第10講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末重點(diǎn)題型大總結(jié)

第10講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（2023春·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）求下列各式的值：(1)計(jì)算：；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）因?yàn)?，所以，所以，所?【變式1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀?）已知，求實(shí)數(shù)的值；（2）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算(1).(2).【答案】(1)(2)2【詳解】（1）＝＝＝＝（2）=2題型02數(shù)的大小比較問(wèn)題【典例1】（2023春·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由冪函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以，所以，即.故選：D.【典例2】（2021秋·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∵，∴，，則，∵，∴，綜上，.故選：C.【變式1】（2023春·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】故選：A.【變式2】（2023春·河南安陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，因此，故選:C.題型03定義域問(wèn)題【典例1】（云南省紅河哈尼族彝族自治州20222023學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題得，解得且.故選：A.【典例2】（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【變式1】（2023春·北京順義·高二牛欄山一中?？计谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)?【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，恒成立．?dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，需滿足于是．綜上所述，m的取值范圍是．故答案為：.題型04值域問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最大值為．【答案】【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.故答案為：【典例2】（2023春·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并予以證明；(2)若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)1【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：，由，解得，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為偶函數(shù).（2）若存在使得不等式成立，，而，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即，實(shí)數(shù)的最大值為1.【典例3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)a的值，并用單調(diào)性定義證明在上單調(diào)遞增；(2)若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)a＝1，證明見(jiàn)解析(2)2【詳解】（1）由得a＝1．任取，，且，．由，得，，所以，所以．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，即，解得m＝2或（舍去），所以m＝2．【典例4】（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若a＞1，且對(duì)任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則由零點(diǎn)存在定理可得，即解得，所以的取值范圍是．（2）若對(duì)任意，都有，使得成立，則當(dāng)時(shí)，．因?yàn)閍＞1，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，，所以．當(dāng)1＜a＜2時(shí)，，，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，，符合條件，所以a的取值范圍是．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閷?duì)都有成立，所以，故答案為：【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的解集；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，即，解得.所以不等式的解集為.（2）易知的對(duì)稱軸為，則①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則綜上.【變式3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，則不等式即為，因?yàn)?，在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，即不等式的解集為.（2）由對(duì)恒成立，可得對(duì)恒成立，令，因?yàn)?，所以，，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式4】（2023春·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期末）已知（實(shí)數(shù)b為常數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域D；(2)若不等式當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則或，解之得或，即．（2）當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，令，則，故．令，且，，當(dāng)且時(shí)，，則，可得在上單調(diào)遞減，則，所以，解得，即b的取值范圍為．題型05指數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù),若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】作出的圖象，如圖所示：由，可得，則，令，則，故．故選：D．【典例2】（2023春·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；(2)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，則，由于，所以，，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以m的取值范圍是.【典例3】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)，.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若為奇函數(shù)，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，不等在恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意可得，解得，所以的定義域?yàn)?（2）若為奇函數(shù)，所以，，所以，所以，所以.（3）當(dāng)時(shí)，,所以不等式在恒成立，即，即，令，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等，所以.故k的取值范圍為.【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】由圖象可知，函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時(shí)，，可得.對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由題意可知，，則，所以，，D對(duì).故選：ABD.【變式2】（2023春·湖北荊州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，當(dāng)?shù)亩x域是時(shí)，此時(shí)值域也是.(1)求的值；(2)若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.【答案】(1)，或，(2)證明見(jiàn)解析，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.綜上，，或，.（2）因?yàn)?，所以，，則，定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以為奇函?shù).則不等式，可化為.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以不等式的解集為.【變式3】（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)4【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，解得.即（2）因?yàn)?，所以可得，由于，所以所以，令，所以，所以因?yàn)?，所以，?所以整數(shù)的最小值為4.題型06對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在定義域上滿足，若在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，可得為上的奇函數(shù)，且.因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上是減函數(shù).又，所以.由，可得或，解得或.所以不等式的解集為.故選:D.【典例2】（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】函數(shù)最小值為0，設(shè)，所以只要滿足恒成立，函數(shù)對(duì)稱軸為，且，①，即時(shí)，滿足題意；②，即時(shí)，需滿足，即，得，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.【典例3】（2023春·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由已知可得，.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，所以，所以，所以.由可得，，化簡(jiǎn)可得，即，所以，，解得．（2）.令，，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增.又單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增.又函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以有，.所以，由即可得出，所以，.平方整理可得，，解得或．【典例4】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1),在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析(2)或.【詳解】（1）解：因?yàn)榈亩x域是且是奇函數(shù)，可得，可得，函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取，且，則，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以，所以，所以，即，所以在上是增函數(shù).（2）解：由（1）知在上是增函數(shù)，且，則不等式，即為，可得，即，解得或，所以不等式的解集為或.【變式1】（2023春·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，若，則的最大值為.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)?，根?jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.則，所以的最大值為.故答案為：.【變式2】（2023春·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)若方程有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知可得，.因?yàn)闉镽上的偶函數(shù)，所以，即，即恒成立，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故.（2）由（1）知，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以.因?yàn)榉匠逃薪猓从薪?，所以，?【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象過(guò)點(diǎn)．(1)求a的值：(2)求的解析式；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得．（2）設(shè)，則，則．

