新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-第六章-平面向量及其應(yīng)用課件

6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法運(yùn)算6.2.2

向量的減法運(yùn)算

6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算6.2.4

向量的數(shù)量積

6.2平面向量的運(yùn)算P276.3.1

平面向量基本定理

6.3.3

平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.5

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示P1476.3.2

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.4

平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.4.1

平面幾何中的向量方法第1課時(shí)余弦定理16.4.3余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理第3課時(shí)習(xí)題課——正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用

第4課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例6.4平面向量的應(yīng)用P2296.4.2

向量在物理中的應(yīng)用舉例6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法運(yùn)算6.2.2知識(shí)點(diǎn)一、向量的概念1.向量:在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量:把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.名師點(diǎn)析

向量不能比較大小,這是因?yàn)橄蛄渴怯纱笮『头较騼煞矫娲_定的.向量的大小是代數(shù)特征,方向是幾何特征.微思考在物理上,位移和距離這兩個(gè)量有什么不同?提示:位移既有大小又有方向,距離只有大小沒有方向.6.1平面向量的概念知識(shí)點(diǎn)一、向量的概念微思考6.1平面向量的概念知識(shí)點(diǎn)二、向量的幾何表示及相關(guān)概念2.有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.4.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記作0.5.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向量.6.向量也可以用字母a,b,c,…表示.知識(shí)點(diǎn)二、向量的幾何表示及相關(guān)概念點(diǎn)析

(1)零向量的長(zhǎng)度為0,方向不確定.(2)單位向量只規(guī)定了向量的大小(模長(zhǎng)為1),并沒有規(guī)定向量的方向,所以同一起點(diǎn)的單位向量有無數(shù)個(gè),它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位圓.點(diǎn)析微練習(xí)(1)下列說法正確的是(

)A.身高是一個(gè)向量B.溫度有零上溫度和零下溫度之分,故溫度是向量C.有向線段由方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素確定(2)下列說法正確的是(

)A.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)B.零向量沒有方向C.單位向量的模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度D.零向量就是實(shí)數(shù)0微練習(xí)解析:(1)有向線段

的起點(diǎn)與終點(diǎn)互換,其方向相反,長(zhǎng)度相等,故D項(xiàng)正確.(2)向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù);零向量的方向是任意的,但它不是實(shí)數(shù)0,故A,B,D均錯(cuò),只有C項(xiàng)正確.答案:(1)D

(2)C解析:(1)有向線段知識(shí)點(diǎn)三、相等向量與共線向量1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,記作a∥b.平行向量也叫做共線向量.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)于任意向量a,都有0∥a.3.長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.兩個(gè)向量a與b相等,記作a=b.名師點(diǎn)析

向量共線包括四種情況:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.知識(shí)點(diǎn)三、相等向量與共線向量微練習(xí)下列說法正確的是(

)A.所有單位向量都是相等向量B.與實(shí)數(shù)類似,對(duì)于兩個(gè)向量a,b,有a=b,a>b,a<b三種關(guān)系C.兩個(gè)向量平行時(shí),表示向量的有向線段所在的直線一定平行D.若兩個(gè)向量是共線向量,則向量所在的直線可以平行,也可以重合解析:所有單位向量的模都相等,都為1,但方向不確定,故A不正確.向量不能比較大小,故B不正確;由平行向量的定義知,D正確,C不正確.答案:D微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的相關(guān)概念例1已知下列說法:①若|a|=0,則a為零向量;②若|a|=|b|,則a=b;③若a∥b,則|a|=|b|;④兩個(gè)有共同起點(diǎn),而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同.其中正確的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析:①正確;②由|a|=|b|得a與b的模相等,但不確定方向,故②錯(cuò)誤;③錯(cuò)誤;④正確.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的相關(guān)概念探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

明確向量及其相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強(qiáng)調(diào)大小,又強(qiáng)調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān).(2)明確向量與有向線段的區(qū)別.有向線段有三要素,起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.只要起點(diǎn)不同,另外兩個(gè)要素相同也不是同一條有向線段,但決定向量的要素只有兩個(gè),大小和方向,與表示向量的有向線段的起點(diǎn)無關(guān).(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共線向量,當(dāng)兩共線向量的方向相同且模相等時(shí),兩向量為相等向量.(5)向量之間不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟明確向量及其相探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1給出以下說法:①直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量;②零向量的長(zhǎng)度為零,方向是任意的;③若a,b都是單位向量,則a=b;④有向線段就是向量;⑤單位向量大于零向量.其中正確說法的序號(hào)是

.

