高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件第一章空間向量與立體幾何章末整合

章末整合第一章2021內(nèi)容索引0102知識網(wǎng)絡(luò)整合構(gòu)建題型突破深化提升知識網(wǎng)絡(luò)整合構(gòu)建題型突破深化提升專題一應(yīng)用空間向量證明位置關(guān)系例1如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.證明

(1)如圖所示,以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M(jìn),N分別為AB,PC的中點,方法技巧

利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.變式訓(xùn)練1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側(cè)棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.(方法3)如圖,取BC,B1C1的中點O,O1,連接AO,OO1.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都為中點,所以O(shè)B⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(1,0,0),D(-1,1,0),專題二應(yīng)用空間向量求空間距離例2如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.解

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).由題意得AEC1F為平行四邊形,方法技巧

向量法求點面距離的步驟

變式訓(xùn)練2在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CC1的中點.(1)求證:AD∥平面A1EFD1;(2)求直線AD與平面A1EFD1的距離.(1)證明

如圖,以點D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),所以所以DA∥D1A1.又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.專題三應(yīng)用空間向量求空間角例3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.解

以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).方法技巧

向量法求線面角、兩平面夾角的方法(1)利用空間向量求直線與平面所成的角的兩種方法:①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量,將問題轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角或其補(bǔ)角;②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,則其余角就是斜線和平面所成的角.(2)利用空間向量求兩平面夾角的兩種方法:①利用定義,分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小,再由此得兩平面的夾角;②通過平面的法向量來求:設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,則兩平面夾角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>),注意取銳角或直角.變式訓(xùn)練3在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點.(1)求異面直線AE與CP所成角的余弦值;(2)若點F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點F的坐標(biāo);(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.解

(1)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點,∴E(1,1,1),專題四空間中的折疊與探究性問題例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值.(3)線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明

連接A1C,交AC1于點O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點.又D為BC的中點,所以O(shè)D為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因為OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解

由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以B為原點,分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.(3)解

存在.假設(shè)存在滿足條件的點E.因為點E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),方法技巧

解決存在性問題的基本策略假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立),然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理,若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實,說明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說明假設(shè)不成立,即不存在.變式訓(xùn)練4如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求證:PD⊥PB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,說明理由.(1)證明

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴PD⊥AB.又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解

如圖,取AD中點為O,連接CO,PO.∵CD=AC=,∴CO⊥AD.∵PA=PD,∴PO⊥AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC,OA,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),例5(2020陜西漢中高二檢測)如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=6,AD=2,E,F分別是CD的兩個三等分點,若把等腰梯形沿虛線AF,BE折起,使得點C和點D重合,記為點P,如圖②.(1)求證:平面PEF⊥平面ABEF;(2)求平面PAE與平面PAB夾角的余弦值.(1)證明

∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,CD=6,AD=2,E,F是CD的兩個三等分點,∴四邊形ABEF是正方形,∴BE⊥EF.∵BE⊥PE,且PE∩EF=E,∴BE⊥平面PEF.又BE?平面ABEF,∴平面PEF⊥平面ABEF.(2)解

過點P作PO⊥EF于點O,過點O作BE的平行線交AB于點G,則PO⊥平面ABEF,以O(shè)為坐標(biāo)原點,以O(shè)G,OE,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.方法技巧

解決與折疊有關(guān)問題的方法解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,折線同一側(cè)的,線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.變式訓(xùn)練5如圖所示,平面多邊形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD⊥CD,現(xiàn)沿直線AD,將△ADE折起,得到四棱錐P-ABCD.(1)求證:PB⊥AD;(2)若PB=,求PD與平面PAB所成角的正弦值.(1)證明

取AD的中點O,連接OB,O