高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修 第一冊2 3直線的交點坐標與距離公式 練習

2.3直線的交點坐標與距離公式一、單選題1．已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關于和的方程組的解的情況是（

）A．無論，，如何，方程組總有解B．無論，，如何，方程組總有唯一解C．存在，，，方程組無解D．存在，，，方程組無窮多解2．已知圓和圓的公共弦所在的直線恒過定點，且點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知直線過定點，則點關于對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．4．已知直線恒經過定點，則點到直線的距離是（

）A．6 B．3 C．4 D．75．點到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．7．在平面直角坐標系中，若雙曲線(，)的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值為A． B． C． D．8．已知點與關于直線對稱，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，9．設直線，為直線上動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．11．l1，l2是分別經過A(1，1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程為（

）A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝012．直線y＝4x﹣5關于點P（2，1）對稱的直線方程是（

）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9二、填空題13．已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．14．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．15．“”是“直線與直線相互垂直”的______條件．16．若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)b的取值范圍是___________.三、解答題17．（1）已知實數(shù)對滿足，求的最小值；（2）求的最小值．（提示：聯(lián)想兩點間的距離公式）18．已知的頂點A(5，1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在的直線方程為x－2y－5＝0.求（1）AC所在的直線的方程；（2）點B的坐標．19．數(shù)學家歐拉在年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．在中，已知，，若其歐拉線的方程為．求：(1)外心的坐標；(2)重心的坐標；(3)垂心的坐標．20．已知點，直線，直線.(1)求點A關于直線的對稱點B的坐標；(2)求直線關于直線的對稱直線方程.21．已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．參考答案：1．B通過與是直線上，推出的關系，然后解方程組即可.【詳解】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程組有唯一解.故選：B2．C先根據(jù)兩圓方程得公共弦方程，再求得點，再根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】由圓和圓，可得圓和的公共弦所在的直線方程為，聯(lián)立，解得，即點又因為點在直線上，即，又由原點到直線的距離為，即的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查圓的公共弦問題，直線過定點問題，點到直線的距離問題，考查數(shù)學運算能力與化歸轉化思想，是中檔題.3．A根據(jù)直線方程得到定點A的坐標，設其關于的對稱點坐標，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設點關于的對稱點坐標為．則解得．點關于的對稱點坐標為．故選：A．4．B把直線方程整理為關于的方程，由恒等式知識求得定點坐標，然后由點到直線距離公式求解．【詳解】由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經過定點，故點到直線的距離是，故選：B.5．B直接代入點到直線距離公式，即可得解.【詳解】根據(jù)距離公式可得：點到直線的距離，故選：B.6．C首先求得直線與直線的交點的坐標，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點的坐標.利用到直線的距離以及的長，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查直線方程的求法，考查直線與直線交點坐標，考查點到直線距離公式、兩點間的距離公式，考查角平分線的性質，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.7．B利用雙曲線的簡單性質，以及點到直線的距離列出方程，轉化求解即可.【詳解】雙曲線(，)的右焦點到一條漸近線的距離為可得：可得，即所以雙曲線的離心率為：.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，焦點坐標，漸近線方程，還運用雙曲線中焦點到漸近線的距離為以及點到直線的距離公式：.8．