解析:直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸是數(shù)軸,但不是向量,故①錯(cuò)誤;由零向量的定義可知②正確;若a,b都是單位向量,則它們的模相等,但不一定方向相同,故③錯(cuò)誤;有向線段可以用來表示向量,但它不是向量,故④錯(cuò)誤;單位向量的模大于零向量的模,但不能說單位向量大于零向量,向量之間不能比較大小,故⑤錯(cuò)誤.答案:②探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1給出以下說法:①探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的表示例2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:分析先確定起點(diǎn),再根據(jù)大小和方向確定出終點(diǎn),即可畫出向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的表示分析先確定起探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量的表示方法(1)幾何法:準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).(2)字母法表示向量的注意事項(xiàng):在書寫字母表示向量時(shí)不要忘記字母上的箭頭.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量的表示方法探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,B,C是線段AD的三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),可以寫出

個(gè)向量.

解析:由向量的幾何表示可知,可以寫出12個(gè)向量,它們分別是答案:12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,B,C是線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)尋找相等向量和共線向量例3如圖所示,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個(gè)交點(diǎn),從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),則與

平行且長(zhǎng)度為2的向量有哪些?(在圖中標(biāo)出相關(guān)字母,寫出這些向量)分析所求向量有以下兩個(gè)特征:(1)表示此向量的有向線段所在直線與AC平行或重合.(2)長(zhǎng)度等于邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)尋找相等向量和共線向量分析探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量:先找與已知向量長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些與已知向量同向.(2)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟相等向量與共線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應(yīng)用典例已知A1,A2,…,A8是圓O的八個(gè)等分點(diǎn),則在以A1,A2,…,A8以及圓心這九個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中,模等于半徑長(zhǎng)的向量有多少個(gè)?模等于半徑長(zhǎng)的

倍的向量有多少個(gè)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)以A1,A2,…,A8的一部分點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓O的內(nèi)接正方形有兩個(gè),一個(gè)是正方形A1A3A5A7,另一個(gè)是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有這兩個(gè)正方形的邊(看成有向線段,每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量)的長(zhǎng)度為半徑長(zhǎng)的

倍,所以模為半徑長(zhǎng)的

倍的向量共有4×2×2=16(個(gè)).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)以A1,A2,…,A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.下列各量中是向量的是(

)A.時(shí)間 B.速度

C.面積 D.長(zhǎng)度解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是數(shù)量.答案:B2.給出以下說法:①零向量的長(zhǎng)度為零,方向是任意的;②共線向量是在同一條直線上的向量;③向量

相等;④若兩個(gè)向量是相等向量,則它們一定是共線向量.其中正確說法的序號(hào)是(

)A.①④ B.② C.①③④ D.②③解析:根據(jù)零向量的定義可知①正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故②錯(cuò)誤;向量

模相等,方向相反,故③錯(cuò)誤.④顯然正確,故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.下列各量中是向量的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖,在正方形ABCD中,M,N分別為AB和CD的中點(diǎn),在以A,B,C,D,M,N為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中,相等的非零向量共有多少對(duì)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖,在正方形ABCD探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)6.2.1向量的加法運(yùn)算6.2.2

