如何求三角函數(shù)的周期

**如何求三角函數(shù)的周期三角函數(shù)的的周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，對于不同的三角函數(shù)式，如何求三角函數(shù)的謝謝閱讀周期也是一個(gè)難點(diǎn)，下面通過幾個(gè)例題談?wù)勅呛瘮?shù)周期的求法．感謝閱讀1、根據(jù)周期性函數(shù)的定義求三角函數(shù)的周期例1求下列函數(shù)的周期(1)ysin2x,2x(2)ytan3．(1)分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個(gè)最小正數(shù)T，對于函數(shù)定義域內(nèi)的感謝閱讀每一個(gè)x值都能使sin2(xT)＝sin2x成立，同時(shí)考慮到正弦函數(shù)ysinx的周期是2．謝謝閱讀解：∵sin2xsin(2x2)sin2(x),即sin2(x)sin2x．謝謝閱讀∴當(dāng)自變量由x增加到x時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此ysin2x的周期是．感謝閱讀(2) 分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個(gè)最小正數(shù)T，對于函數(shù)定義域內(nèi)感謝閱讀的每一個(gè)x值都能使 tan23(xT)tan23x成立，同時(shí)考慮到正切函數(shù)ytanx的周期謝謝閱讀．tan2x2x23),tan23)tan2x解：∵3tan(3)tan3(x2即3(x23．∴函數(shù)ytan2x3．3的周期是2注意：1、根據(jù)周期函數(shù)的定義，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值，如f(2xT)f(2x),周期不是T，而是1T“f(xT)f(x)”2；2、是定義域內(nèi)的恒等式，即對于自變量x取定義域內(nèi)的每個(gè)值時(shí)，上式都成立．感謝閱讀2、根據(jù)公式求周期對于函數(shù)yAsin(x)B或yAcos(x)B的周期公式是T|2|，對于函數(shù)yAtan(x)B或ycot(x)B的周期公式是T||．感謝閱讀**例3求函數(shù)y3sin(32x6)的周期精品文檔放心下載2 4解：T33．3、把三角函數(shù)表達(dá)式化為一角一函數(shù)的形式，再利用公式求周期感謝閱讀例4求函數(shù)y2 3sinxcosx2sin2x的周期謝謝閱讀解：y2 3sinxcosx2sin2x 3sin2xcos2x1感謝閱讀2(23sin2x12cos2x)12sin(2x6)1感謝閱讀T22．5已知函數(shù)f(x)sin3x(sin3xcos3x),求周期謝謝閱讀解：∵f(x)sin2xsinxx1(1cos2x)12x33cos3232sin3112x2x122x)22(sin3cos3)22sin(34T223．34、遇到絕對值時(shí)，可利用公式|a| a2,化去絕對值符號再求周期謝謝閱讀6求函數(shù)y|cosx|的周期解：∵y|cosx|cos2x1cos2x2T22．7求函數(shù)y|sinx||cosx|的周期感謝閱讀解：∵y|sinx||cosx||sinx||cosx|21|sin2x|1sin22x11cos4x11(1cos4x)22∴函數(shù)y|sinx||cosx|的最小正周期T242．**5、若函數(shù)y

f(x)

f

(

x)

f

(

x)

，且f(x),f(x),

,f

(x)

，都是周期函數(shù)，1

2

k

1

2

k且最小正周期分別為T

,T

,

T

，如果找到一個(gè)正常數(shù)T

,使T

nT

nT

nT

，1

2

k

1 1

2 2

k k(

n

,n

,

,n

均為正整數(shù)且互質(zhì))，則T

就是y

f(

x)

f

(

x)

f

(x)