B點關于直線對稱，則利用垂直關系，以及線段的中點在直線上，列式求解.【詳解】，若點與關于直線對稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點在直線上，則，得故選:B9．A利用的幾何意義，通過數(shù)形結合即可得解.【詳解】表示點到點距離的平方，該距離的最小值為點到直線的距離，即，則的最小值為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查點到線的距離公式，利用兩點之間距離的幾何意義，通過數(shù)形結合是解題的關鍵，屬于基礎題.10．D先求點關于直線對稱的點，再根據(jù)兩點之間線段最短，即可得解.【詳解】如圖，設關于直線對稱的點為，則有，可得，可得，依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時，故選：D.11．A根據(jù)題意，當兩條平行直線與AB垂直時，兩條平行直線的距離最大，求得直線l1的斜率，結合點斜式，即可求解.【詳解】當兩條平行直線與AB垂直時，兩條平行直線的距離最大，因為，所以所以l1的方程為，即.故選：A.12．C設直線上的點關于點的對稱點的坐標為，求出，，再代入直線中即可得到對稱直線的方程.【詳解】設直線上的點關于點的對稱點的坐標為，所以，，所以，，將其代入直線中，得到，化簡得，故選：C．【點睛】本題主要考查的知識要點：直線的方程和中點坐標公式，屬于基礎題.13．通過解方程組求出直線l與兩直線交點的坐標，再利用中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設直線l的斜率為，因為直線l過，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得的線段的中點，所以，即，故答案為：14．先根據(jù)直線與平行求出參數(shù)，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】∵直線與平行，∴，解得，∴直線：，直線：，∴直線與之間的距離．故答案為：15．充分不必要根據(jù)直線垂直的等價條件結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若，直線的斜率，直線的斜率，則兩條直線垂直，即充分性成立，當，兩條直線方程為，和，則兩條直線垂直；當，直線的斜率，直線的斜率，滿足兩直線垂直，故必要性不成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件故答案為：充分不必要16．求得直線與坐標軸的交點坐標，代入的坐標，求得的值，結合題意，即可求解.【詳解】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當直線過點，可得；當直線過點，可得，要使得直線與直線的交點在第一象限，則，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17．（1）；（2）.（1）由的幾何意義求得點到已知直線的距離即得；（2）表示到和的距離之和，由平面幾何知識變形后，由兩點距離公式可得．【詳解】（1）表示點到點的距離，而點在直線上，所以其最小值為；（2）表示到和的距離之和，與點關于軸對稱，，當且僅當是與軸交點時取等號，即時取等號．所以的最小值是．18．（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．(1)根據(jù)題意設直線AC的方程為2x＋y＋t＝0，接著代點求解即可；（2）利用點B在直線BH，用點B坐標表示點M坐標，又點M在直線CM，點的坐標滿足直線方程，列出方程組求解即可.【詳解】因為AC⊥BH，所以設AC所在的直線的方程為2x＋y＋t＝0.把A(5，1)代入直線方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直線的方程為2x＋y－11＝0.（2）設B(x0，y0)，則AB的中點為.聯(lián)立得方程組，化簡得解得，故B(－1，－3)．【點睛】(1)當直線的方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論．19．(1)(2)(3)（1）將直線垂直平分線方程與歐拉線方程聯(lián)立即可解得外心坐標；（2）設，由此可得重心坐標，將其代入歐拉線可得關于方程；由可得關于的另一方程，由此聯(lián)立可得的值，進而得到重心坐標；（3）將邊上的高所在直線方程與歐拉線方程聯(lián)立即可解得垂心坐標.(1)中點為且，垂直平分線方程為：，即，由得：，即外心.(2)設，則重心，將代入歐拉線得：，即…①；由得：…②；由①②得：或（與重合，不合題意），，重心.(3)由（2）知：；由（1）知：，邊的高所在直線方程為：，即；由得：，垂心.20．(1)(2)（1）設點，則由題意可得，解方程組求出，從而可得點B的坐標，（2）先求出兩直線的交點坐標，再在直線上任取一點，求出其關于直線的對稱點，從而可求出直線關于直線的對稱直線方程（1）設點，則由題意可得，解得，所以點B的坐標為，（2）由，得，所以兩直線交于點，在直線上取一點，設其關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，所以直線為，即，所以直線關于直線的對稱直線方程為21．(1)；(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.（1）由兩直線垂直時，其斜率間的關系求得直線AB的斜率為，再由直線的點斜式方程可求得答案；（2）若選①：由，求得點，再求得點B關于的對稱點，由此可求得直線AC的方程；若選②：由，求得點，設點，由BC的中點在直線上，和點C在直線上，求得點，由此可求得直線AC的方程.（1）解：因為AB邊上的高所在的