冀教版八年級數(shù)學上冊 （線段的垂直平分線）課件(第1課時)

第十六章

軸對稱和中心對稱線段的垂直平分線第1課時

知識回顧1.什么叫做線段的垂直平分線？2.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線.線段是軸對稱圖形，對稱軸是它的垂直平分線或者說中垂線.情景導入如圖所示,木條l與AB釘在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的點,分別量一量點P1,P2,P3,…到A與B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?獲取新知知識點線段垂直平分線的性質(zhì)1ABlP1P2P31.畫出線段AB的中垂線l，垂足為C；在l上任取一點P1，連結(jié)P1A、P1B；量一量P1A、P1B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？在l上任取一點P2，P2A、P2B的長呢？在l上任取一點P3，P3A、P3B的長呢？2.沿直線l對折線段AB，使端點Ａ與端點Ｂ重合，再次觀察上述線段的關(guān)系.①用對稱的知識說明.如圖,直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上.求證：PA=PB.ABPCl②用全等的知識進行推理.證明：∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°.又AC=CB,PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.幾何語言：∵直線l垂直平分AB，點P在直線l上，∴PA=PB.BAOPMN溫馨提示：這個定理向我們提供了一個證明線段相等的方法.今后我們可以直接利用這個性質(zhì)得到有關(guān)線段相等,同時這也可當作等腰三角形的一種判定方法.歸納例1如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點E，D，(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．分析：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以BD與CD的長度和等于AC的長，所以由△BCD的周長可求BC的長，同樣由BC的長也可求△BCD的周長．

例題講解解：

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.【名師點睛】本題運用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長轉(zhuǎn)化成AD的長，從而把未知的BD與CD的長度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長．本題中AC的長、BC的長及△BCD的周長三者可互相轉(zhuǎn)化，已知兩個即可求得第三個．

解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD

是BC

的垂直平分線，

∴AB=AC．∵點C

在AE的垂直平分線上，

∴AB=CE．∴AB=AC=CE．∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.變式練習1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE變式練習2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.知識點線段垂直平分線性質(zhì)定理的應用2例2

已知：如圖，點A，B是直線l外任意兩點，在直線l上，試確定一點P，使得AP+BP最短.lAB解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B,交直線l于點P，則AP+BP最短.A'PlABA'P由作圖可知，l是AA'的中垂線理由如下：在l上另取一點M，連接MA,MB,MA'∴AP=A'P,AM=A'M（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）∴AP+BP=A'P+BP=A'BAM+BM=A'M+BM由“兩點之間線段最短”可得A'B＜A'M+BM即AP+BP最短M變式練習3

如圖，已知牧馬人營地在M處，每天牧馬人好先趕馬群到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營地，試著設(shè)計出最短的的木馬路線？營地M草地河M'M''（2）若A、B兩點在直線的同側(cè)，作其中一個點關(guān)于直線的對稱點，化同側(cè)為兩側(cè)，化折線段為一條直線段；求線段和最短問題的實質(zhì)：（3）最后利用“兩點之間線段最短”加以解決.（1）若A、B兩點在直線兩側(cè)，直接連接A、B兩點，直線段最短；隨堂演練1.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(

)

A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC2.如圖，線段AC的垂直平分線交線

段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(

)A．50°B．100°C．120°D．130°B2.如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點M，則線段AM，CM的大小關(guān)系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．無法確定B3.如圖所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.ABCDE10cm4.如圖，在△ABC

中，BC=8，AB的中垂線交BC

于D，AC

的中垂線交BC

與E，則△ADE的周長等于_________．ABCDE8cm5.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，點A、B到河邊的距離分別為AC、BD且AC=BD，點A、B到CD的中點的距離均為500m.牧童從A出把牛牽到河邊飲水后再回家，請你設(shè)計出最短路線.BACDA'M'解：如圖，最短路線是A--M′--B.6.已知：如圖，D、E分別是AB，AC的中點，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E.求證：AC=ABACBDE證明：如圖連結(jié)B，C.∵AD=BD，CD⊥AB∴AC=BC(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）∵AE=CE，BE⊥AC∴AB=BC(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）∴AC=AB課堂小結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)內(nèi)容見垂直平分線，得線段相等線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等應用第十六章