的最小正周期．1

2

k

1

2

k8求函數(shù)ysinxcos12x的周期精品文檔放心下載解：∵

sinx

的最小正周期是T1

2

，

cos12

x的最小正周期是T2

4

．∴函數(shù)y的周期T

nT

nT

，把T，T

代入得

2

n

4

n

，即n

2n

，1 1

2 2

1

2

1

2

1

2因?yàn)閚,n

為正整數(shù)且互質(zhì)，所以

n2,

n1．1

2

1

2函數(shù)y

sinxcos12

x的周期T

nT11

22

4．9求函數(shù)ysin23xcos34x的周期精品文檔放心下載解：∵sin2x的最小正周期是T23，cos3x的最小正周期是T28，312423334由nTnT，3n8n，9n8n(n,n為正整數(shù)且互質(zhì)),11221321212得n8,n9．12所以函數(shù)ysin2xcos3x的周期是TnT8324．3411**函數(shù)的周期性--函數(shù)的周期性不僅存在于三角函數(shù)中，在其它函數(shù)或者數(shù)列中"突然"出現(xiàn)的周期性問題更能考查你的功底和靈活性，本講重點(diǎn)復(fù)習(xí)一般函數(shù)的周期性問題一.明確復(fù)習(xí)目標(biāo)謝謝閱讀1.理解函數(shù)周期性的概念，會用定義判定函數(shù)的周期；2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系，會運(yùn)用函精品文檔放心下載數(shù)的周期性處理一些簡單問題。二、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.函數(shù)的周期性定義：T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。謝謝閱讀周期函數(shù)定義域必是無界的2.若T是周期，則k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小感謝閱讀**正周期。周期函數(shù)并非所都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)=C；感謝閱讀3.若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則謝謝閱讀2a為函數(shù)f(x)的周期。（若f(x)滿足f(a+x)=f(a－x)則f(x)的圖象以x=a為圖象的感謝閱讀對稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)4.若函數(shù)f(x)圖象有兩條對稱軸x=a和x=b，（a<b），則2感謝閱讀（b-a）是f（x）的一個(gè)周期5.若函數(shù)f(x)圖象有兩個(gè)對稱中心（a，0），（b，0）（a<b），謝謝閱讀則2（b-a）是f（x）的一個(gè)周期。(證一證)6.若函數(shù)f（x）有一條對稱軸x=a和一個(gè)對稱中心（b，0）精品文檔放心下載（a<b）,則4（b-a）是f（x）的周期。舉例:y=sinx,等.三.雙基題目練練手1.f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(1)=0，則感謝閱讀方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是謝謝閱讀（）A．5B．4C．3D．22.若函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)精品文檔放心下載f(x)=x+1，則f(π)的值為**（ ）A．π-5 B.5-π C.4-π D.π-4是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)=4.設(shè)存在常數(shù)p>0,使，則的一個(gè)周期是 ，f(px)的一感謝閱讀個(gè)正周期是 ；5.數(shù)列中簡答精講：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是對稱軸，則周期是4；4、，；5、；由已知，周期為6。謝謝閱讀四.經(jīng)典例題做一做【例1】已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，精品文檔放心下載f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。精品文檔放心下載解法1：（從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間謝謝閱讀上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。）x∈(1,2),則-x∈(-2,-1),2-x∈(0,1),∵T=2,是偶函數(shù)f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.謝謝閱讀x∈(1,2).解法2（從圖象入手也可解決，且較直觀）f(x)=f(x+2)感謝閱讀如圖：x∈(0,1),f(x)=x+1.∵是偶函數(shù)精品文檔放心下載∴x∈(-1,0)時(shí)f(x)=f(-x)=-x+1.謝謝閱讀又周期為2，x∈(1,2)時(shí)x-2∈（-1，0）謝謝閱讀**∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.精品文檔放心下載提煉方法：1.解題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想,即把未知的(1,2)精品文檔放心下載上向已知的(0,1)上轉(zhuǎn)化;2.用好數(shù)形結(jié)合,對解題很有幫助.【例2】f(x)的定義域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：謝謝閱讀周期為8，法二：依次計(jì)算f(2、4、6、8)知周期為8，須再驗(yàn)證。謝謝閱讀方法提煉：1.求周期只需要弄出一個(gè)常數(shù);2.注意既得關(guān)系式的連續(xù)使用.【例3】若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且.謝謝閱讀①求的周期；②證明f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)中心對稱;關(guān)于直線x=2k+1精品文檔放心下載軸對稱,(k∈Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性；解:①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期感謝閱讀T=4.**②設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點(diǎn),則y=f(x),且P關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對感謝閱讀稱的點(diǎn)為P1(4k-x,-y).P關(guān)于直線x=2k+1對稱的點(diǎn)為感謝閱讀P2(4k+2-x,y).∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴點(diǎn)P1在圖象上,圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)謝謝閱讀對稱.f(x)是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x)=f(-x)感謝閱讀∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y,∴點(diǎn)P2在圖象上,圖象關(guān)于直謝謝閱讀2k+1對稱.③設(shè)1<x1<x2<2,則-2<-x2<-x1<-1,0<2-x2<2-x1<1.感謝閱讀∵f(x)在(-1,0)上遞增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*)精品文檔放心下載f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2).精品文檔放心下載(*)為f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是減函數(shù).精品文檔放心下載提煉方法：總結(jié)解周期性、單調(diào)性及圖象對稱性的方法?！狙芯?欣賞】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周感謝閱讀T=5，函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù).又知y=f(x)在[0,1]感謝閱讀上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.精品文檔放心下載證明：；②求的解析式；③求在上的解析式.解：∵是以為周期的周期函數(shù)，且在[-1,1]上是奇函數(shù)，∴，∴.謝謝閱讀②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，**由得，∴，∴.③∵是奇函數(shù)，∴，又知在上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，∴，∴當(dāng)時(shí)，，從而時(shí)，，故時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，有，∴.當(dāng)時(shí)，，∴∴.五．提煉總結(jié)以為師1.函數(shù)的周期性及有關(guān)概念;2.用周期的定義求函數(shù)的周期;3.函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系;同步練習(xí) 2．7函數(shù)的周期性【選擇題】1.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f精品文檔放心下載（－）的值為A.0 B. C.T D.－2.（2004天津）定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是謝謝閱讀**周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈［0，］時(shí)，f（x）=sinx，則f（）的值為精品文檔放心下載A.－ B. C.－【填空題】