向量的減法運(yùn)算

6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算6.2.4

向量的數(shù)量積

6.2平面向量的運(yùn)算6.2.1向量的加法運(yùn)算6.2.2向量的減法運(yùn)算6.2知識(shí)點(diǎn)一、向量的加法及其運(yùn)算法則1.向量加法的定義:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法,兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.6.2.1向量的加法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一、向量的加法及其運(yùn)算法則6.2.1向量的加法運(yùn)算新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-第六章-平面向量及其應(yīng)用課件4.三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣:(1)三角形法則:作平移,首尾連,由起點(diǎn)指終點(diǎn);(2)平行四邊形法則:作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線.5.規(guī)定:對(duì)于零向量與任意向量a,規(guī)定:a+0=0+a=a.4.三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣:點(diǎn)析

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與實(shí)質(zhì)區(qū)別有兩個(gè):(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”,平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”;(2)三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半,當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),兩種加法法則在本質(zhì)上是一致的.點(diǎn)析向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與實(shí)質(zhì)微思考

當(dāng)向量a,b是兩個(gè)非零的共線向量時(shí),如何求兩個(gè)向量的和向量?提示:當(dāng)向量a,b是共線向量時(shí),不能用平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量,但可以用三角形法則作出兩個(gè)向量的和向量,分兩向量同向和反向兩種情形:①同向微思考②反向

②反向微練習(xí)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)對(duì)于任意兩個(gè)向量,都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量.(

)(2)如果a,b是共線的非零向量,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同.(

)(3)若a+b=0,則a=0且b=0.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×微練習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、向量加法的運(yùn)算律1.向量加法的交換律:a+b=b+a.2.向量加法的結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c.微練習(xí)

知識(shí)點(diǎn)二、向量加法的運(yùn)算律微練習(xí)知識(shí)點(diǎn)三、|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系對(duì)任意兩個(gè)向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時(shí)等號(hào)成立.微練習(xí)解析:根據(jù)公式|a+b|≤|a|+|b|直接計(jì)算可得.答案:13知識(shí)點(diǎn)三、|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)已知向量作和向量例1如圖,已知向量a,b,c不共線,作向量a+b+c.分析利用三角形法則或平行四邊形法則→先作出兩個(gè)向量的和向量→再作出三個(gè)向量的和向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)已知向量作和向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

求作和向量的方法(1)利用三角形法則.在平面內(nèi)任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為始點(diǎn),將兩向量平移到首尾相接,從該始點(diǎn)到另外一個(gè)終點(diǎn)的向量就是這兩個(gè)向量的和.一定要注意首尾相接.(2)利用平行四邊形法則.在平面內(nèi)任取一點(diǎn),從此點(diǎn)出發(fā)分別作兩個(gè)向量等于已知向量,以這兩個(gè)向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,以所取的點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量就是這兩個(gè)向量的和.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求作和向量的方探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量加法運(yùn)算或化簡(jiǎn)分析根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)槭孜蚕嘟拥南蛄?然后利用結(jié)合律求解.反思感悟

解決向量加法運(yùn)算時(shí)應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)(1)可以利用向量的幾何表示,畫出圖形進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算.(2)要靈活運(yùn)用向量加法運(yùn)算律,注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母的排列順序,特別注意勿將0寫成0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量加法運(yùn)算或化簡(jiǎn)反思感悟探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn).試求:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,四邊形AB探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用向量加法法則解決實(shí)際問題例3在某地抗震救災(zāi)中,一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院,求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.分析解答本題先正確畫出方位圖,再根據(jù)圖形借助于向量求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用向量加法法則解決實(shí)際問探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量加法應(yīng)用的關(guān)鍵及技巧(1)三個(gè)關(guān)鍵:一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關(guān)系;二是熟練找出圖形中的相等向量;三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量.(2)應(yīng)用技巧:①準(zhǔn)確畫出幾何圖形,將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量;②將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算,進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量加法應(yīng)用的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中,這架飛機(jī)到達(dá)C地醫(yī)院后,往正南方向飛行多大距離即可由此按正西方向飛回A地?解:如圖,由點(diǎn)C作垂線,垂足為D,因?yàn)椤螧AC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中,CD=ACsin

