江西省贛州市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

高二期中考試數(shù)學(xué)（120分鐘150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.【詳解】由已知，解得或，，此時(shí)數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.2.某學(xué)習(xí)小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨機(jī)從這11名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解情況，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，，再利用條件概率求解即可．【詳解】由題意可知，，所以．故選：A．3.中國跳水隊(duì)是中國體育奧運(yùn)冠軍團(tuán)隊(duì)．自1984年以來，中國跳水隊(duì)已經(jīng)累計(jì)為我國贏得了40枚奧運(yùn)金牌．在一次高臺(tái)跳水比賽中，若某運(yùn)動(dòng)員在跳水過程中其重心相對(duì)于水面的高度h（單位：米）與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系，則該運(yùn)動(dòng)員在起跳后1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.10米/秒 B.－10米/秒 C.5米/秒 D.－5米/秒【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)代入求解即可【詳解】由題意，，故該運(yùn)動(dòng)員在起跳后1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為故選：D4.函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列排序正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椤⒎謩e是函數(shù)在、處的切線斜率，由圖可知，又，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，正確解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.5.已知圓C與直線及相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為，利用圓C與直線及都相切，求得圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，可得圓的方程.【詳解】圓心在上，設(shè)圓心為，圓C與直線及都相切，圓心到兩直線及的距離相等，即，圓心坐標(biāo)為，，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的方程，涉及到點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.6.某人于2020年6月1日去銀行存款a元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄，2021年6月1日將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，此后每年的6月1日他都按照同樣的方法在銀行取款和存款．設(shè)銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，則到2025年6月1日他將所有的本息全部取出時(shí)，取出的錢共有（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)從2021年6月1日起，將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，即求解.【詳解】設(shè)此人2020年6月1日存入銀行的錢為元，2021年6月1日存入銀行的錢為元，以此類推，則2025年6月1日存入銀行的錢為元，那么此人2025年6月1日從銀行取出的錢有元．由題意，得，，，……，，所以．故選：D．7.對(duì)于無窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②；③，.定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“數(shù)列”，則下列說法正確的是（）A.若，則為“數(shù)列”B.若，則為“數(shù)列”C.若為“數(shù)列”，則為“數(shù)列”D.若為“數(shù)列”，則為“數(shù)列”【答案】A【解析】【分析】A選項(xiàng)，經(jīng)過驗(yàn)證滿足①②，故A正確；B選項(xiàng)，經(jīng)過驗(yàn)證不滿足③，故B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，均可舉出反例.【詳解】若，則，滿足①，，，因?yàn)?，所以，滿足②，故A正確；若，則，滿足①，，令，若為奇數(shù)，此時(shí)，存在，且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿足，若為偶數(shù)，此時(shí)，則此時(shí)不存在，使得，綜上：B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，此時(shí)滿足，也滿足，，即，但不滿足③，，因?yàn)?，綜上C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不妨設(shè)，滿足，且，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，使得，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，取，使得，故為“數(shù)列”，但此時(shí)不滿足，不妨取，則，而，則不是“數(shù)列”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.8.已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若為直角三角形，則A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】由題意不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限、點(diǎn)在第四象限，，解三角形即可.【詳解】不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限、點(diǎn)在第四象限，.則易知，，∴，在中，，，∴.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的特征設(shè)出，位置，以及的直角，即可結(jié)合條件求解，屬于?？碱}型.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.隨著我國碳減排行動(dòng)逐步推進(jìn)，我國新能源汽車市場快速發(fā)展，新能源汽車產(chǎn)銷量大幅上升，2017－2021年全國新能源汽車保有量y（單位：萬輛）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345保有量y/萬輛492784由表格中數(shù)據(jù)可知y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.B.預(yù)測2023年底我國新能源汽車保有量高于1000萬輛C.2017－2021年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢D.2021年新能源汽車保有量的殘差（觀測值與預(yù)測值之差）為【答案】BCD【解析】【分析】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，恒過代入求出可判斷A；將代入可判斷B；由題知，2017－2021年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢可判斷C；將x=5，計(jì)算出2021年新能源汽車保有量的預(yù)測值，求觀測值與預(yù)測值之差可判斷D.【詳解】由題得，，代入可得，A項(xiàng)錯(cuò)誤；2023年的年份代碼為7，代入得，高于1000萬輛，B項(xiàng)正確；2017－2021年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢，C項(xiàng)顯然正確；將x=5，代入得，相應(yīng)的殘差為784－，D項(xiàng)正確，故選：BCD．10.如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則當(dāng)移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.三棱錐的體積不是定值【答案】ABC【解析】【分析】由面面平行證明線面平行判斷A；由線面垂直的判定定理判斷B；由的面積為定值，B到平面AEF的距離為定值，判斷CD.【詳解】連接，正方體中，，從而易得：平面平面，又平面，平面，選項(xiàng)A正確.