2022年新高考天津數(shù)學高考真題

2022年新高考天津數(shù)學高考真題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)全集{-2,-1,0,1,2},集合/={0,1,2},貝1」/口（1；方）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

2.“x為整數(shù)”是“2x+I為整數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/（x）=EH的圖像為（）

貝（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

5,化簡(21og43+lo&3)(log32+log92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

6.已知拋物線/=4后,斗鳥分別是雙曲線W-4=1S〉O力〉0）的左、右焦點，拋物

a~b~

線的準線過雙曲線的左焦點耳，與雙曲線的漸近線交于點若4/個則雙曲線

試卷第1頁，共4頁

的標準方程為（）

2

xr2iB.x2-^-=\

A.---y=1

1016

x2

c.入卜D.---y2=1

4

7.如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三

8.已知〃x）=；sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:

①/（x）的最小正周期為2兀；

②Ax）在[-蓊]上單調(diào)遞增;

③當J,]時，/（X）的取值范圍為-半，半；

o344

④f（x）的圖象可由g（x）=1sin（2x+：）的圖象向左平移9個單位長度得到.

243

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單

位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,口5,16）,[16,17],將其按從左到右的順序

分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方

圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效

的人數(shù)為（）

試卷第2頁，共4頁

D.18

二、填空題

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡1l-二3i2的結(jié)果為

1+21-----------

11.(4+1，的展開式中的常數(shù)項為.

12.若直線/、+，〃=0(〃?>0)與圓(》_1)2+&-1)2=3相交所得的弦長為〃?，則加=

13.設(shè)aeR,對任意實數(shù)x,iB/(x)=min{|x|-2,x2-ar+3a-5}.若至少有3

個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

三、雙空題

14.52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到4的概率為

;已知第一次抽到的是4則第二次抽取/的概率為

15.在“8C中，CA=a,CB=h,。是4C中點，CB=2BE，試用2花表示萬方為

，若而J_瓦，則NNCB的最大值為

四、解答題

16.在中，角/、B、C的對邊分別為a,b,c.己知a==2c,cos/=—1.

4

⑴求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(24-B)的值.

試卷第3頁，共4頁

17.直三棱柱Z2C-481G中，AA.=AB^AC=2,AAXVAB,ACVAB,。為4片的中

點，E為/4的中點，產(chǎn)為8的中點.

⑴求證：EF〃平面4BC；

(2)求直線BE與平面CCQ所成角的正弦值；

(3)求平面4。與平面CCQ所成二面角的余弦值.

18.設(shè)｛叫是等差數(shù)列，｛"｝是等比數(shù)列，且％=仇=%-4=%-4=1.

⑴求｛叫與也｝的通項公式；

⑵設(shè)｛%｝的前n項和為S“，求證：(\+i+%)b,=S?+lb?+t-S?b?；

⑶求才4+I-(T)Z]d.

k=l

22BFJj

19.橢圓r會+v｝=1(。>6>°)的右焦點為F、右頂點為4上頂點為瓦且滿足77=V

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點與>軸相交于N(N異于M).記。為坐標原點，若

\OM\=\ON\,且AOMN的面積為百，求橢圓的標準方程.

20.已知a,6eR,函數(shù)/(X)=e*-asinx,g(x)=分五

⑴求函數(shù)y=/(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點，

(i)當〃=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：a2+l)2>e.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】先求出再根據(jù)交集的定義可求

【詳解】0,5={-2,0,1},故zn&8）={O,l},

故選：A.

2.A

【分析】由當x為整數(shù)時，2x+l必為整數(shù)；當2x+l為整數(shù)時，x比一定為整數(shù)；即可選出

答案.

【詳解】當x為整數(shù)時，2x+l必為整數(shù)；

當2x+l為整數(shù)時，x比一定為整數(shù)，

例如當2x+l=2時，x=~.

2

所以"x為整數(shù)”是"2x+l為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】分析函數(shù)/（》）的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在（-與0）上的函數(shù)值符號，結(jié)合排

除法可得出合適的選項.

【詳解】函數(shù)/（》）=七二的定義域為{巾#0},

且上力山一?。?/p>

-XX

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項錯誤；

又當x<0時，/（x）=l——^<0.C選項錯誤；

當x>l時，/（x）=H=三1=尤-工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

4.C

【分析】利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出。、6、c的大小關(guān)系.