10°=800sin

10°(km).即往正南方向飛行800sin

10°

km,即可由此按正西方向飛回A地.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例中,這架飛機(jī)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛(1)本題主要考查向量加法的多邊形法則和零向量.由于正n邊形繞圓心O旋轉(zhuǎn)

角度時(shí),雖然各向量方向都改變了,但模沒有改變,正n邊形的位置不變,其和向量也沒有改變,由此判斷和向量為0.(2)零向量的方向是任意的,且零向量的模為0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛(1)本題主要考查探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若向量a表示向東北方向走5km,向量b表示向西北方向走5km,則向量a+b表示(

)A.向正北方向走5km B.向正北方向走5kmC.向正南方向走5km D.向正南方向走5km解析:由向量加法的平行四邊形法則可知,向量a+b表示向正北方向走5

km.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若向量a表示向東北方向探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.下列等式錯(cuò)誤的是(

)A.a+0=0+a=a答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.下列等式錯(cuò)誤的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個(gè)向量):探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖,在△ABC中,D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖所示,設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡(jiǎn)下列各式:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖所示,設(shè)O為正六邊知識(shí)點(diǎn)一、相反向量

定義與向量a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量性質(zhì)①零向量的相反向量仍是零向量②a+(-a)=(-a)+a=0③如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=06.2.2

向量的減法運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一、相反向量定義與向量a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫微練習(xí)如圖,四邊形ABCD

是平行四邊形,AC與BD相交于點(diǎn)O,下列互為相反向量的是(

)答案:C微練習(xí)答案:C知識(shí)點(diǎn)二、向量減法運(yùn)算及其幾何意義

定義a-b=a+(-b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量作法已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a-b.如圖所示幾何意義如果把兩個(gè)向量a,b的起點(diǎn)放在一起,則a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量知識(shí)點(diǎn)二、向量減法運(yùn)算及其幾何意義定義a-b=a+(-b)點(diǎn)析

(1)若向量a,b為非零不共線向量,則a,b與a-b圍成三角形,故稱這種作兩向量差的方法為向量減法的三角形法則.(2)求兩個(gè)向量的差就是要把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起,它們的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn),以被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,可簡(jiǎn)記為“共始點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減.”點(diǎn)析微思考

當(dāng)兩個(gè)非零向量a,b共線時(shí),如何作圖得a-b?微思考微練習(xí)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,則有:微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量減法的幾何意義例1(1)如圖①所示,四邊形ABCD中,A.a-b+c

B.b-(a+c)C.a+b+c D.b-a+c(2)如圖②所示,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量減法的幾何意義探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.(2)也可以直接用向量減法的三角形法則,即把兩向量的起點(diǎn)重合,則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn),指向被減向量的終點(diǎn)的向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求作兩個(gè)向量的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如圖所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如圖所示,已知向探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量的加法與減法運(yùn)算例2化簡(jiǎn)下列各向量的表達(dá)式:分析按照向量加法和減法的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí),必須保證兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量的加法與減法運(yùn)算探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式(1)首尾相連且為和;(2)起點(diǎn)相同且為差.做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式,同時(shí)要注意逆向應(yīng)用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量加減法化簡(jiǎn)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量減法幾何意義的應(yīng)用A.菱形

B.矩形C.正方形 D.不確定探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量減法幾何意義的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.用向量法解決平面幾何問題的步驟(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量.(2)轉(zhuǎn)化為向量問題,進(jìn)行向量運(yùn)算.(3)將向量問題還原為平面幾何問題.2.用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關(guān)鍵(1)利用向量證明線段平行且相等,從而證明四邊形為平行四邊形,只需證明對(duì)應(yīng)有向線段所表示的向量相等即可.(2)根據(jù)圖形靈活運(yùn)用向量的運(yùn)算法則,找到向量之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.用向量法解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用已知向量表示未知向量典例如圖,解答下列各題:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛利用已知向量表示其他向量的一個(gè)關(guān)鍵及三點(diǎn)注意(1)一個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.(2)三點(diǎn)注意①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系;②注意應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運(yùn)算律;③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛利用已知向量表示其探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若非零向量a,b互為相反向量,則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.a∥b

