冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （解直角三角形）教育教學(xué)課件

26.3解直角三角形

ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.在Rt△ABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中∠C=90°，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？c290°知識(shí)回顧

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，還有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.BACcab對(duì)邊鄰邊斜邊獲取新知直角三角形中，未知的5個(gè)元素之間的關(guān)系①三邊之間的關(guān)系BCAcba已知任意兩邊可求出第三邊直角三角形中，未知的5個(gè)元素之間的關(guān)系②兩個(gè)銳角之間的關(guān)系BCAcba已知一個(gè)銳角可求出另一個(gè)銳角直角三角形中，未知的5個(gè)元素之間的關(guān)系③邊角之間的關(guān)系BCAcba關(guān)系式中有一角、兩邊三個(gè)量，已知任意兩個(gè)量，可求第三個(gè)量直角三角形中，未知的5個(gè)元素之間的關(guān)系②兩個(gè)銳角之間的關(guān)系BCAcba根據(jù)以上關(guān)系，若知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其他三個(gè)元素.①三邊之間的關(guān)系③邊角之間的關(guān)系:例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=34°，AC=6.解這個(gè)直角三角形.（結(jié)果精確到0.01）（sin34°≈0.60,cos34°≈0.56,tan34°≈0.67)ACB34°6嘗試獨(dú)立解決，再一起交流（1）欲求的未知元素有哪些？∠B、BC、AB（2）如何求∠B?利用∠A+∠B=90°例題講解ACB34°6（3）如何求BC？所求的BC與已知的AC的比構(gòu)成tanA,用tanA=BC:AC來(lái)求.（4）如何求AB?所求的AB與已知的AC的比構(gòu)成cosA,用cosA=AC:AB來(lái)求.把所求的線段和已知的線段放到一個(gè)比例式中，確定是哪個(gè)角的哪個(gè)三角函數(shù)sin34°≈0.60,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67ACB34°6解：∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.在Rt△ABC中∴BC=AC·tanA=6×tan34°≈6×0.6745=4.047想一想：求AB時(shí)，用勾股定理好不好？指明是哪個(gè)直角三角形指明是哪個(gè)三角函數(shù)導(dǎo)公式、計(jì)算不好，會(huì)增大結(jié)果的誤差，應(yīng)盡可能用原題中的數(shù)據(jù).例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解這個(gè)直角三角形.（角度精確到1”）ACB815（1）欲求的未知元素有哪些？∠A、∠B、AB（2）如何求∠A?已知的BC和AC的比構(gòu)成tanA,用tanA=BC:AC來(lái)求.sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53ACB815（3）如何求∠B?（4）如何求AB?利用勾股定理.利用∠A+∠B=90°.例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解這個(gè)直角三角形.（角度精確到1”）ACB8解：在Rt△ABC中∴∠A=28°想一想：求AB時(shí)，用sinA好不好？由邊長(zhǎng)可導(dǎo)出角度不好，會(huì)增大結(jié)果的誤差，應(yīng)盡可能用原題中的數(shù)據(jù).sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.5315∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°.在Rt△ABC中，由勾股定理得1、數(shù)形結(jié)合有利于分析問(wèn)題；2、選擇關(guān)系式時(shí)，盡量使用原始數(shù)據(jù)，以防“累積誤差”和“一錯(cuò)再錯(cuò)”；3、解直角三角形時(shí)，應(yīng)求出所有未知元素。注意事項(xiàng)：解直角三角形的原則：（1）有角先求角，無(wú)角先求邊（2）有斜用弦,無(wú)斜用切；寧乘毋除,取原避中。ABC550﹖例3

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過(guò)點(diǎn)

A作

AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+┐CABDABCE求解非直角三角形的邊角問(wèn)題，常通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)換為直角三角形來(lái)解.提示D歸納總結(jié)┐┐┐1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3，AC=3,則∠B的度數(shù)為()A.90°B.60°C.45°D.30°C隨堂演練2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，則BC的長(zhǎng)為（）A.3sin35°B.2cos35°C.3cos35°D.3tan35°C3.在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A的值，最適宜的做法是()A.計(jì)算tanA的值求出B.計(jì)算sinA的值求出C.計(jì)算cosA的值求出D.先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出C4.在Rt△ABC中，∠C=90°，根據(jù)下列條件解直角三角形：（1）a=，c=.（2）b=15，∠B=60°.解：（1）∵a=，c=，∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.（2）∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.∵b=15，∴.圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的長(zhǎng)為7或17.當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，一定要注意分類討論.5.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長(zhǎng).解直角三角形依據(jù)解法：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)隨堂演練1.下列說(shuō)法不正確的是(