D.3.設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，感謝閱讀在區(qū)間[2，3]上，=,則 =4.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)＝f(4-x)，對一切實(shí)感謝閱讀數(shù)x成立，寫出f(x)的一個(gè)最小正周5.對任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則謝謝閱讀f(69)=6.設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當(dāng)x∈(0，3]時(shí)，感謝閱讀f(x)=2x，則f(2007)= 。答案提示：1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函數(shù)f（x）=sinx）謝謝閱讀2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin=.感謝閱讀3、; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)=-f(x+3)∴f(x)=-f(x+3)=f(x+6).周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)=-f(-3+3)=-6感謝閱讀6、 ，周期T=6，F(xiàn)(2007)=f(3)=6精品文檔放心下載**【解答題】7.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為2002，并且f(1001+x)=f(1001感謝閱讀－x)對一切x∈R均成立，試討論f(x)的奇偶性.謝謝閱讀解:∵周期是2002,∴f(2002+x)=f(x),精品文檔放心下載又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x)感謝閱讀∴對任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函數(shù).感謝閱讀8.設(shè)f(x)為定義在實(shí)數(shù)集上周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時(shí)f(x)=x，求x∈[-2,0]時(shí)f(x)的解析式。感謝閱讀分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]時(shí)的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是T=2的周期函數(shù)，所以f(x+2)=f(x).感謝閱讀又由于f(x)為偶函數(shù)，故所以解析式為9.設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1<x≤1時(shí)，f(x)=2x-1，求當(dāng)1<x≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式。感謝閱讀思路分析：∵f(x)+f(x+2)=0 ∴f(x)=-f(x+2)精品文檔放心下載∵該式對一切x∈R成立，**∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)精品文檔放心下載當(dāng)1<x≤3時(shí)，-1<x-2≤1，∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5感謝閱讀∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）感謝閱讀評注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。謝謝閱讀10.（2005廣東）設(shè)函數(shù)在上滿足，f(7-x)=f(7+x)，且謝謝閱讀在閉區(qū)間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。謝謝閱讀（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根精品文檔放心下載的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：由得即由已知易得，所以，而，從而且故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);精品文檔放心下載(II)由,從而知函數(shù)的周期為當(dāng)時(shí)，，由已知，又，則∴當(dāng)時(shí)，只有∴方程=0在一個(gè)周期內(nèi)只有兩個(gè)解而函數(shù)在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有401個(gè)周期，所精品文檔放心下載以方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有802個(gè)解謝謝閱讀【探索題】對于k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k-1，2k+1］。已知謝謝閱讀**x∈Ik時(shí)，f(x)＝(x-2k)2，(1)當(dāng)k∈N*時(shí),求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有謝謝閱讀兩個(gè)不相等的實(shí)根的a的值｝(2)并討論f(x)的周期性。解：y＝f(x)圖像就是將y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k謝謝閱讀個(gè)單位所得，其中k∈Ny1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，則函數(shù)y1精品文檔放心下載＝f(x)與y2＝ax圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x＝2k+1時(shí)，0＜謝謝閱讀y2≤1∴0＜a≤∴Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N｝，即Mk＝(0，］感謝閱讀對任意，所以f(x)是2為周期的周期函數(shù)。思路點(diǎn)拔：化簡集合，弄清圖像變換規(guī)律，數(shù)形結(jié)合求解；謝謝閱讀周期性的的討論注要是看你運(yùn)用定義的意識和能力函數(shù)f(x)±ｇ(x)最小正周期的求法若f(x)和ｇ(x)是三角函數(shù)，求f(x)±ｇ(x)的最小正周期沒有統(tǒng)一的方法，往往因題而異，精品文檔放心下載現(xiàn)介紹幾種方法：一、定義法**1求函數(shù)y＝｜sinx｜＋｜c(diǎn)osx｜的最小正周期.感謝閱讀解:∵f(x)＝｜