B.a≠bC.|a|≠|(zhì)b|

D.b=-a解析:根據(jù)相反向量的定義,大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.答案:C答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.若非零向量a,b互為相探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)答案:C答案:0探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖,在△ABC中,D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)知識(shí)點(diǎn)一、向量的數(shù)乘運(yùn)算

定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa長(zhǎng)度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向相同λ<0λa的方向與a的方向相反規(guī)定當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0點(diǎn)析

(1)λa的幾何意義就是把向量a沿著與a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸長(zhǎng)(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)到原來的|λ|倍或|λ|.(2)要注意實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算,如:2+a,1-0無意義.6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一、向量的數(shù)乘運(yùn)算定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a微練習(xí)

微練習(xí)知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)乘向量的運(yùn)算律1.數(shù)乘向量的運(yùn)算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對(duì)于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)乘向量的運(yùn)算律微練習(xí)已知向量a,請(qǐng)通過作圖判斷以下結(jié)論是否成立.(1)3(2a)=6a;

(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

微練習(xí)新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-第六章-平面向量及其應(yīng)用課件知識(shí)點(diǎn)三、共線向量定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.2.要證明向量a(a≠0),b共線,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa即可.名師點(diǎn)析

該定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,則實(shí)數(shù)λ存在,但λ并不唯一,此時(shí)定理不成立.(2)若b≠0,a=0,則不存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa,此時(shí)定理也不成立.知識(shí)點(diǎn)三、共線向量定理微練習(xí)若向量e1,e2不共線,則下列各組中,向量a,b共線的有

.(填序號(hào))

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.解析:①中,a=-b,所以a,b共線;②中,b=-2a,所以a,b共線;③中,a=4b,所以a,b共線;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共線.答案:①②③微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量的線性運(yùn)算例1(1)化簡(jiǎn)下列各向量表達(dá)式:(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,試用a,b表示x,y.分析(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解.(2)運(yùn)用實(shí)數(shù)的二元一次方程組的解法求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量的線性運(yùn)算探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量數(shù)乘運(yùn)算的方法向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算,如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量數(shù)乘運(yùn)算的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.2a-b B.2b-a探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)用已知向量表示未知向量

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分析先用向量加減法的幾何意義設(shè)計(jì)好總體思路,然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分析先用向量加減法的幾何意探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

用已知向量表示其他向量的一般步驟

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟用已知向量表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例(1)中,設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,F是線段OD的中點(diǎn),AF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G,試用a,b表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例(1)中,設(shè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量共線問題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量共線問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法2.利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.證明或判斷探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)求證:A,B,M三點(diǎn)共線;(2)若點(diǎn)B在線段AM上,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)求證:A,B,M三點(diǎn)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解決三角形的四心問題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解決三角形的四心問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a與λa的方向相同 B.a與-λa的方向相反C.a與λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|解析:因?yàn)棣恕?,所以λ2>0,于是向量a與λ2a的方向相同.答案:C2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè)a是非零向量,λ是非探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.已知兩個(gè)非零向量a,b不共線,且ka+3b與2a+kb共線,求實(shí)數(shù)k的值.解:因?yàn)閗a+3b與2a+kb共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.已知兩個(gè)非零向量a,b探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)知識(shí)點(diǎn)一、向量數(shù)量積的定義1.向量a與向量b的夾角(1)夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作6.2.4

向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)一、向量數(shù)量積的定義6.2.4向量的數(shù)量積2.向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(3)向量數(shù)量積的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).名師點(diǎn)析

兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、數(shù)乘向量的乘法有著本質(zhì)的區(qū)別,書寫時(shí)一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.2.向量的數(shù)量積微思考

兩個(gè)向量的數(shù)量積結(jié)果是向量還是數(shù)量?提示:是數(shù)量.微練習(xí)答案:(1)-2

(2)8微思考答案:(1)-2(2)8知識(shí)點(diǎn)二、向量a在向量b上的投影向量

知識(shí)點(diǎn)二、向量a在向量b上的投影向量新教材-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-第六章-平面向量及其應(yīng)用課件微練習(xí)(1)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量為

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,與a方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為

.