答案第1頁，共14頁

【詳解】因為2°，>（；）>0=log,1>log2,故a>b>c.

故答案為：C.

5.B

【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=(2x；log23+1log23)(log,2+1log,2)

43

=31Og23X21O8l2=2,

故選：B

6.C

【分析】由已知可得出。的值，求出點A的坐標，分析可得|/用=|月由此可得出關(guān)于

“、6、。的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】拋物線/=4氐的準線方程為》=-石，貝隈=石，則片卜石,0)、居(右,0),

X——C

不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立be,即點"J，

x=-c

因為g1即且,則△桃/為等腰直角三角形,

且M用=閨用，即如=2c,可得2=2,

所以，卜=石，解得6=2,因此，雙曲線的標準方程為-片=1.

c2=a2+b2c=4

故選：C.

7.D

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱/尸O-8HC及直三棱柱OGC-4E8組成，作，C3于此

如圖，

因為CH=BH=3,ZCHB=120°,所以CA/=8M=—,HM=-,

22

因為重疊后的底面為正方形，所以48=8C=36,

答案第2頁，共14頁

在直棱柱中，4B1平面BHC,則

由Z8C8C=5可得MW_L平面ADCB,

設(shè)重疊后的EG與FH交點為/,

則%皿=；x3百x3GxT=§,%。-麗=Jx3ex|x3^=?

o127

則該幾何體的體積為嗅2VAFD_BHC-么皿=2x亍-彳=27.

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假.

【詳解】因為〃x)=gsin2x,所以/(x)的最小正周期為7=等=兀，①不正確；

令f=2xe,而好gsinf在一會上遞增，所以/")在［-苦］上單調(diào)遞增，②正

確；因為f=2xe,sin/e--^,1,所以/(x)e-日，③不正確；

由于g(x)=〈sin(2x+?)=：sin2|x+^|,所以/(x)的圖象可由g(x)=工皿2》+勺的圖象

242\o/24

向右平移2個單位長度得到，④不正確.

O

故選：A.

答案第3頁，共14頁

9.B

【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進而求出第三組的總?cè)藬?shù),

從而可以求得結(jié)果.

【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為ex2；50,

(0.24+0.16)x1

所以第三組人數(shù)為50x0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12.

故選：B.

10.l-5i##-5i+l

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出.

ll-3i_(ll_3i)0_2i)=ll-6-25i

【詳解】l+2i―(l+2i)(l-2i)—5-'

故答案為：l-5i.

11.15

【分析】由題意結(jié)合二項式定理可得(4+^的展開式的通項為［“=《??3、工三，令

等=0,代入即可得解.

【詳解】由題意(6+l)的展開式的通項為配」=4(五廠(1)=G3.x芋，

令^^=0即r=l,則G-3'=C；?3=15,

所以的展開式中的常數(shù)項為15.

故答案為：15.

【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.2

【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于加的等式，即可解得加的值.

答案第4頁，共14頁

【詳解】圓(x-iy+(y-l)2=3的圓心坐標為(1,1),半徑為6,

o)的距離為卜;制m

圓心至1J直線x-y+機=0(m>

727F

由勾股定理可得因為m>0,解得加=2.

故答案為：2.

13.a>10

【分析】設(shè)g(x)=x2-ax+3”5,A(x)=|x|-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點,可

得出A20,求出。的取值范圍，然后對實數(shù)。的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出

關(guān)于實數(shù)。的不等式，綜合可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)g(x)=x?-ax+3a-5,//(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，則△=a2_]2a+20N0,

解得QW2或4210.

①當a=2時，g(x)=x2-2x+l,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

②當a<2時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為X1、x2(x,<x2),

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則匕4-2,

所以，2,解得

g(-2)=4+5a-5>0

③當a=10時，g(x)=x2-10x+25,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示:

答案第5頁，共14頁

由圖可知，函數(shù)/(x)的零點個數(shù)為3,合乎題意；

④當a>10時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為七、x4(x3<x4),

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則當之2,

色>2

可得彳2,解得。>4,此時a>10.

g(2)=4+d-5>0

綜上所述，實數(shù)”的取值范圍是［10,”).

