專題1.2 空間向量的數(shù)量積運算【五大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題1.2空間向量的數(shù)量積運算【五大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量數(shù)量積的計算】 2【題型2空間向量的夾角及其應用】 4【題型3利用空間向量的數(shù)量積求?！?6【題型4向量垂直的應用】 8【題型5投影向量的求解】 11【知識點1空間向量的夾角與數(shù)量積】1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數(shù)量積的計算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【題型1空間向量數(shù)量積的計算】【例1】（2023秋·高一單元測試）在空間四邊形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（

）A．-1 B．0 C．1 D【解題思路】令AB=a【解答過程】令AB=則AB·=a=a故選：B.【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，各棱長都為2的四面體ABCD中CE=ED，AF=2FD，則向量BE?CF=A．-13 B．13 C．-12【解題思路】由向量的運算可得BE=12(【解答過程】由題得BA,BC夾角，BD,BC夾角，∵CE∴BE∴=BA∴==故選：A.【變式1-2】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┰谡忮FP-ABC中，O是△ABC的中心，PA=ABA．109 B．263 C．8【解題思路】將PA轉化為PO+OA，PB轉化為PO+OB，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可將【解答過程】∵P-ABC為正三棱椎，O∴PO⊥平面ABC，AO、BO∴PO⊥AO，PO△ABC是等邊三角形，∴PO?OA=0故PO?PO?則PO?故選：D.【變式1-3】（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是正方體ABCDA．-2,0 B．-1,0 C．0,1 D【解題思路】求出正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球O的半徑【解答過程】設正方體ABCD-A1B1C1則2R=23，可得RPE=P當點OP與正方體ABCD-A1B1當點P與正方體ABCD-A1B1所以，1≤OP≤3故選：A.【題型2空間向量的夾角及其應用】【例2】（2023春·高二課時練習）若非零向量a，b滿足a=b，(2a-b)?b=0A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】設a與b的夾角為θ，則由(2a-b)?b=0，a=【解答過程】設a與b的夾角為θ，因為(2a-b所以2a因為非零向量a，b滿足a=所以cosθ因為θ∈[0,π]，所以θ故選：B.【變式2-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不對【解題思路】設a與b的夾角為θ，由a+b+【解答過程】設a與b的夾角為θ，由a+b+兩邊平方，得a2因為a=2,所以4+2×2×3cosθ+9=16故選：D.【變式2-2】（2023春·高二課時練習）空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOCA．12 B．22 C．-1【解題思路】利用OB=OC，以及OA?【解答過程】解：∵OB所以OA=所以cosOA故選：D．【變式2-3】（2023春·高二課時練習）已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，則a=e1A．60° B．120°C．30° D．90°【解題思路】先求數(shù)量積，再求向量的模，然后根據(jù)向量夾角公式即可求得．【解答過程】aab所以cosa所以a,故選：B.【題型3利用空間向量的數(shù)量積求?！俊纠?】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的模長公式，代入計算，即可得到結果.【解答過程】因為a⊥b，a,c=b,則a=1+1+4-0+4×1×1×故選：D.【變式3-1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1兩兩的夾角均為60°A．5 B．6 C．4 D．8【解題思路】利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【解答過程】如圖，平行六面體ABCD-向量AB、AD、AA1兩兩的夾角均為且AB=1，AD=2，∴A∴A==1+4+9+2×1×2×=25.∴AC故選：A.【變式3-2】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角A-EF-C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則B

A．2 B．3 C．3-2 D．【解題思路】利用二面角的定義可得出∠AED=45°，由空間向量的線性運算可得出DB【解答過程】因為四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則AE⊥EF，又因為二面角A-EF-C的大小為45°因為DB=DE+EA+所以，DB=1+1+1-2×1×1×故選：C.【變式3-3】（2023春·江蘇南京·高二?？茧A段練習）如圖，三棱錐O-ABC各棱的棱長是1，點D是棱AB的中點，點E在棱OC上，且OE=λOCA．12 B．22 C．32【解題思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cos∠DOE，然后由空間向量的運算法則可得DE2【解答過程】根據(jù)題意，在△DOC中，OD所以cos所以DE2=OE-則λ=12時，DE則DE的最小值為22故選：B.【題型4向量垂直的應用】【例4】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）在空間，已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a=2e1A．－6 B．6C．3 D．－3【解題思路】由a和b的數(shù)量積為0，解出k的值.【解答過程】由題意可得a?b=0，e所以(2e1+3e2)?(ke1-4故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習）已知長方體ABCD-A1B1A．AD1?B1C B．B【解題思路】當四邊形ADD1A1為正方形時，可證AD1⊥B1C可判斷A；當四邊形ABCD為正方形時，可證AC⊥BD1可判斷B；由長方體的性質可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，可判斷C；可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結論可判斷D.【解答過程】選項A，當四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時有AD選項B，當四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD，AC⊥BBBD,BB1?平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥選項C，由長方體的性質可得AB⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時必有選項D，由長方體的性質可得BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即故選：D.【變式4-2】（2023春·上海楊浦·高二?？奸_學考試）設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，AD?AC=0，AB?AD=0，點M為A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【解題思路】由題，可得AD⊥平面ABC，后由MA?平面ABC【解答過程】由AD?AC=0，AB又AC?平面ABC，AB?平面ABC，AC∩AB=因M∈BC，BC?平面ABC，則MA故AD⊥MA，即△故選：C.【變式4-3】（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）在如圖所示的平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=AA'=AD，∠A．12 B．13 C．14【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理，結合空間向量數(shù)量積的定義和運算性質進行求解即可.【解答過程】設AB=a則AN=DM=AN?λ?設AB=AA所以λ?解得λ=故選：B.【知識點2向量的投影】1．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型5投影向量的求解】【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a【解題思路】由題意可知PC=PA+AB+BC，PC?AB即可轉化為PA+AB+【解答過程】∵PA⊥平面ABC，∴因為PC?AB=又|AB所以PC在AB上的投影向量為：PC?由數(shù)量積的幾何意義可得：PC?【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2【解題思路】分析可得AC'=AB+AD+AA'【解答過程】解：非零向量a在非零向量b方向上的投影數(shù)量為acos由空間向量的平行六面體法則可得AC在長方體ABCD-A'因此，向量AC'在AB方向上的投影數(shù)量為向量AC'在AD方向上的投影數(shù)量為向量AC'在AA【變式5-2】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.試確定PC在直線AB上的投影向量，并求PC?【解題思路】由圖形特征，用PA，AB，BC為基底表示PC，計算數(shù)量積和投影向量.【解答過程】因為PC?AB=又|AB所以PC在AB上的投影向量為：PC?【變式5-3】（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB(1)確定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC?(2)確定PC在AB上的投影向量