理。這類積分不能用準(zhǔn)確解析表示式積出，因而給定量計(jì)算金屬性質(zhì)帶來(lái)困難30/49二、Sommerfeld展開式設(shè)函數(shù)Q(E)在（-，+）上連續(xù)可微，Q(0)＝0，而且滿足條件，其中α為大于0常數(shù)。在kBT<<EF情況下，有其中為F－D分布函數(shù)31/49證實(shí)：考查：32/49(-df/dE)值集中在

E－EFkBT一小范圍內(nèi)，

當(dāng)E－EF>幾個(gè)kBT時(shí)，函數(shù)值快速趨于0，具

有類似于函數(shù)性質(zhì)所以，積分貢獻(xiàn)主要來(lái)自E~EF附近區(qū)域，因?yàn)镋F>>kBT，所以，我們能夠?qū)⒕窒孪抻?改為

∞，而并不會(huì)影響積分值。

(-df/dE)是（E－EF）偶函數(shù)；33/49將Q(E)在E=EF附近展開成Taylor級(jí)數(shù)：34/49奇函數(shù)偶函數(shù)35/49利用Taylor展開式：36/49三、Sommerfeld展開式應(yīng)用1.EF確實(shí)定37/49對(duì)于金屬，因?yàn)門F>>T，所以EF

EF0，略低于EF038/492.電子熱容量自由電子系統(tǒng)總能量為39/49——T=0時(shí)自由電子系統(tǒng)總能量第二項(xiàng)：T>0時(shí)，因?yàn)闊峒ぐl(fā)自由電子系統(tǒng)從外界所獲

得能量40/49電子熱容量：一摩爾金屬電子熱容量為：Z：一個(gè)原子所貢獻(xiàn)自由電子數(shù)41/49一些金屬值NaKCaZnAlSn試驗(yàn)（mJ/mol.K2）1.382.080.6950.641.351.78

理論（mJ/mol.K2）1.091.670.5050.750.911.4142/49當(dāng)T>

D時(shí)，常溫下，一摩爾金屬晶格熱容CL3R對(duì)于金屬，因?yàn)門F>>T，所以Ce<<CL當(dāng)T<<

D時(shí)，在常溫下能夠無(wú)須考慮電子熱容量貢獻(xiàn)43/49當(dāng)Ce=CL時(shí)，可求出此時(shí)溫度試驗(yàn)值對(duì)于簡(jiǎn)單金屬，

D~102

K，TF

~104

K，估算出Tc

~1K數(shù)量級(jí)在很低溫度下，電子熱容量與晶格熱容量同數(shù)量級(jí)，電子熱容量就不可忽略44/493.Pauli順磁當(dāng)B=0時(shí)，系統(tǒng)不顯示磁性－

BB

BB－

B

BEBE能量為E能態(tài)密