2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高二年級下冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由并集的定義求出.【詳解】由，又，可知.故選：D.2．已知，且，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加減法運算規(guī)則和復(fù)數(shù)相等的定義求解.【詳解】由，得，代入有，則，且，解得.故選：A.3．已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對平方后化簡計算求解.【詳解】因為，所以，即，解得.故選:C.4．開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星看作一個質(zhì)點，繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程表示近日點距離與遠日點距離，再根據(jù)條件得到兩個方程求解即可.【詳解】根據(jù)橢圓方程，得長半軸，半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，則.故選：D.5．如圖，在四棱臺中，正方形和的中心分別為和平面，則直線與直線所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出直線與直線所成角，解直角三角形求得其正切值.【詳解】連接，作，垂足為即直線與直線所成的角..

故選：B6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性畫出的草圖，由此求得的解集.【詳解】如圖，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上分別單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，且.因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且.由，得或解得或.則不等式的解集是.

故選：D.7．在一個宮格中，有如圖所示的初始數(shù)陣，若從中隨機選擇2個宮格，將其相應(yīng)的數(shù)字變成相反數(shù)，得到新的數(shù)陣，則新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25的概率為（

）123456789A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意首先判斷出所選的兩個宮格數(shù)字之和為，再利用古典概型概率計算公式求解即可.【詳解】初始數(shù)陣中的9個數(shù)成等差數(shù)列，這9個數(shù)的和為45.因為新的數(shù)陣中所有數(shù)字之和為25，所以隨機選中的兩個數(shù)字之和為有4種情況：,故所求概率為故選：.8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過中間值1結(jié)合不等式性質(zhì)可得；解法一：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得；解法二：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即；解法一：構(gòu)造，則，當(dāng)時，可得，則在上單調(diào)遞增，又因為，則，所以，則，即；解法二：構(gòu)造，則，令，解得，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，可得；綜上所述：.故選：B.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】先根據(jù)周期求出，再利用對稱軸求出.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，則，不妨取.當(dāng)時，取得最大值，則，即.故.故選：BC.10．某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對2022屆初三年級所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)情況進行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，結(jié)果如圖1所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了,屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)分布條形圖如圖2所示，則（

）

A．該校2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占B．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)同個數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2.2倍還多C．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)均在內(nèi)D．相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加【答案】ABD【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖對四個選項逐個計算可得答案.【詳解】2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比為，A正確.由于2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆上升了，假設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為，則2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，因為，故B正確；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，故C錯誤；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，因為，故D正確.故選：ABD.11．已知函數(shù)，若過點恰能作2條曲線的切線，則的值可以為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，寫出切線方程，代入點，則得到的方程有兩解，再轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像有兩個交點解決問題.【詳解】設(shè)切點為，切線的方程為.代入點，可得，即.因為切線過點恰能作2條曲線的切線，所以方程有2解.令函數(shù).當(dāng)或時，；當(dāng)時，.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以的極大值為，的極小值為，所以或，解得或.故選：BC.12．如圖1，《盧卡?帕喬利肖像》是意大利畫師的作品.圖1中左上方懸著的是一個水晶多面體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構(gòu)成，該水晶多面體的所有頂點都在同一個正方體的表面上，如圖2.若，則（

）

A．B．該水晶多面體外接球的表面積為C．直線與平面所成角的正弦值為D．點到平面的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)該水晶多面體的對稱性、正方體的性質(zhì)，以及立體幾何中的向量方法判斷各選項.【詳解】該水晶多面體的俯視圖如圖1所示，對于A，，故A錯誤；對于B，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則.記該水晶多面體外接球的半徑為，球心，則，故該水晶多面體外接球的表面積為，故B正確.對于C，因為，，平面，所以平面平面.根據(jù)正方體的對稱性易得平面的一個法向量為，即為平面的一個法向量.，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確.對于D，點到平面的距離為，故D正確.