軸對稱和中心對稱線段的垂直平分線第2課時

知識回顧什么叫做線段的垂直平分線？線段垂直平分線的性質(zhì)定理內(nèi)容是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線.線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.幾何語言：∵直線l垂直平分AB，點P在直線l上，∴PA=PB.ABPCl情景導入動手操作：在練習本上以線段AB為底邊做等腰△PAB.不確定可以作無數(shù)個△PAB的形狀和大小是確定的嗎？符合條件的△PAB能作幾個？觀察：你所畫出的所有點P的位置，有什么特征？在一條直線上推測：這條直線與線段AB的關(guān)系這條直線是線段AB的中垂線ABP思考：當PA=PB時，點P一定在AB的中垂線上嗎？折一折獲取新知知識點線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理1PAB已知：如圖，點P是線段AB外一點，且PA=PB．求證：點P

在線段AB

的垂直平分線上．一起探究1.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題是什么？2.結(jié)合圖形寫出這個逆命題的已知和求證.3.猜想這個逆命題的真假，并試著說明理由.4.小組合作完成猜想的證明．證明：設(shè)線段AB的中點為O,連接PO并延長.在△POA和△POB中,∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點P在線段AB的垂直平分線上.PAB0還可以怎么做輔助線？證明：作∠APB的角平分線PO,交PO于點O.在△POA和△POB

中，

PA=PB，∠APO=∠BPO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）．∴∠POA=∠POBPABO∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點P在線段AB的垂直平分線上.證明：過點P

作AB

的垂線PO，垂足為點O．則∠POA=∠POB=90°．在Rt△P0A

和Rt△P0B

中，

PA=PB，PO=PO，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）．∴AO=BO．又PO⊥AB，∴點P

在線段AB的垂直平分線上．PABO這個方法下一章將要學.到一條線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．幾何語言：如圖，∵PA=PB，∴點P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.歸納線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理(2)若PA=PB,同時MA=MB,則直線PM是線段AB的中垂線嗎？PABl不一定是.理由：經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條.思考：(1)若PA=PB,過點P作直線l,則l是線段AB的中垂線嗎？是.理由：兩點確定一條直線.M歸納幾何語言：如圖，∵AB=AC，MB=MC，∴點A、M均在線段BC的中垂線上∴AM垂直平分BCA

B

C

D

M用線段垂直平分性質(zhì)定理的逆定理判定線段垂直平分線的條件：必須有兩個點到這條線段的兩端距離相等.判定線段垂直平分線的方法1.用線段垂直平分線的定義.2.用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，推出兩個點都在線段的線段垂直平分線上，則過這兩個點的直線就是這條線段的線段垂直平分線.總結(jié)例1

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分

∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．分析：根據(jù)全等證CD＝DE，所以點D

在CE的垂直平分線上，只要再證點A也在CE的垂直平分線上，就能解決問題．證有兩點在線段的垂直平分線上哦！例題講解證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE,∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

在△ADC和△ADE中，

∠DAC=∠DAE,∠AED＝∠ACB，AD＝AD，

∴△ADC≌△ADE，

∴AC＝AE，CD＝ED，

∴點A、點D在CE的垂直平分線上，

∴直線AD是CE的垂直平分線．變式練習1

如圖，四邊形ABCD是一個“風箏”骨架，其中AB=AD,CB=CD.CBADE(1)小明認為四邊形ABCD的兩條對角線AC⊥BD,垂足為E,并且BE=EB,你同意他的說法嗎？解：同意，理由∵AB=AD,CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴AC⊥BD,BE=EB.CBADE(2)設(shè)對角線AC=a,BD=b,請用含a,b的式子表示四邊形ABCD的面積.知識點線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理的綜合運用2例2已知：如圖，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點P

求證：點P在BC的垂直平分線上（1）由已知條件想到哪個定理？線段垂直平分線的性質(zhì)定理（2）由結(jié)論想到哪個定理？線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理ABPCDE證明：連接PA、PB、PC.∵點P在AB、AC的垂直平分線上（已知）∴PA＝PB，PA＝PC

（線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等）∴PB＝PC（等量代換）∴點P在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上)

你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？三角形的三邊的中垂線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等.歸納ABPCDE

變式練習2

如圖，A,B,C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民的文化生活，現(xiàn)準備建一個文化廣場，使它到三個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應建在（

）A.AC,BC兩邊高線的交點處B.AC,BC兩邊中線的交點處C.AC,BC兩邊中垂線的交點處D.∠A,∠B兩內(nèi)角平分線的交點處CBAC1.如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(

)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB與