2023新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式微專題1基本不等式的應(yīng)用技巧教師用書新人教A版必修第一冊(cè)

微專題1基本不等式的應(yīng)用技巧在運(yùn)用基本不等式求代數(shù)式的最值時(shí)，常常會(huì)用湊項(xiàng)、拆項(xiàng)、常值的代換、消元代換、取平方等技巧，無(wú)論運(yùn)用哪種方式，必須把握三個(gè)條件：(1)“一正”－－各項(xiàng)為正數(shù)；(2)“二定”－－“和”或“積”為定值；(3)“三相等”－－等號(hào)一定能取到．類型1湊項(xiàng)【例1】(1)已知a>b>0，則2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)的最小值為()A．4×eq\r(4,4) B．6C．3×eq\r(3,\f(8a,a2－b2)) D．3eq\r(2)(2)已知正數(shù)a，b滿足2a2＋b2＝3，求aeq\r(b2＋1)的最大值．(1)B[∵a>b>0，∴2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)＝(a＋b)＋eq\f(4,a＋b)＋(a－b)＋eq\f(1,a－b)．∵(a＋b)＋eq\f(4,a＋b)≥2eq\r(a＋b·\f(4,a＋b))＝4，(a－b)＋eq\f(1,a－b)≥2eq\r(a－b·\f(1,a－b))＝2，∴2a＋eq\f(4,a＋b)＋eq\f(1,a－b)≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝2，a－b＝1，即a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．故選B．](2)[解]aeq\r(b2＋1)＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2a2b2＋1)≤eq\f(1,\r(2))·eq\f(2a2＋b2＋1,2)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2a2＝b2＋1，即a＝b＝1時(shí)取“＝”，故aeq\r(b2＋1)的最大值為eq\r(2)．類型2拆項(xiàng)【例2】已知x≥eq\f(5,2)，則eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值1D[法一：∵x≥eq\f(5,2)，∴x－2>0，則eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥eq\f(1,2)×2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＝1，等號(hào)在x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時(shí)取得．法二：令2x－4＝t，∵x≥eq\f(5,2)，∴t≥1．∴x＝eq\f(t,2)＋2．將其代入，原函數(shù)可化為y＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)＋2))eq\s\up12(2)－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)＋2))＋5,t)＝eq\f(\f(t2,4)＋1,t)＝eq\f(t,4)＋eq\f(1,t)≥2eq\r(\f(t,4)·\f(1,t))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(t,4)＝eq\f(1,t)，即t＝2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x＝3．故選D．]類型3常值的代換【例3】(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥m恒成立，則m的最大值等于()A．10B．9C．8D．7(2)設(shè)a＋b＝2，b>0，求eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取最小值時(shí)a的值．(1)B[eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(2a,b)，即a＝b＝eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立．所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為9，又因?yàn)閑q\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值為9．故選B．](2)[解]因?yàn)閍＋b＝2，所以eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(2,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a,4|a|)＋eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)≥eq\f(a,4|a|)＋2eq\r(\f(b,4|a|)×\o(\f(|a|,b)))＝eq\f(a,4|a|)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,4|a|)＝eq\f(|a|,b)，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝eq\f(4,3)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)a＝eq\f(2,3)時(shí)，eq\f(a,4|a|)＋1＝eq\f(5,4)；當(dāng)a＝－2時(shí)，eq\f(a,4|a|)＋1＝eq\f(3,4)．所以eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值時(shí)a的值為－2．類型4消元代換【例4】(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值；(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，求eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值．[解](1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋eq\f(3,b－2)>0，解得b>2．所以a＋2b＝5＋eq\f(3,b－2)＋2(b－2)≥5＋2eq\r(\f(3,b－2)·2b－2)＝5＋2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,b－2)＝2(b－2)，即b＝2＋eq\f(\r(6),2)時(shí)等號(hào)成立．所以a＋2b的最小值是5＋2eq\r(6)．(2)∵實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，∴x＝eq\f(3,y＋3)，∴0<eq\f(3,y＋3)<eq\f(1,2)，解得y>3．則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)＋3＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4，x＝eq\f(3,7)時(shí)，等號(hào)成立．所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為8．類型5取平方【例5】已知x，y為正實(shí)數(shù)且3x＋2y＝10，求W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最大值．[解