lagrange系統(tǒng)在陀螺力作用下的對稱性與恒溫量

lagrange系統(tǒng)在陀螺力作用下的對稱性與恒溫量

1.noethen安全采用對稱方法研究力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性是數(shù)學和物理科學，尤其是分析力學的現(xiàn)代方法。它的主要對稱包括：主要癥狀、lie對稱和形狀的不變性[11、12、13、14、15和16]。例如，在本文中，我們研究了在賦予下頜力后，是否可以保持內盾對稱和李子對稱的一致性，以及是否可以保持內盾的穩(wěn)定性和hojman的穩(wěn)定性。2.lagrange算子Lagrange系統(tǒng)的微分方程可表示為Es(L)=0(s=1,?,n),(1)其中Es=ddt??˙qs-??qs.(2)為Euler算子,L=L(t,q,˙q)為Lagrange函數(shù).一般說來,L不一定是有動勢的意義.Lagrange系統(tǒng)可包括下列三種系統(tǒng):(1)完整保守系統(tǒng);(2)廣義力有廣義勢的完整系統(tǒng);(3)Lagrange逆問題系統(tǒng).現(xiàn)在對系統(tǒng)(1)施加陀螺力ΓsΓs=γsk(t,q)˙qk,γsk=-γks(s,k=1,?,n),(3)此時方程表示為Es(L)=Γs,(4)稱方程(4)為施加陀螺力后的Lagrange方程.3.系統(tǒng)的noethen構建原系統(tǒng)(1)的Noether等式為L˙ξ0+X(1)(L)+˙GΝ=0,(5)其中X(1)=ξ0??t+ξs??qs+(ξs-˙qsξ0)??˙qs,(6)而GΝ=GΝ(t,q,˙q)為規(guī)范函數(shù).系統(tǒng)(1)的Noether守恒量為ΙΝ=Lξ0+?L?˙qs(ξs-˙qsξ0)+GΝ=const.(7)施加陀螺力后的系統(tǒng)(4)的Noether等式為Lξ0+X(1)(L)+Γs(ξs-˙qsξ0)+G′Ν=0.(8)系統(tǒng)(4)的Noether守恒量為Ι′Ν=Lξ0+?L?˙qs(ξs-˙qsξ0)+G′Ν=const.(9)比較(8)式與(5)式,(9)式與(7)式,得到命題1如果陀螺力Γs和無限小生成元ξ0,ξs滿足條件Γs(ξs-˙qsξ0)=0?(10)那么施加陀螺力后系統(tǒng)的Noether對稱性與Noether守恒量保持不變.4.u3000an守果關于hojman守合力的規(guī)則系統(tǒng)(1)的Lie對稱性確定方程為X(2){Es(L)}=0?(11)系統(tǒng)(4)的Lie對稱性確定方程為X(2){Es(L)}-X(1)(Γs)=0,(12)其中X(2)=X(1)+[(ξs-˙qsξ0)-¨qsξ0]??¨qs.比較方程(12)與(11),得命題2若陀螺力Γs和無限小生成元ξ0,ξs滿足條件X(1)(Γs)=0.(13)則施加陀螺力后系統(tǒng)的Lie對稱性保持不變.下面研究Lie對稱性直接導致的Hojman守恒量.假設系統(tǒng)(1)的顯式為¨qs=αs(t,q,˙q),(14)而系統(tǒng)(4)的顯式為¨qs=α′s(t,q,˙q),(15)其中α′s=αs+ΔksΔΓk,Δ=det(?2L?˙qs?˙qk),(16)而Δks為Δ的元素(k,s)的代數(shù)余子式.當ξ0=0時,方程(14)的Lie對稱性確定方程為ˉddtˉddtξs=?αs?qkξk+?αs?˙qkˉddtξk,(17)其中ˉddt=??t+˙qs??qs+αs??˙qs.(18)如果存在某函數(shù)μ=μ(t,q,˙q)使得?αs?˙qs+ˉddtlnμ=0,(19)那么系統(tǒng)(1)存在Hojman守恒量ΙΗ=1μ??qs(μξs)+1μ??˙qs(μˉddtξs).(20)當ξ0=0時,方程(15)的Lie對稱性確定方程為?ddt?ddtξs=?α′s?qkξk+?α′s?˙qk?ddtξk,(21)其中?ddt=??t+˙qs??qs+α′s??˙qs.(22)如果存在某函數(shù)μ′=μ′(t,q,˙q)使得?α′s?˙qs+?ddtlnμ′=0,(23)那么系統(tǒng)(4)存在Hojman守恒量Ι′Η=1μ′??qs(μ′ξs)+1μ′??˙qs(μ′?ddtξs).(24)于是,我們有命題3在時間不變的無限小變換下,如果陀螺力Γs和生成元ξs滿足?