連接，與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，，，，，易知平面，即，由線面垂直的判定可知，平面，即平面，故B正確；中，EF=1，點(diǎn)A到B1D1距離不變，的面積為定值，且B到平面的距離為定值，即B到平面AEF的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC11.下列說法不正確的是（）.A.曲線的切線和曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)B.過曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)C.若不存在，則曲線在點(diǎn)處無切線D.曲線雖在點(diǎn)處有切線，但不一定存在【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在某點(diǎn)處切線的存在情況可判斷.【詳解】對(duì)于A，曲線的切線和曲線的交點(diǎn)不一定唯一，如曲線在處的切線與曲線有另外一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過曲線上的一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，如經(jīng)過曲線上一點(diǎn)，但是不是在該點(diǎn)與曲線相切而是在其他地方相切，比如與相切于點(diǎn)，同時(shí)經(jīng)過另外一點(diǎn)，我們就可以說過點(diǎn)的直線與曲線相切，但切點(diǎn)是而不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若不存在，則曲線在點(diǎn)處無切線是錯(cuò)誤的，如曲線在某點(diǎn)處的切線垂直于軸，此時(shí)不存在，但曲線在點(diǎn)處有切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由曲線在一點(diǎn)有平行軸的切線，且函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)，則不一定存在.故D正確.故選：ABC12.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為C.若，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為D.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為2023【答案】BC【解析】【分析】令時(shí)，由求出可判斷A；由知，，當(dāng)時(shí)，取得的最小值可判斷B；若，求出數(shù)列的前項(xiàng)和可判斷C；由數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得，則可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)時(shí)，，所以，A不正確；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值為，所以，B正確；對(duì)于C，若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，故C正確；對(duì)于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以D不正確.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得答案.【詳解】，，∴曲線在，點(diǎn)處的切線方程為：，即，故答案為：．14.如圖，用6種不同的顏色給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有________種．【答案】480【解析】【分析】先涂色A區(qū),接著涂色B區(qū)，再涂色C區(qū)，然后涂色D區(qū)，由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】從A開始涂色，A有6種涂色方法，B有5種涂色方法，C有4種涂色方法；由D區(qū)與B，C涂不同色，與A區(qū)顏色可以同色也可以不同色，則D有4種涂色方法．故共有種涂色方法．故答案為：48015.已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為_________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)可得，聯(lián)立方程可解得（舍），點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以方法2：焦半徑公式應(yīng)用解析1：由題意可知，由中位線定理可得，即求得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，再從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.條件①：；條件②：；條件③：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）若選①②，則，解出，則可求得；若選②③，則解出，則可求得；若選①③，則，解出，則可求得；（2）由（1）得，，從而可求出公比和，則可得，然后利用分組求和法可求得.【小問1詳解】選①②，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選②③，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選①③，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，∴，，∴等比數(shù)列的公比，故，∴等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.18.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得答案.小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】，19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，構(gòu)造即可證明求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，整理得：，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．所以，故．【小問2詳解】，∴①，則②，①②得：，∴．20.如圖，在直三棱柱中，，，，交于點(diǎn)E，D為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明，從而可得平面，進(jìn)而可得，再由線面垂直的判定定理即得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法即得.【小問1詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所?又，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面；【小?詳解】由（1）知，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，即，則，由（1）平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.21.生男生女都一樣，女兒也是傳后人．由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能會(huì)影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機(jī)抽取某地200戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)．這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為，生二孩的頻率為，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60．（1）完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析是否生二孩與頭胎的男女情況有沒有關(guān)聯(lián)；生二孩不生二孩合計(jì)頭胎為女孩60頭胎為男孩合計(jì)200（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶進(jìn)一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機(jī)抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：（其中）．【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由頭胎為女孩的頻率為，生二孩的概率為，計(jì)算可得頭胎為女孩的總戶數(shù)和生二孩的總戶數(shù)，可得列聯(lián)表，再由的計(jì)算公式可判斷結(jié)論；（2）按照分層抽樣的方法，計(jì)算可得的可能取值為1，2，3，4，分別求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，計(jì)算可得所求．【小問1詳解】解：（1）因?yàn)轭^胎為女孩的頻率為，所以頭胎為女孩的總戶數(shù)為．因?yàn)樯⒌母怕蕿椋陨⒌目倯魯?shù)為．列