因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，則．

綜上所述，（3）由，得或

解得或．

故不等式的解集為．題型07函數(shù)與方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】令．①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得；②當(dāng)時(shí)，，由，解得，．作出函數(shù)，直線，，的圖象如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．故選：D．【典例2】（多選）（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．的取值范圍為C． D．最大值為1【答案】AC【詳解】函數(shù)圖象如圖所示：由圖可得，A正確；當(dāng)時(shí),,故，B錯(cuò)誤；又且，故,可得，C正確又可得，又，故等號(hào)不成立,即，D錯(cuò)誤,故選：AC.【典例3】（2023春·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，若，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如圖，所以，即.若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有1個(gè)解，如圖，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解需滿足，即.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【變式1】（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，則B．的單調(diào)減區(qū)間是C．的值域是D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，若是偶函數(shù)，定義域?yàn)?，?duì)于任意的，由，所以，所以，A正確，對(duì)于B,由復(fù)合而成，由于在單調(diào)遞減，開(kāi)口向上的二次函數(shù)在單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可知的單調(diào)減區(qū)間是，B正確，對(duì)于C，由B可知，的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間為，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故，故值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由C可知值域?yàn)?，如圖：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確，故選：ABD【變式2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)(且)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有20個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】函數(shù)在區(qū)間上恰有20個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象在區(qū)間上有20個(gè)交點(diǎn)，由知，是周期為2的函數(shù)，作函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如下：易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有17個(gè)交點(diǎn)，故在上有3個(gè)交點(diǎn)，顯然不滿足題意，所以則需，解得故答案為：【變式3】（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，，設(shè)，則，則，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，.綜上：.（2）解：，因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，由可得且，由，可得，設(shè)，則，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型08函數(shù)模型及其應(yīng)用【典例1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？计谀┠辰虒W(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)天.故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚(yú)的游速為v（單位：），鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為51200，則當(dāng)時(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為（