故選：BCD.三、填空題13．已知圓的圓心為點，且經(jīng)過原點，則圓的標(biāo)準方程為.【答案】【分析】先求出圓的半徑，再寫出圓的標(biāo)準方程.【詳解】由已知得圓的半徑，所以圓的標(biāo)準方程為.故答案為：.14．已知,，則的取值可以是.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一，也可以是或或）【分析】根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式可求出.【詳解】因為，所以,所以，所以或，即或，因為，所以或或或.故答案為：（（答案不唯一，也可以是或或）.15．已知，且，則的最小值為.【答案】16【分析】化簡已知條件得到，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因為，所以.因為，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：16．已知拋物線的準線與軸交于點，過的直線與交于兩點.若，則直線的斜率為.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達定理可得，再結(jié)合向量坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，得.由，解得或.由韋達定理得.又，，即為中點，所以，解得.故直線的斜率為.故答案為：.

四、解答題17．在中，角的對邊分別為，已知,，且.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角可求出；（2）根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，所以，即.因為，所以.（2）由余弦定理可得，因為,，所以，所以.故的面積為.18．在數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中，滿足（為正整數(shù)）的項有項，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，從而得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）根據(jù)題意得，再利用分組求和法即可得.【詳解】（1）因為，所以，則是等差數(shù)列.設(shè)的公差為，由解得，故.（2）滿足（為正整數(shù)）的項有項，所以..19．如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，分別為棱的中點，.

(1)證明：四點共面；(2)求平面與平面的夾角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量共面的充要條件可知，若存在，使，則四點共面；（2）分別求出平面與平面的法向量，從而根據(jù)夾角公式求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，又底面為直角梯形，，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)，即，解得所以.故四點共面.

（2）設(shè)是平面的法向量，則，令，得.取的中點，則，連接，又因為，所以，又由（1），，平面，平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即平面的一個法向量為.所以.故平面與平面的夾角的大小為.20．世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行2.5至5小時的中等強度運動.已知社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，且三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為.(1)從這三個社區(qū)中隨機各選取1名居民，求至少有1名居民每周運動總時間超過5小時的概率；(2)從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；(3)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機選取1名居民，求該居民每周運動總時間為3至5小時的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)概率公式，先算出該居民是各社區(qū)且每周運動時間沒有超過5小時的概率，由對立事件的概率公式求解即可；（2）由于三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為，設(shè)出三個社區(qū)的居民人數(shù)，計算出各社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)，然后由頻率估計概率即可；（3）由正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.【詳解】（1）設(shè)從三個社區(qū)中各選取的1名居民的每周運動總時間超過5小時分別為事件，則.設(shè)選取的3名居民中至少有1名居民每周運動總時間超過5小時為事件，則事件的對立事件為選取的3名居民每周運動總時間都沒有超過5小時，所以，故選取的3名居民中至少有1名居民每周運動總時間超過5小時的概率為.（2）設(shè)三個社區(qū)的居民人數(shù)分別為，則社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為，社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為，社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為，所以，故從這3個社區(qū)中隨機抽取1名居民且每周運動總時間超過5小時的概率.（3）因為，所以.因為，所以，所以.21．已知雙曲線經(jīng)過點，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)已知為的中點，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，證明：三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式求解；（2）利用韋達定理以及斜率公式證明三點共線.【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為.因為雙曲線經(jīng)過點，所以，解得.故雙曲線的方程為.（2）證明：因為為的中點，所以.設(shè)直線的方程為，所以，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立,可得，所以又因為，所以，則.同理可得.,，所以.故三點共線.22．已知函數(shù).(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由是增函數(shù)得出在上恒成立，結(jié)合參變分離以及函數(shù)的最值求得結(jié)果；（2）設(shè)函數(shù)，分成，，三種情況分類討論函數(shù)的單調(diào)性及最值得出結(jié)果.【詳解】（1）的定義域為.因為是增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立