本科 圖像處理 第7章

圖像處理第7章教材：《數(shù)字圖像處理與圖像通信》主講：朱秀昌；輔導(dǎo)：干宗良考查課程，期末書面考試48學(xué)時，3學(xué)分9/15/20231圖像處理第7章圖像處理的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念7.2二值圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換7.3灰度圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)9/15/20232圖像處理數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(mathematicalmorphology)的基礎(chǔ)：集合論；目標(biāo)：幾何形態(tài)分析和描述；起源：對巖相學(xué)的定量描述，生物形態(tài)學(xué)；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)：構(gòu)成了一種新型的數(shù)字圖像分析方法和理論，得到了廣泛的應(yīng)用?；舅枷耄河靡欢ㄐ螒B(tài)的結(jié)構(gòu)元素（“探針”）去度量和提取圖像中的對應(yīng)形狀以達到對圖像分析和識別的目的。在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，用集合來描述圖像目標(biāo)，描述圖像各部分之間的關(guān)系，說明目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點。使用不同的結(jié)構(gòu)元素和形態(tài)學(xué)算子可以獲得目標(biāo)圖像的大小、形狀、連通性和方向等許多重要信息。9/15/20233圖像處理7.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念7.1.1基本集合定義集合：把一些可區(qū)別的客體，按照某些共同特征加以匯集，這些客體的全體稱為集合，又稱為集。元素：組成集合的各個客體，稱為該集合的元素，又稱為集合的成員。如圖像中物體上的像素。常用小寫字母a，b，c，…

表示。用a∈A表示a是集合A的元素。子集：集合A包含集合B的充要條件是集合B的每個元素都是集合A的元素，也可以稱為集合B包含于集合A

。此時稱B是A的子集。并集：由A和B的所有元素組成的集合稱為A和B的并集，記為A∪B

。9/15/20234圖像處理交集：由A和B的公共元素組成的集合稱為A和B的交集，記為A∩B

。補集：A的補集，記為，定義為差集：兩個集合A和B的差集，記為A-B

，定義為映射：A的映射記為，定義為位移：A用位移，記為，定義為(7.1)(7.3)(7.2)9/15/20235圖像處理7.1.2二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運算1.圖像空間的集合表示對于n維圖像可用n維歐氏空間的中的一個集合來表示，中的集合的全體用R

表示。圖像是R中的一個集合X，而X的補集表示圖像的背景。如果在R中另一個集合B，這兩個集合X和B至少符合如下一個關(guān)系：

(1)集合B包含于集合X中，表示為

(2)集合B擊中集合X

，表示為

(3)集合B與集合X相分離，表示為圖7.1包含于X，擊中X，相離于X9/15/20236圖像處理2.結(jié)構(gòu)元素

結(jié)構(gòu)元素B

－－收集圖像信息的“探針”。具有一定的幾何形狀，如圓形、正方形、十字形、有向線段等的集合。在圖像中不斷移動結(jié)構(gòu)元素便可以考察圖像中各個部分之間的關(guān)系。結(jié)構(gòu)元素的選取直接影響形態(tài)運算的效果，選取原則：(1)結(jié)構(gòu)元素必須在幾何上比原圖像簡單，且有界。(2)結(jié)構(gòu)元素的形狀最好具有某種凸性，如圓形、十字架形、方形等。9/15/20237圖像處理3.基本的形態(tài)變換(1)膨脹運算(Dilation)，符號X用B來膨脹為，定義膨脹過程：集合B首先做關(guān)于原點的映射，然后平移x形成集合，最后計算集合與集合X不為空集的結(jié)構(gòu)元素參考點的集合。用B來膨脹X得到的集合是的位移與集合X至少有一個非零元素相交時結(jié)構(gòu)元素B的參考點位置的集合。因此，膨脹運算又可以寫成：(7.5)(7.4)9/15/20238圖像處理例1．膨脹運算示例。圖7.2二值圖像的膨脹運算示例(a)(b)(c)9/15/20239圖像處理計算機實現(xiàn)膨脹運算，采用向量運算或位移運算更為方便。向量運算：將集合X與集合B都看成是向量，于是

位移運算：從向量運算的定義可以看出，向量的和就是一種位移運算，是X的每一項按照b∈B中的每一項位移的結(jié)果。位移的表示符號為，它的含義是X按b進行位移，即(7.6)(7.7)9/15/202310圖像處理例2．例1圖像按照向量運算進行膨脹示例。對于7.2(a)的圖像以左上角位置為(0,0)，結(jié)構(gòu)元素以“+”位置為參考點(0,0)。則X和B分別表示為：