Γs?qkξk+?Γs?˙qk?ddtξk=0,(25)以及?ddtξs=ˉddtξs,μ′=μ,(26)那么在施加陀螺力后Hojman守恒量保持不變.5.lagrange函數(shù)例1二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L=12(q˙12+q˙22)-12(q12+q22),(27)施加的陀螺力為Γ1=q2q˙2,Γ2=-q2q˙1.(28)施加陀螺力后,Noether等式(8)給出Lξ0+q˙1(ξ1-q˙1ξ0)+q˙2(ξ2-q˙2ξ0)-q1ξ1-q2ξ2+q2q˙2(ξ1-q˙1ξ0)-q2q˙1(ξ2-q˙2ξ0)+G′Ν=0?(29)取生成元為ξ0=-1,ξ1=ξ2=0,(30)則Γs(ξs-q˙sξ0)=Γsq˙s=0.(31)由命題1可知,在施加陀螺力后,系統(tǒng)的Noether對稱性保持不變,Noether守恒量也保持不變,即Ι′Ν=ΙΝ=12(q˙12+q˙22)+12(q12+q22)=const.(32)例2二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L=12(q˙12+q˙22)-q1,(33)陀螺力為Γ1=-q˙2,Γ2=q˙1.(34)方程(14)給出q¨1=-1,q¨2=0.(35)方程(15)給出q¨1=-1-q˙2,q¨2=q˙1.(36)取生成元為ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,(37)則(25)式滿足,(19)式給出dˉdtlnμ=0,(38)(23)式給出d?dtlnμ′=0.(39)(38)和(39)式有解:μ′=μ=12(q˙12+q˙22)+q1?(40)故式(26)被滿足.(20)和(24)式給出Ι′Η=ΙΗ={12(q˙12+q˙22)+q1}-1=const.(41)6.相關研究文獻一般說來,Lagrange系統(tǒng)在施加陀螺力后,對稱性和守恒量將發(fā)生變化.本文主要結果為:Lagrange系統(tǒng)(1)在施加陀螺力后,若滿足條件(10),則Noether對稱性和Noether守恒量保持不變;若滿足條件(25)和(26),則Lie對稱性和Hojman守恒量保持不變.LiZP1993Classicalandquantaldynamicsofconstrainedsystemsandtheirsymmetricalproperties(Beijing:BeijingPolytechnicUniversityPress)(inChinese)[李子平1993經(jīng)典和量子約束系統(tǒng)及其對稱性質(北京:北京工業(yè)大學出版社)]ZhaoYYandMeiFX1999SymmetriesandInvariantsofMechanicalSystems(Beijing:SciencePress)(inChinese)[趙躍宇、梅鳳翔1999力學系統(tǒng)的對稱性與不變量(北京:科學出版社)]MeiFX1999ApplicationsofLieGroupsandLieAlgebrastoConstrainedMechanicalSystems(Beijing:SciencePress)(inChinese)[梅鳳翔1999李群和李代數(shù)對約束力學系統(tǒng)的應用(北京:科學出版社)]MeiFX2000ActaMech.141135ZhangHB2002Chin.Phys.111ZhangY2002ActaPhys.Sin.51461(inChinese)[張毅2002物理學報51461]MeiFX2003ActaPhys.Sin.521048(inChinese)[梅鳳翔2003物理學報521048]ZhangY2003ActaPhys.Sin.521832(inChinese)[張毅2003物理學報521832]FuJLandChenLQ2003Chin.Phys.12695LiuRWandChenLQ2004Chin.Phys.131615MeiFX2000J.BeijingInstituteofTechnology9120MeiFX2001J.BeijingInstituteofTechnology21535(inChinese)[梅鳳翔2001北京理工大學學報21535]MeiFX2001Chin.Phys.1