）A．400 B．800 C．1600 D．3200【答案】B【詳解】因?yàn)闀r(shí)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為，所以，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相除，可得，即，可得，解得.故選：B.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）科研小組研制鈦合金產(chǎn)品時(shí)添加了一種新材料，該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y是這種新材料的含量（單位：克）的函數(shù)．研究過(guò)程中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（單位：克）02610…－488…已知當(dāng)時(shí)，，其中為常數(shù)．當(dāng)時(shí)，和的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①；②且；③且；其中均為常數(shù)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)求該新材料的含量為多少克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大．【答案】(1)選擇①的函數(shù)模型，理由見(jiàn)詳解，此時(shí)解析式為：；(2)當(dāng)新材料的含量克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.【詳解】（1）由表格知當(dāng)時(shí)，，若選①，則，若選②且，則，此時(shí)且不滿足時(shí)，，故不選，若選③且，時(shí)無(wú)意義，故不選，所以選①的函數(shù)模型來(lái)描述之間的關(guān)系，由題意有當(dāng)時(shí)，由，且時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；當(dāng)時(shí)得：；聯(lián)立，解得：，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，將代入上式有：，解得：，即當(dāng)時(shí)，綜上有，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)新材料的含量克時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最大.【典例4】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）在無(wú)菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.235(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來(lái)估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為百萬(wàn)個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請(qǐng)用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【答案】(1)，(2)模型①是“理想函數(shù)模型”，理由見(jiàn)解析(3)（百萬(wàn)個(gè)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，，，聯(lián)立上式，解方程可得，，則；當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，聯(lián)立上式，解方程可得，則；（2）考慮①，由，可得，而，可得模型①是“理想函數(shù)模型”；考慮②，由，可得而，所以模型②不是“理想函數(shù)模型”；（3）由（2）可得時(shí)，（百萬(wàn)個(gè)【變式1】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【詳解】設(shè)石片第次“打水漂”時(shí)的速率為，則，，，則，即，解得，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為10．故選：．【變式2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：由表格數(shù)據(jù)得到如下散點(diǎn)圖，為遞增趨勢(shì)，隨變大增長(zhǎng)率變小，只有B符合；法二：對(duì)于A，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，增長(zhǎng)速度很快，且在時(shí)，時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求；對(duì)于B，函數(shù)，是對(duì)數(shù)函數(shù)，增長(zhǎng)速度緩慢，且在時(shí)，時(shí)，基本符合要求；對(duì)于C，函數(shù)是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求；對(duì)于D，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，代入值偏差較大，不符合要求，故選：B.【變式3】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）行駛中的汽車在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離，在某種路面上，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)測(cè)試，某種型號(hào)汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米/時(shí)，）的一些數(shù)據(jù)如表．為了描述汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米時(shí)）的關(guān)系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：，，．04060800(1)請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過(guò)米，求行駛的最大速度．【答案】(1)最符合實(shí)際的函數(shù)模型，，；(2)千米/時(shí)．【詳解】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)可得最符合實(shí)際的函數(shù)模型，將，；，；，分別代入上式可得，解得，即所求的函數(shù)解析式為，；（2）令，即，解得，又，所以，即要求剎車距離不超過(guò)米，則行駛的最大速度為千米時(shí)．三、數(shù)學(xué)思想01數(shù)形結(jié)合的思想1．（2023春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）已知是定義上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，若在上恰好有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則．【答案】【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，故，又是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，故，即有，所以是周期為，且關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在上遞增，上遞減，上遞增，所以在的大致圖像如下：要使在上恰好有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，所以必有兩對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱，則.故答案為：.2．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┒x在R上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．【答案】7【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以的圖象如圖所示，由，得，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)?，，，，所以的圖象與的圖象共有7個(gè)交點(diǎn)，所以有7個(gè)零點(diǎn)，故答案為：702分類討論的思想1．（2023秋·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┮阎瘮?shù)（，且）是指數(shù)函數(shù)．(1)求，的值；(2)求解不等式．【答案】(1)，(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，且)是指數(shù)函數(shù)，所以，，所以，.（2）由（1）得(，且)，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，則由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，則由，可得，解得；綜上：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.2．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且）．(1)求函數(shù)的定義域．(2)判斷函數(shù)的奇偶性并給出證明．(3)求使成立的x的取值范圍．【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見(jiàn)詳解；(3)當(dāng)時(shí)，使的x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，使的x的取值范圍為.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?；?）函數(shù)為奇函數(shù)；證明：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，設(shè)，則，所以所以函數(shù)為奇