空間向量及其線性運算導(dǎo)學(xué)案

空間向量及其線性運算導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，、；類比平面向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數(shù)乘運算及其運算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.重點難點重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運算律。難點：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計算和應(yīng)用。課前預(yù)習(xí)自主梳理要點一空間向量的有關(guān)概念1.空間向量的定義在空間，像位移、力、速度、加速度這樣既有大小又有方向的量，叫作空間向量.2.空間向量的表示空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示.3.空間向量的線性運算(1)空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算的意義，如圖.eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b；eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R).(2)空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律：運算律(其中λ，μ∈R)(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a；(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.要點二特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量要點三共線向量及共線向量定理1．空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．2．方向向量：如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.思考：由數(shù)乘λa＝0，能否得出λ＝0?提示不能．λa＝0?λ＝0或a＝0.3．向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.5．共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．6．空間向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．思考：若向量p，a，b滿足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面嗎？提示共面．當(dāng)a與b共線時，顯然向量p，a，b共面；當(dāng)a與b不共線時，由向量共面的充要條件，可知向量p，a，b共面．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)零向量沒有方向.()(2)兩個有公共終點的向量,一定是共線向量.()(3)空間向量的數(shù)乘運算中,只決定向量的大小,不決定向量的方向.()(4)若,則.()(5)若兩個向量的起點重合,則這兩個向量的方向相同.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×【解析】(1)錯誤.零向量與任意向量共線，故可以認(rèn)為零向量的方向是任意的.(2)錯誤.方向相同或相反的向量稱為共線向量，與是否有公共終點無關(guān).(3)錯誤.當(dāng)時，與向量的方向相同；當(dāng)時，與向量的方向相反.(4)正確.由相反向量的概念可知正確.(5)錯誤.若兩個向量的起點重合，終點不確定，則其方向的關(guān)系不能確定.2.已知空間四邊形,連接,則()A. B. C. D.0 【答案】【解析】.故選項.3.下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.畫圖舉例判斷；B.利用相等向量判斷；C.畫圖舉例判斷；D.畫圖舉例判斷；【解析】A.如圖所示：，三個向量共面，故錯誤；B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點總可以在同一點，故兩個向量都共面，故正確；C.如圖所示：，在正方體中三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；D.如圖所示：，在正方體中三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；故選：ACD新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境引入課題引導(dǎo)語章前圖展示的是一個做滑翔傘運動的場景．可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等．顯然，這些力不在同一個平面內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，你能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運動呢？問題1能否類比平面向量，給空間向量下個定義？與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量(spacevector)，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus)．問題2可以表示平面向量,也可以表示空間向量嗎?平面向量與空間向量有哪些異同點?它們模長的幾何意義相同嗎?環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念閱讀課本填寫以下概念的內(nèi)容零向量及其記法：單位向量：相反向量及其記法：共線向量（平行向量）：參考答案：與平面向量一樣，我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量(zerovector)，記為．當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量叫做單位向量(unitvector)．與向量長度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記為．如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合．因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念問題3類比平面向量的線性運算，空間向量的加法、減法如何定義？如圖，已知空間向量，，以任意點為起點，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面內(nèi)．?dāng)?shù)學(xué)中，引進一種量后，一個很自然的問題就是要研究它們的運算．由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個空間向量的運算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運算．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念問題4想一想，向量線性運算的結(jié)果，與向量起點的選擇有關(guān)系嗎？與平面向量一樣，空間向量的線性運算滿足以下運算律(其中)：交換律：結(jié)合律：分配律：參考答案：交換律：；結(jié)合律：，；分配律：，．探究1如圖，在平行六面體中，分別標(biāo)出，表示的向量．從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系?可以發(fā)現(xiàn)，，一般地，對于三個不共面的向量，，，以任意點為起點，，，為鄰邊作平行六面體，則，，的和等于以為起點的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．探究2對任意兩個空間向量與，如果，與有什么位置關(guān)系？反過來，與有什么位置關(guān)系時，?類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．如圖，是直線上一點，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上任意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定．如圖，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的．問題6，什么情況下三個空間向量共面呢？探究3對平面內(nèi)任意兩個不共線向量，，由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對．對兩個不共線的空間向量，，如果，那么向量與向量，有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量，有什么位置關(guān)系時，？可以發(fā)現(xiàn)，如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用鞏固內(nèi)化例1如圖，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線，，，，在四條射線上分別取點，，，，使．求證：，，，四點共面．分析：欲證，，，四點共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運算由，，共面的表達(dá)式推得，，共面的表達(dá)式．證明：因為，所以，，，．因為四邊形是平行四邊形，所以．因此．由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點，從而，，，四點共面．選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關(guān)系，是解決立體幾何問題的常用方法．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)反思提升本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.由于空間向量是平面向量的推廣，因此空間向量及其相關(guān)概念、空間向量的表示法等與平面向量都是一致的.類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運算和運算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數(shù)乘運算及其運算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運算及其運算律的意義.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置作業(yè)布置：教科書P5練習(xí)備用練習(xí)1.下列命題中正確的是（

）A．空間任意兩個向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實數(shù)，使【答案】A【分析】根