基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第7章）

主講老師：第5章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第6章直線與圓的方程第7章簡單幾何體第8章概率與統(tǒng)計(jì)初步引言等幾何體.實(shí)際上，我們生活在一成的立體空間中.因此，掌握基本十分必要.本章我們首先認(rèn)識(shí)簡單積的相關(guān)計(jì)算.7.1.1簡單幾何體的形狀?一個(gè)多面體至少有四個(gè)面，根據(jù)面數(shù)的不同，多面體可分為四面體、五面體、六面體等.面不全是平面.棱臺(tái)等.知識(shí)精講生活中常見的物體除了有柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡單幾何體外，還有大量物體是由這些簡單幾何體組合而成的，我們將這些由簡單幾何體組合而成合而成的簡單組合體.請(qǐng)舉例說明.物體在日光或燈光的照射下，會(huì)在墻壁、地面等處形成影子(見圖7-4),而且隨著物體與光源的距離或角度的變化，影子的大小和形狀會(huì)有所不同.將物體投影到平面上，可以獲得一個(gè)平面圖形，根據(jù)這個(gè)平面圖形可以確定物體的全貌嗎?應(yīng)從哪些角度投影才能更好地確定物體的形狀和大小?面的投影與這個(gè)平面的形狀和大小完全相同.影如圖7-5所示.(a)中心投影(b)平行投影(斜投影)(c)平行投影(正投影)為了確定幾何體的全貌，需要從多個(gè)角度進(jìn)行投影.通常，我們采用如圖7-6所示為長方體的三視圖.在三種正投影中，第一種是如圖7-6所示為長方體的三視圖.在三種正投影中，第一種是光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖稱為幾何體正視圖、側(cè)視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖，它們都是平面圖形，一般地，側(cè)視圖放在正視圖的右邊，俯視圖放在正視圖的下邊.從生活經(jīng)驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)，水平放置的圓看起來非常像橢圓.在畫水平放置的圓的直觀圖時(shí)，我們常用如圖7-13所示的橢圓模板.下面我們首先以正六邊形為例，學(xué)習(xí)水平放置的平面圖形直觀圖的畫法；然后在理解斜二測畫法的基礎(chǔ)上，探究幾何體直觀圖的畫法.學(xué)以致用 例3用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.解解(1)如圖7-14(a)所示，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對(duì)稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)0.在圖7-14(b)中，畫出相應(yīng)的x'軸點(diǎn)N為中點(diǎn)，畫BC平行于軸，并且等于BC;再以點(diǎn)M為中點(diǎn)，畫E'F'平行于x'軸，(2)畫圓柱的下底面.在x軸上取A,B兩點(diǎn)，使線段AB的長度等于俯視圖中圓為圓柱的下底面.(3)畫圓柱的上底面.在z軸上截取點(diǎn)O’,使線段O0等于正視圖中下部圓柱的高，過點(diǎn)O'作平行于x軸的x'軸，用類似圓柱下底面的畫法畫出圓柱的上底面.形的直觀圖.(尺寸自定)(1)直角三角形；(2)正五邊形.正五邊形的中心，(尺寸自定)圖的方法.活中我們常見的物體有哪些是棱柱?底面是平行四邊形直的平行六面體稱為是矩形的直平行六面都相等的長方體稱為柱的高.如圖7-24所示的多面體都是棱柱.表示棱柱時(shí)，通常分別順次寫出兩個(gè)底面頂點(diǎn)的字母，中間用一條短橫線隔開.例如，圖7-24(a)所示的棱柱可記通常，棱柱可分為斜棱柱和直棱柱兩大類.側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為求做一個(gè)滾筒所需要的鐵板面積是多少?(精確到0.1m2)積.正棱錐主要具有以下性質(zhì).(1)正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰上的高(稱為正棱錐的斜高)相等；(2)正棱錐的高、斜高及斜高在底面上的平行正投影組成一個(gè)直角三角形；已知正四棱錐底面正方形的邊長為6cm,高與斜高的夾角為，求此正四棱錐的側(cè)面積、全面積和體積.(保留4位有效數(shù)字)體積.7.3旋轉(zhuǎn)體圓錐.以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面(或平面)所圍成的幾何體稱為圓錐，旋轉(zhuǎn)軸所在的直線稱為圓錐的軸；另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的平面稱為圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓錐的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都稱為圓錐的母線；母線與軸的交點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn)；頂點(diǎn)到底面的距離稱為圓錐的高.圓錐用表示軸的字母表示，如圖7-33所示的圓錐表示為圓錐0o'.圓錐主要具有以下性質(zhì).(1)平行于底面的截面是圓；(2)圓錐的軸截面是以底面直徑為底、母線為腰的等腰三角形，其底邊上的高等于圓錐的高；(3)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的距離都相等，且等于母線的長如圖7-34所示為圓錐的表面展開圖，設(shè)其底面半徑為r,母線長為l,高為h,則其側(cè)面積、全面積和體積公式分別為已知圓錐的母線長為2,圓錐的高為1,求該圓錐的體積.即10個(gè)沙堆約重71t.所以，需要運(yùn)9次才能將沙全部運(yùn)走.為60°,求圓錐的體積.生活中的數(shù)學(xué)日常生活中有很多球形物體，如足球、籃球、乒乓球等，如圖7-35所示.那么，球是如何形成的呢?其表面積和體積應(yīng)如何計(jì)算?以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，由半圓弧旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為球面.球面所圍成的幾何體稱為球體，簡稱球.半圓的圓心稱為球心；連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段稱為球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段稱為球的直徑.如圖7-36所示的球中，點(diǎn)O是球心，線段OC是球的半徑，線段AB是球的直徑.球用表示球心的字母表示，如圖7-36所示的球可表示為球O.球面也可以看作與定點(diǎn)(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點(diǎn)的集合.設(shè)球心到截面的距離為d,球的半徑為R,截面圓的半徑為r,則經(jīng)過球心的平面截球所得的圓稱為球的大圓，此時(shí)，d=0,r=R,截面圓的面積最大；不經(jīng)過球心的平面截球所得的圓稱為球的小圓。經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧(指不超過半個(gè)大圓的弧)的長度稱為兩點(diǎn)的球面距離.它是球面上這兩點(diǎn)之間最短連線的長度，如圖7-38所示，劣弧的長度就是兩點(diǎn)的球面距離.S球=4πR2,學(xué)以致用球半徑約為6370km)≈2π×637