)A．矩形是平行四邊形B．矩形不一定是平行四邊形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形D．平行四邊形具有的性質(zhì)矩形都具有B解直角三角形依據(jù)解法：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)解直角三角形依據(jù)勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)解法：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素解直角三角形的應(yīng)用第1課時(shí)

在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素求其余未知元素的過(guò)程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系:(必有一邊)ACBabc知識(shí)回顧問(wèn)題：（課本117頁(yè)“做一做”）小明在距旗桿4.5m的點(diǎn)D處，仰視旗桿頂端A,仰角為50°；俯視旗桿的底部B,俯角為18°.求旗桿的高.（結(jié)果精確到0.1m）.小明ADB視線視線水平線4.5OC地平線解讀:仰角、俯角是指視線與水平線的夾角.如：∠AOC是仰角.∠BOC是俯角.情景導(dǎo)入已知：如圖，OD、AB均與BD垂直，垂足分別為點(diǎn)D、B,OC//BD,BD=4.5m，∠AOC=50°；∠BOC=18°.求AB的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1m）.先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題ADB4.5OC獲取新知一起探究解：由題意可得，OC=BD=4.5在Rt△OCB中在Rt△AOC中∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8東西北南O(1)正東，正南，正西，正北(2)西北方向:_________西南方向:__________

東南方向:__________東北方向:__________射線OAABCDOBOCOD45°射線OE射線OF射線OG射線OHEGFH45°45°45°認(rèn)識(shí)方位角O北南西東(3)南偏西25°25°北偏西70°南偏東60°ABC射線OA射線OB射線OC70°60°認(rèn)識(shí)方位角例1

如圖所示，一艘漁船以30海里/時(shí)的速度由西向東航線.在A處看見(jiàn)小島C在船北偏東60°方向上，40min后，漁船行駛到B處，此時(shí)小島C在船北偏東30°方向上.已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍是多暗礁的危險(xiǎn)區(qū).如果這艘漁船繼續(xù)向東航線，有沒(méi)有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能.BCA北30°60°解讀：方位角：視線與正南（或正北）方向的夾角.思考：如何判斷漁船有沒(méi)有可能進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)？例題講解BCA北30°60°分析：只需要計(jì)算垂線段CD的長(zhǎng)度即可.CD即漁船與小島的最近距離，當(dāng)CD≥10時(shí)，沒(méi)有危險(xiǎn)；當(dāng)CD＜10時(shí)，有危險(xiǎn).DBCA北30°60°DEF轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，AB的長(zhǎng)為

海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的長(zhǎng).20BCA北30°60°DEF方法一：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=60°,設(shè)BD=x在Rt△BCD中∴CD=BD·tan∠CBD=√3x在Rt△ACD中，解得，x=10∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).兩個(gè)直角三角形△BCD與△ACD各用一次三角函數(shù)20BCA北30°60°DEF方法二：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=60°,設(shè)CD=x在Rt△BCD中在Rt△ACD中，∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).兩個(gè)直角三角形△BCD與△ACD各用一次三角函數(shù)20BCA北30°60°DEF方法三：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=90°-30°=60°,∵∠1=90°-60°=30°∴∠2=∠1=30°∴BC=AB=20在Rt△BCD中∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).把已知數(shù)值導(dǎo)入Rt△CBD中，不再用設(shè)未知數(shù)1220BCA北30°60°DEF20BCA北30°60°DEF1220思考：用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)，什么情況下需要設(shè)未知數(shù)、列方程？什么情況下不需要設(shè)未知數(shù)，可以直接求？方法一、二中已知邊AB不是直角三角形的邊長(zhǎng)，需設(shè)未知數(shù).方法三中導(dǎo)出BC=20，BC是直角三角形的邊長(zhǎng)，可直接計(jì)算，不設(shè)未知數(shù).用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)的注意事項(xiàng)1.當(dāng)給出的已知邊長(zhǎng)恰為直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，可直接計(jì)算；2.當(dāng)給出的已知邊長(zhǎng)不是直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，可設(shè)未知數(shù)；3.當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形時(shí)，一般會(huì)用兩次三角函數(shù).1.如圖，小明為了測(cè)量校園里旗桿AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放在距旗桿底部B點(diǎn)6m的位置，在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53°，若測(cè)角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為_(kāi)_____m.（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9.5隨堂演練2.如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC=____米.1003.如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為_(kāi)___海里(結(jié)果取整數(shù))．(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)114.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗桿的高度為15.2m.

5.如圖所示，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：≈1.732,

≈1.414)．200km200kmC解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°