數(shù)列求通項公式的常見題型及解題方法

..數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法數(shù)列是高中數(shù)學的重要容，又是學習高等數(shù)學的根底．高考對本章的考察比擬全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考察每年都不會遺漏．有關數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起．探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)．本章中還蘊含著豐富的數(shù)學思想，在主觀題中著重考察函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等根本數(shù)學方法．數(shù)列這一章的主要章節(jié)構(gòu)造為：近幾年來，高考關于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面：〔1〕數(shù)列本身的有關知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式．〔2〕數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合．〔3〕數(shù)列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主．試題的難度有三個層次，小題大都以根底題為主，解答題大都以根底題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大．題型1數(shù)列前幾項求通項公式在我們的教材中，有這樣的題目：1．數(shù)列的通項．2．數(shù)列的通項．3．數(shù)列的通項．1、2、3、．練習例1.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是以下各數(shù)：例2.觀察下面數(shù)列的特點，寫出每個數(shù)列的一個通項公式：例3:寫出下面數(shù)列的一個通項公式：題型2由an與Sn的關系求通項公式1、數(shù)列的前項和，那么．2、數(shù)列的前項和，那么3、設數(shù)列{an}的前項的和Sn=〔an-1〕(n)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列．4、數(shù)列{an}的前n項和Sn=3·2n-3,求數(shù)列的通項公式.5、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2+3n+2，求通項an的表達式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列.6、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．7、數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．〔Ⅰ〕寫出求數(shù)列{an}的前3項a1,a2,a3；〔Ⅱ〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔Ⅲ〕證明：對任意的整數(shù)m>4，有.7、解：⑴當n=1時,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；當n=2時,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a當n=3時,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由得：化簡得：上式可化為：故數(shù)列{}是以為首項,公比為2的等比數(shù)列.故∴數(shù)列{}的通項公式為：.⑶由得：.故(m>4).題型3數(shù)列遞推公式求通項公式(公式法)1、數(shù)列的首項，且，那么．2、數(shù)列中，，求的通項公式．3、數(shù)列滿足，，求．4、數(shù)列中，，求的通項公式．5、數(shù)列的首項，且，那么．6、數(shù)列的，且,那么．〔累加法與累積法〕1、數(shù)列中，，求的通項公式．2、數(shù)列中，，求的通項公式．3、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。4、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。5、數(shù)列的首項，且，那么．6、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式?！矘?gòu)建新數(shù)列〕1、數(shù)列的首項，且，那么．2、數(shù)列中，，求的通項公式．3、數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。4、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。5、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。6、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。7、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。8、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。9、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。10、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。3、解：兩邊除以，得，那么，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。4、解：兩邊除以，得，那么，故因此，那么5、解：設④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，那么x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，那么，那么數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，那么，故。6、解：設⑥將代入⑥式，得整理得。令，那么，代入⑥式，得⑦由及⑦式，得，那么，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此，那么。7、解：設⑧將代入⑧式，得，那么等式兩邊消去，得，那么得方程組，那么，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得那么，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，那么。8、解：由及，得由此可猜想，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論?！?〕當n=1時，，所以等式成立?！?〕假設當n=k時等式成立，即，那么當時，由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)〔1〕〔2〕可知，等式對任何9、解：令，得，那么是函數(shù)的兩個不動點。因為。，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，那么。10、解：令，得，那么x=1是函數(shù)的不