微練習(xí)知識(shí)點(diǎn)三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.特別知識(shí)點(diǎn)三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)微練習(xí)已知|a|=7,則a·a=

.

解析:a·a=|a|2=72=49.答案:49微練習(xí)知識(shí)點(diǎn)四、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律a·b=b·a數(shù)乘的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c名師點(diǎn)析

(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算不適合約分,即a·b=a·cb=c.(2)向量數(shù)量積運(yùn)算也不適合結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量.知識(shí)點(diǎn)四、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=b·a數(shù)乘的微練習(xí)

答案:(1)A

(2)A微練習(xí)答案:(1)A(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算例1已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義→逐一進(jìn)行計(jì)算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟

求向量的數(shù)量積時(shí),需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算,則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求平面向量的數(shù)量積探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2

幾何圖形中向量數(shù)量積的計(jì)算例2(2019天津高考)在四邊形ABCD中,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2幾何圖形中向探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:-1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:-1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

平面向量的數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟平面向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求向量的投影向量例3如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是邊BC的中點(diǎn),求:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求向量的投影向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一個(gè)向量在哪一個(gè)向量上的投影向量,在正確理解其定義的同時(shí),找準(zhǔn)兩向量之間的夾角是關(guān)鍵.確定兩向量的夾角時(shí),一定要注意“共始點(diǎn)”.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟投影向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量模的相關(guān)問題角度1

利用數(shù)量積求向量的模例4(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)向量模的相關(guān)問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量模的求解方法根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

這是求向量的模的一種方法.即要求一個(gè)向量的模,先求這個(gè)向量與自身的數(shù)量積(一定非負(fù)),再求它的算術(shù)平方根.對(duì)于復(fù)雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術(shù)平方根即為|a+b|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因?yàn)閨a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因?yàn)閨a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因?yàn)?a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知向量a探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2

與模有關(guān)的最值問題例5(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)(2)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,則|a+b-c|的最小值為(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)角度2與模有關(guān)的最探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

向量模的最值問題的求法涉及向量模的最值問題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),進(jìn)而求出最值.需要掌握向量模的一些簡(jiǎn)單幾何意義:①|(zhì)a|為正值,則說明當(dāng)表示向量的有向線段的起點(diǎn)確定后,其終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心,以|a|為半徑的圓上運(yùn)動(dòng);②若|a+b|=|a-b|,則有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4若兩個(gè)單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4若兩個(gè)單位探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題例6(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解.(2)可采用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造平面圖形求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積解決向量的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)解析:因?yàn)?2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設(shè)a,b的夾角為θ,則2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,因此cos

θ=-,從而θ=120°.選C.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)解析:因?yàn)?2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

求平面向量夾角的方法(1)求向量的夾角,主要是利用公式cos

θ=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關(guān)系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求平面向探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.解:因?yàn)?a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例(1)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀A(yù).等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形ABC的形狀是(

)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不對(duì)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用向量的數(shù)量積判斷探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

能夠?qū)?/p>

,并熟練地運(yùn)用向量的減法,是本題獲解的關(guān)鍵.依據(jù)向量的數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形的形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立向量的數(shù)量積、模、夾角等之間的關(guān)系,其中移項(xiàng)、平方是常用手段,可以出現(xiàn)向量的數(shù)量積及模等信息.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟能夠?qū)⑻骄恳惶骄慷骄咳骄克乃仞B(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,則a在b上的投影向量的模為(

)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B2.若|a探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,則|a|=(

)A.2 B.4 C.6 D.12解析:因?yàn)?a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cos

60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.若向量a與b的夾探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,若(2a+b)⊥(a+λb),則λ=

.

