浙江省紹興蕺山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

紹興蕺山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022學(xué)年第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題卷本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】由于，所以.故選：C.2.已知單位向量的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可直接運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】為單位向量，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.3.下列命題不正確的個(gè)數(shù)是（）①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓心和圓上兩個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③如果兩個(gè)平面相交有一個(gè)交點(diǎn)，則必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；④如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，則這兩條直線平行．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】由公理2可判斷命題①，②；由公理3可判斷命題③；如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面可判斷命題④.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，確定的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)圓心和圓上的兩點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線時(shí)，確定的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于③，如果兩個(gè)平面相交有一個(gè)交點(diǎn)，則必有經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的一條直線，該直線為交線，故正確；對(duì)于選項(xiàng)④，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，則這兩條直線平行也可能是異面直線，故錯(cuò)誤，所以不正確的命題有3個(gè).

故選：C.4.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形是水平放置的平行四邊形的直觀圖，則平行四邊形的面積為（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】把直觀圖還原為原圖形，求出對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，即可求出平行四邊形的面積.【詳解】把直觀圖還原為原圖形如圖所示，則,所以，原四邊形的面積為.故選：B5.已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長(zhǎng)，由圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算結(jié)果.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)分別為，，由，得，所以，從而該圓錐的側(cè)面積．故選：B6.正方體的內(nèi)切球和外接球的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，利用正方體的棱長(zhǎng)為其內(nèi)切球的直徑，正方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，分別求出內(nèi)切球與外接球的半徑，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，正方體的棱長(zhǎng)為其內(nèi)切球的直徑，正方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則.又球的表面積公式為為正方體的內(nèi)切球和外接球的表面積之比為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求解多面體的內(nèi)切或外接球的半徑以及球的表面積公式，考查空間想象能力.7.如圖，AB是底部不可到達(dá)的一座建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，某同學(xué)選擇地面CD作為水平基線，使得C，D，B在同一直線上，在C，D兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是45°和75°，，則建筑物AB的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【詳解】在中，根據(jù)正弦定理可得，在中，，故選：A8.已知，，是不同的直線，，是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則平行于平面內(nèi)的任意一條直線B.若，，則C.若，，，則D若，，則【答案】D【解析】【分析】利用長(zhǎng)方體模型依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)平面為平面，平面為平面，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)為直線，滿足，但直線與直線是異面直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)為直線，直線為，滿足，，但不滿足，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)為直線，直線為，顯然不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由面面平行的性質(zhì)即可得該命題正確.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題全對(duì)得3分，選不全得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，共12分.）9.下列結(jié)論中正確的是（）A.正四面體一定是正三棱錐 B.正四棱柱一定是長(zhǎng)方體C.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形 D.棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)各幾何體的定義直接判斷.【詳解】A選項(xiàng)：正三棱錐是底面為正三角形，各側(cè)棱長(zhǎng)均相等的幾何體，正四面體四個(gè)面均為正三角形且所有棱長(zhǎng)均相等，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：正四棱柱為底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱即為長(zhǎng)方體，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：棱柱上下底面互相平行且全等，且各側(cè)棱互相平行，所以棱柱的側(cè)面均為平行四邊形，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：正四棱柱的側(cè)面兩兩平行，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.10.給出下列命題，其中正確的是（）A.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限B.若，則z為實(shí)數(shù)C.若，為復(fù)數(shù)，且，則D.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件為【答案】AB【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式推理判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；利用純虛數(shù)的定義判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，A正確；對(duì)于B，設(shè)，由得，解得，即是實(shí)數(shù)，B正確；對(duì)于C，令，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件為，D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知向量，，，，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)平面向量平行的判定條件求解參數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)平面向量垂直的判定條件求解參數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，將向量，及代入等式，根據(jù)平面向量相等的判定條件求解參數(shù)與的關(guān)系；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式表示出向量的模長(zhǎng)，然后根據(jù)二次函數(shù)求解最小值》【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知，則，解得，故A選擇正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，由于，則，解得，故B選擇正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，則，得，解得，故，故C選擇不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD12.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，，則一定是等邊三角形B.若，則一定是鈍角三角形C.若，則一定是等腰三角形D.若，則一定是直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合三角恒等變換逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.【詳解】對(duì)于A，中，，，由余弦定理得：，即，因此，一定是等邊三角形，A正確；對(duì)于B，由得：，即，由正弦定理得，由余弦定理得，因此角是鈍角，一定是鈍角三角形，B正確；對(duì)于C，中，由及余弦定理得：，整理得，即，因此或，是等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，中，由及正弦定理得：，因此，即，整理得：，顯然，，即，因此，而，于是，所以，一定是直角三角形，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三邊分別為a，b，c（a≥b≥c），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.第II卷三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）13.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則_______________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求得結(jié)果．【詳解】，，故答案為：．14.已知直線a，b和平面α滿足aα，b?α，則b與a的位置關(guān)系為_(kāi)____．【答案】異面或平行【解析】【分析】根據(jù)線面平行的概念結(jié)合線線的位置關(guān)系即得.【詳解】如圖所示，aα，b?α，則a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，所以a與b異面或平行，故答案為：異面或平行．15.在中，若，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】依題意，，負(fù)根舍去.所以.故答案為：16.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出線線平行，從而得出結(jié)果.【詳解】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).，E為AD的中點(diǎn)，,PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，PA∥OF，.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，第1720題每小題8分，第21、22題每小題10分，共52分.）17.已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，與共線，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）求出，即可由坐標(biāo)計(jì)算出模；（2）求出，再由共線列出式子即可計(jì)算.【詳解】(1)，所以；(2)，因?yàn)榕c共線，所以，解得m＝4.18.設(shè)復(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義列出不等式組，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）由已知利用余弦定理可求，結(jié)合范圍，即可得解的值．（2）由已知利用三角形面積公式可得，由余弦定理可得，即可得解三角形的周長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】．，，．【小問(wèn)2詳解】，，由三角形面積公式可得：，解得，由余弦定理可得：，即，解得：，三角形的周長(zhǎng)為．20.如圖，在正方體中，是棱中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理證得，從而利用線面平行的判定定理即可得證；（2）利用等體積法與三棱錐的體積公式計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，底面是正方形，則是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，故，又面，面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎襟w中，平面，所以.21.如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長(zhǎng)為2，正三棱錐的高SO＝1．（1）求正三棱錐S﹣ABC的體積；（2）求正三棱錐S﹣ABC表面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意分別確定三棱錐的底面積和三棱錐的高即可確定其體積；（2）連接CO延長(zhǎng)交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，分別求得底面積和側(cè)面積，然后計(jì)算其表面積即可．【小問(wèn)1詳解】在正三棱錐S﹣ABC中，,所以.小問(wèn)2詳解】連接CO延長(zhǎng)交AB于E，連接SE，則E為AB的中點(diǎn)，如圖所示，所以，在直角三角形SOE中，，在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，所以，則表面積為：．22.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明B1D1∥l.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可知BD∥B1D1，可得BD∥平面CD1B1，同理可得A1B∥D1C，A1B∥平面CD1B1，即可證明（2）根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理可知l∥直線BD，再根據(jù)平行四邊形知B1D1∥BD，即可證明B1D1∥l.【詳解】證明：(1)由題設(shè)知BB1∥DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1∥BC，所以四邊形A1BCD