X={(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,3),(5,3)} B={(0,0),(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)}用向量運算進行膨脹得到：

X⊕B={(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,3),(5,3), (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,3),(4,3), (3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(5,3),(6,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(5,2), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,4),(5,4)}這一行元素分別和B中的第一個元素相加，即兩個分量分別相加。以此類推……9/15/202311圖像處理(2)腐蝕運算(Erosion)，符號X用B來腐蝕記為X

B，定義為：腐蝕過程：集合B平移x后仍在集合X中的結(jié)構(gòu)元素參考點的集合。用B來腐蝕X得到的集合是B完全包括在集合X中時B的參考點位置的集合。腐蝕運算也可以通過向量運算或位移運算來實現(xiàn)。腐蝕的向量運算為：按位移運算的腐蝕運算為：(7.8)(7.10)(7.9)9/15/202312圖像處理例3．腐蝕運算示例圖7.3二值圖像的腐蝕運算示例(a)(b)(c)9/15/202313圖像處理對于集合X的元素(2,2)，x+b(0,0)∈X，x+b(1,0)X，x+b(0,1)X，所以該元素不是腐蝕后集合中的元素。例4．例3圖像采用向量運算進行腐蝕示例。圖像的左上角設(shè)為（0,0），結(jié)構(gòu)元素的參考點（0,0）是B中的“+”點。則X={(2,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4),(3,5)}B={(0,0),(1,0),(0,1)}

表7.1腐蝕的向量運算

(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)

b(0,0)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(3,4)(4,4)(3,5)b(1,0)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(4,4)(5,4)(4,5)b(0,1)(2,3)(2,4)(3,4)(4,4)(3,5)(4,5)(3,6)∈X？

最后結(jié)果同例3一樣。對于集合X的元素(3,3)，有x+b(0,0)∈X，x+b(1,0)∈X，x+b(0,1)∈X，所以該元素仍然是腐蝕后集合中的元素。9/15/202314圖像處理(3)膨脹和腐蝕運算的性質(zhì)膨脹和腐蝕是關(guān)于集合補和反轉(zhuǎn)的對偶：膨脹和腐蝕運算都可以轉(zhuǎn)化為集合的邏輯運算（與、或、非）。性質(zhì)1互換性，即幾個膨脹過程的先后次序變化不造成影響性質(zhì)2腐蝕運算不具有互換性(7.12)(7.11)9/15/202315圖像處理性質(zhì)3膨脹和腐蝕運算具有組合性，如果一個膨脹運算為，并且結(jié)構(gòu)元素D具有可分解性，即性質(zhì)4膨脹和腐蝕運算具有增長性，如果X和Y為兩個集合，M.O.為某種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運算符號，增長性定義：如果對于膨脹運算，如果，則性質(zhì)5膨脹運算具有外延性的，腐蝕運算不具有外延性。外延性定義：。性質(zhì)6膨脹運算和腐蝕運算不具有同前性同前性定義：即無論M.O.運算多少次，其結(jié)果與運算一次相同。9/15/202316圖像處理4.復(fù)合形態(tài)變換膨脹與腐蝕不是互為逆運算，可以級連結(jié)合使用。膨脹后再腐蝕，或者腐蝕后再膨脹，通常不能恢復(fù)成原來圖像。(1)開啟運算(Opening)和閉合運算（Closing）開啟運算用“”表示，閉合運算用“”表示：開啟運算：先腐蝕，后膨脹。——拉開閉合運算：先膨脹，后腐蝕。——合攏開啟和閉合運算不受參考點是否在結(jié)構(gòu)元素之中的影響。(7.14)(7.13)9/15/202317圖像處理例5．開啟和閉合運算示例(a)為目標(biāo)圖像（淺灰）；(b)為圓形的結(jié)構(gòu)元素；(c)是腐蝕運算的結(jié)果；(d)是開啟運算的結(jié)果；(e)是膨脹運算的結(jié)果；(f)是閉合運算結(jié)果。圖7.4開啟和閉合運算示例9/15/202318圖像處理

(2)開啟和閉合運算的性質(zhì)