故答案為：［10,+8).

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

11

14.

22117

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到/的概率，再由條件概率的公式即可

求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到/的事件為8,第二次抽到/的事件為C,

1

則P（8C）=Wxa=-L,P（8）=3=',P（C|8）=^^=￥=L

'752512215213v7P（B）J_17

13

1

故答案為：--；

22117

31-71

15.—br——a

226

答案第6頁，共14頁

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出示，以舊,可為基底，表示出

國，金，由N8LQE可得獷+/=4?！?，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點￡為原點建立平面直角坐標系，設(shè)E(0,0),8(l,0),C(3,0),/(x,y),由可

得點A的軌跡為以例(TO)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(X+1)2+/=4,即可根據(jù)

幾何性質(zhì)可知，當且僅當C4與。"相切時，NC最大，即求出.

【詳解】方法一:

=47234加霜=書一22當曾=立

~丁2-2，當且僅當同=追網(wǎng)時取等

3b+a耶4琲|4沖-5

TT

號，而0<44。8<兀，所以乙4C5W(0,7].

6

3—1一TT

故答案為：—b——a；—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標系：

E(0,0),%0),C(3,0),/(3),無=(-岑,-9,存=(I,-歷,

DE1AB^>(g^)(x-1)+三=0=(x+1)?+_/=4,所以點A的軌跡是以歷(-1,0)為圓心,

以,?=2為半徑的圓，當且僅當。與?！跋嗲袝r，NC最大，此時

答案第7頁，共14頁

sinC=—=-=-,ZC=-

CM426

3—1-?IT

故答案為：—ft--tz；—.

226

16.(l)c=l

0、.Vio

(2)sinB=---

4

(3)sin(2J-B)=

【分析】(1)根據(jù)余弦定理/=/+。2—2歷cosN以及8=2c解方程組即可求出;

(2)由(1)可求出6=2,再根據(jù)正弦定理即可解出;

(3)先根據(jù)二倍角公式求出sin24cos24,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

(1)

因為/=/+H-2bccos%,BP6=ft2+c2+^bc,而b=2c,代入得6=4(?+，+c?,解得:

c=l.

(2)

由(1)可求出6=2,而0</<兀，所以sin/=Jl-cos2Z=巫,又，一=工,所以

4sinAsinB

9叵

.bsin4*V10.

sinBn=--------=-----7=^—=-----

V64

(3)

因為cosH=-：,所以(兀，故0<8<g,又sin/=Jl-cos?=巫,所以

4224

217

sin2A=2sinJcosA=2x,cos2/i=2cosA—\=2x-----1=—,而

168

sinB=,所以cosB=>/l-sin2B=，

44

故sin(2J-5)=sin24cosB-cos2AsinB=

17.(1)證明見解析

⑶嚕

答案第8頁，共14頁

【分析】(1)以點4為坐標原點，44、4與、4G所在直線分別為x、y、z軸建立空間

直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)利用空間向量法可求得直線8E與平面CG。夾角的正弦值；

(3)利用空間向量法可求得平面4co與平面cctD夾角的余弦值.

(1)

證明：在直三棱柱/8C-44G中，平面/￡G，且則

以點4為坐標原點，9、44、4G所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間

則4(2,0,0)、8(2,2,0)、42,0,2)、4(0,0,0)、與(0,0,2)、C,(0,0,2),。(0,1,0)、

^(1,0,0),尸[，；，】)，則訪

易知平面/8C的一個法向量為京=(1,0,0),則麗福=0，故而

???EFU平面/8C,故EF〃平面4BC.

(2)

解：束=(2,0,0),QD=(O,l,-2),麗=(1,2,0),

設(shè)平面CCQ的法向量為￡=(占,如zj,貝”人黑=2%：°

M-2Z]=0

一/、-EB'U4

取必=2,可得“=(0,2,1),cos<￡S,M>=i=?=-.

答案第9頁，共14頁

4

因此，直線8E與平面CG。夾角的正弦值為

(3)

解：布=(2,0,2),而二(0,1,0),

設(shè)平面4。的法向量為工=(%,%,22),貝?。劭?%+：~20,

的4。=%=。

-、—u-v1V10

取匕=1,可得v=(l,0,T),則c°s<"，"=麗"及正=一記

因此，平面4s與平面cq。夾角的余弦值為典.