解析:∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a與b的夾角為60°,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.已知兩個(gè)單位向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:22探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:226.3.1

平面向量基本定理

6.3.2

平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3

平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.4

平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6.3.5

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理

6.3.2平面向量的正交分解知識(shí)點(diǎn)一、平面向量基本定理

定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底點(diǎn)析

對(duì)平面向量基本定理的理解(1)基底具備兩個(gè)主要特征:①基底是由兩個(gè)不共線的向量構(gòu)成的;②基底的選擇是不唯一的.(2)基底e1,e2確定后,平面內(nèi)任一向量a的分解式是唯一的,特別地,a1e1+a2e2=0時(shí),恒有a1=a2=0.(3)用向量解決幾何問題時(shí),可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問題中涉及的向量向基底化歸.知識(shí)點(diǎn)一、平面向量基本定理定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的微思考

a=λ1e1+λ2e2中的一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2是否唯一?提示:當(dāng)e1,e2不共線時(shí),由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;當(dāng)e1,e2共線時(shí),λ1,λ2不唯一.微練習(xí)下列說法正確的是(

)A.平面內(nèi)的任一向量a,都可以用平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量e1,e2表示B.當(dāng)a與兩個(gè)不共線的非零向量e1,e2之一平行時(shí),a不能用e1,e2表示C.零向量可以作為基底中的向量D.平面內(nèi)的基底是不唯一的解析:根據(jù)平面向量基本定理可知,只要是不共線的兩個(gè)向量就可以作為基底,因此基底是不唯一的.答案:D微思考知識(shí)點(diǎn)二、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.(2)坐標(biāo):對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中,x叫做a在

x軸上的坐標(biāo),y叫做向量a在

y軸上的坐標(biāo).(3)坐標(biāo)表示:a=(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.(4)特殊向量的坐標(biāo):i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).知識(shí)點(diǎn)二、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示微思考

在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量

的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)有什么關(guān)系?微練習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中,若i,j是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,則向量a,b,c的坐標(biāo)分別是

,

,

.

答案:(2,-6)

(0,5)

(-4,0)微思考探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)平面向量基本定理的理解例1給出下列說法:①若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若向量e1,e2是一組基底,則e1+e2與e1-e2也可以作為一組基底.其中正確說法的序號(hào)是

.

解析:①錯(cuò)誤.零向量也可以用一組基底來線性表示.②錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2共線時(shí),平面內(nèi)的有些向量可以表示為λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量則不可以.③正確.當(dāng)e1,e2不共線時(shí),e1+e2與e1-e2一定不共線,可以作為基底.答案:③探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)平面向量基本定理的理解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

平面向量基本定理的四個(gè)要點(diǎn)①不共線的向量e1,e2;②平面內(nèi)的任意向量a;③存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2;④a=λ1e1+λ2e2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟平面向量基本定探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.①② B.①③

C.①④ D.③④

答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.①② B.①③ C.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量基本定理的應(yīng)用例2在△ABC中.分析根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合向量的線性運(yùn)算進(jìn)行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量基本定理的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟用基底表示向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的坐標(biāo)表示例3已知i,j分別是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐標(biāo).分析將a+4b先用i,j表示,再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式.解:因?yàn)閍=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐標(biāo)為(-1,18).反思感悟

求平面向量坐標(biāo)的方法(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時(shí),向量a的坐標(biāo)即為(x,y).(2)求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時(shí),常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)平面向量的坐標(biāo)表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)巧用直線的向量參數(shù)方程式解題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)巧用直線的向量參數(shù)方程式解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底,則(

)A.零向量不能用e1,e2表示B.對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在該平面內(nèi)C.對(duì)平面內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對(duì)D.若實(shí)數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0解析:由平面向量基本定理可知D項(xiàng)正確,這是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.設(shè){e1,e2}是平面探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.已知

=(-2,4),則下面說法正確的是(

)A.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)B.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)解析:由任一向量的坐標(biāo)的定義可知,當(dāng)點(diǎn)A是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4).答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.已知=探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.已知e1,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作為基底,則k等于

.

答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.已知e1,e2不共