性質(zhì)1開啟和閉合都具有增長性，即當(dāng)時，有

上式表明，通過與結(jié)構(gòu)元素B的開啟或閉合作用，修去原來具有的枝節(jié)或修補原來具有的某些缺陷。性質(zhì)2開啟運算是非外延的，而閉合運算是外延的性質(zhì)3開啟和閉合運算都具有同前性性質(zhì)4開啟和閉合運算都具有對偶性(7.15)(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)9/15/202319圖像處理7.2二值圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換7.2.1形態(tài)濾波基本形態(tài)運算和復(fù)合形態(tài)運算可以改變圖像的某些特征。結(jié)構(gòu)元素的形狀和大小會直接影響形態(tài)濾波的輸出效果。圖7.5用不同方向結(jié)構(gòu)元素提取方向向量圖7.6用不同取向結(jié)構(gòu)元素對圖像進行篩選9/15/202320圖像處理7.2.2圖像的平滑處理采集圖像時由于各種因素，不可避免地存在噪聲，多數(shù)情況下是加性噪聲。可以通過形態(tài)變換進行平滑處理，濾除圖像的可加性噪聲。形態(tài)開啟是一種串行復(fù)合極值濾波，可以切斷細長的搭線，消除圖像邊緣毛刺和孤立點，具有平滑圖像邊界之功能。圖7.7去除圖像高斯噪聲示意圖9/15/202321圖像處理閉合運算是一種串行復(fù)合極值濾波，具有平滑邊界、連接短的間斷、填充小孔的作用。采用閉合運算（圖7.7)通過開啟和閉合運算的串行，構(gòu)成形態(tài)學(xué)噪聲濾波器（圖7.8)圖7.8二值形態(tài)學(xué)用于圖像平滑處理(7.20)9/15/202322圖像處理7.2.3圖像的邊緣提取圖像的邊緣線或棱線是圖像中信息量最為豐富的區(qū)域。提取邊界或邊緣也是圖像分割的重要組成部分。提取物體的輪廓邊緣的形態(tài)學(xué)變換為：圖7.9二值圖像的邊緣提取示例(7.21)9/15/202323圖像處理7.2.4區(qū)域填充區(qū)域是邊界所包圍的部分，邊界是區(qū)域的輪廓線，區(qū)域和邊界可以互求。填充過程實際上就是從邊界上某一點P開始做以下迭代運算，用結(jié)構(gòu)元素對其進行膨脹、求補和求交集的過程。圖7.10形態(tài)學(xué)區(qū)域填充示例9/15/202324圖像處理7.2.5標(biāo)探測—擊中與否變換(HitorMissTransformation)在可能存在著多個目標(biāo)的圖像中，通過HMT探測所感興趣的目標(biāo)。其數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換為：HMT變換是兩部分變換集合的交集。其中X是二值圖像，Xc是其補集，表示二值圖像的背景。結(jié)構(gòu)元素H：由區(qū)域中的最小目標(biāo)或目標(biāo)的最小特征尺寸確定。結(jié)構(gòu)元素M：由區(qū)域中的最大目標(biāo)或目標(biāo)的最大特征尺寸確定。左邊運算：探測區(qū)域中是否存在具有最小尺寸或具有最小特征尺寸的物體。右邊運算：用識別背景的結(jié)構(gòu)元素對背景進行識別。兩者交集：正是在探測區(qū)域中具有最小和最大物體之間或具有最小特征尺寸和最大特征尺寸之間的任何物體。(7.22)9/15/202325圖像處理例6在圖7.11(a)圖中尋找結(jié)構(gòu)元素（b）所示的圖像目標(biāo)位置注：圖中黑色像素=1，白色像素=0，結(jié)構(gòu)元素的參考點在圖形的中心。(d)圖像A的補集Ac(d)結(jié)構(gòu)元素M=W-H(e)圖像Ac被M腐蝕圖7.11擊中與否變換示意圖(a)原圖像A(b)結(jié)構(gòu)元素H(c)圖像A被H腐蝕M=W-HXYZXX被“擊中”9/15/202326圖像處理HMT的一般表示實例：設(shè)B=(B1,B2)

，B1是與目標(biāo)相關(guān)的B元素的集合，B2是與背景相關(guān)的B的元素集合。用集合差的定義及膨脹和腐蝕的對偶關(guān)系，可以寫成：

這樣集合X

B包括了所有被擊中的點：B1在X中找到了一個匹配“擊中”，B2在Xc中