10

18.(l)a?=2n-\,b?=2"-'

(2)證明見解析

(6?-2)4"+,+8

zx

【分析】(1)利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；

(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

(3)先求得［/*-(-1)2"47］怎_1+%"「(-1產(chǎn)//&,進而由并項求和可得

北=￡八4"1,再結(jié)合錯位相減法可得解.

A=1

(1)

設(shè)公差為d,也｝公比為g,則%=i+(〃-i)4也=小，

[1+d-q=1

由%一①=%-4=1可得%+2]_/=]="=?=2（d=q=0舍去）,

所以。，=2〃-1也=2"，

(2)

證明：因為%=2%,產(chǎn)0,所以要證(\+1+an+l)b?=S/也Z-S也,

即證（S,川+。，川即=S?+,-26,-S?b?,即證4+/=2S?+,-S“,

即證。用=S,,+「S?,

答案第10頁，共14頁

而-=s向-s”顯然成立,所以⑸-次=S?+l-b?+i-S?-bn；

(3)

因為［%*-(T嚴。2/-1］怎-1+［。2川-(T)*a］1

=(4k-l+4k-3)x22k-2+［4k+\-(4k-\)］x22k-'=2k-4k,

2〃〃

所以-(T)ZM=ZK4-(-1產(chǎn)&T)砥T+(―㈠產(chǎn)&期］

*=1k=\

這2人4%,

k=l

設(shè)北=￡2八4"

A=l

所以7；=2X4+4X42+6X43+--+2〃X4",

則47；=2X42+4X43+6X4"+-一+2〃X4”+I,

2x(14+,

作差得-37；=2(4+42+43+4"+…+4”)-2〃-4向=^~-2nx4"

_(2-6?)4,,+'-8

=-----------,

3

所以7刨芋當

所以知—1)%M=(6〃-21+8

hi9

19.(1"=半

⑵片+片=1

62

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、6的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值

（2）由（1）可知橢圓的方程為乂2+3y=/,設(shè)直線/的方程為v=h+,”，將直線/的方程

與橢圓方程聯(lián)立，由△=（）可得出3/=/（1+3公），求出點"的坐標，利用三角形的面積

公式以及已知條件可求得/的值，即可得出橢圓的方程.

（1）

a曰=>4Q2=392+叫

=>a2=3b2,

答案第11頁，共14頁

2

離心率為c=￡1_V6

a

(2)

解：由(1)可知橢圓的方程為』+3/=〃2,

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為歹=奴+，〃，

y=kx+m

聯(lián)立得(1+3/)/+6析?x+(3〃/—/)=o,

x2+3y2=a2

由』=36公加2一4(1+3左2乂3加2_。2)=0=>3加2“2(]+3左2),①

3kmm

%=kx+m=

3F+1M1+3公

機2(9公+1)

由|0例|=|。叫可得病

(3/+])?②

由邑麗=G可得;|〃?|,JJ=百，③

2111+3A:

聯(lián)立①②③可得公=!，機2=4,4=6,故橢圓的標準方程為.+^=1.

362

20.⑴歹=(1一。卜+1

⑵⑴be［反+句;(ii)證明見解析

【分析】(1)求出/'(0)可求切線方程；

(2)(i)當a=0時，曲線y=/(x)和y=g(x)有公共點即為s(f)=e"-從"20在［0,+8)上

有零點，求導后分類討論結(jié)合零點存在定理可求6e［疝,+8).

(ii)曲線y=/(x)和1=租丫)有公共點即asinx°+W元—e*=0,利用點到直線的距離得到

揚+從2/,「‘，利用導數(shù)可證Y—",從而可得不等式成立.

'sinx0+x0sin^x+x

(1)

/'(%)=e"-acosx,故/'(0)=1-。,而/(。)=1,

曲線/㈤在點(0J(0))處的切線方程為尸(1-。)(％-0)+1即0=(1-。)%+1.

(2)

答案第12頁，共14頁

(i)當。=0時,

因為曲線V=/(x)和=g(x)有公共點，故e'=有解，

設(shè)t=6,故x=『，故e"=從在［O，'1<0)上有解，

設(shè)s(f)=J-",f2