把握數(shù)學(xué)課標(biāo)的新變化有效實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

把握數(shù)學(xué)課標(biāo)新改變

有效實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

人教社初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)團(tuán)教授

牡丹江市教研院張鐵鋒

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一、此次課標(biāo)修訂最關(guān)注是什么?二、數(shù)學(xué)課標(biāo)有哪些新改變?課堂教學(xué)怎樣有效實(shí)施？2/182一、此次課標(biāo)修訂最關(guān)注是什么？

此次課標(biāo)修訂尤其關(guān)注三個(gè)方面要求：時(shí)代發(fā)展要求;數(shù)學(xué)學(xué)科要求;課堂教學(xué)要求。3/182注意表達(dá)時(shí)代發(fā)展

對(duì)數(shù)學(xué)課程以下要求：

課程改革關(guān)鍵是人才培養(yǎng)模式改變；要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)；要以課程為載體實(shí)實(shí)在在推進(jìn)素質(zhì)教育；要表達(dá)教育均衡、公平，要為全部學(xué)生提供良好教育；要表達(dá)義務(wù)教育課程基本特征：普及性、基礎(chǔ)性、發(fā)展性。4/182課程標(biāo)準(zhǔn)與課堂教學(xué)關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)價(jià)值取向、基本理念、目標(biāo)要求及內(nèi)容設(shè)置應(yīng)該對(duì)教師教學(xué)產(chǎn)生主要影響，并成為教師課堂教學(xué)基本依據(jù)。5/182新《課標(biāo)》很好地回答：數(shù)學(xué)教育價(jià)值終究是什么？今日之?dāng)?shù)學(xué)課程終究應(yīng)該教給孩子們什么樣數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、內(nèi)容設(shè)計(jì)怎樣愈加合理？6/182注意處理幾個(gè)基本關(guān)系：

注意用科學(xué)、辯證態(tài)度處理好數(shù)學(xué)課程內(nèi)容及教學(xué)中一些基本關(guān)系。如：

重視過程與關(guān)注結(jié)果關(guān)系；教師講授與學(xué)生自主關(guān)系；面向全體與因材施教關(guān)系；生活化情境化與知識(shí)系統(tǒng)性關(guān)系。另外，還有直觀形象與抽象思維、合情推理與演繹推理等關(guān)系。7/182更關(guān)注內(nèi)容根本、課程聚焦點(diǎn)

較清楚地表達(dá)了數(shù)學(xué)課程關(guān)鍵；抓住了課程內(nèi)容根本。

——從6個(gè)關(guān)鍵詞到10個(gè)關(guān)鍵概念8/182關(guān)注課堂—實(shí)施數(shù)學(xué)課程課改以來數(shù)學(xué)課堂發(fā)生了那些改變？那些該改變？那些該繼承？那些該提倡？什么是數(shù)學(xué)課堂最應(yīng)關(guān)注事？9/182二、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)有哪些新改變？課堂教學(xué)該怎樣有效實(shí)施？

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數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂主要方面:

1.關(guān)于基本理念；2.關(guān)于設(shè)計(jì)思緒；3.關(guān)于課程目標(biāo)；4.關(guān)于課程內(nèi)容；5.關(guān)于課程實(shí)施。11/182

數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂主要方面:

1.關(guān)于基本理念修改（在序言中增加了課程性質(zhì)描述、修改、豐富了基本理念一些提法）12/182《序言》增加了對(duì)數(shù)學(xué)課程性質(zhì)表述

數(shù)學(xué)課程性質(zhì)表述為，“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)基礎(chǔ)課程，含有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定主要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到發(fā)展?！?3/182義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程本質(zhì)屬性實(shí)際上，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程這些本應(yīng)被“突出表達(dá)”屬性有被弱化（或“異化”）傾向。在相當(dāng)大范圍，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程從一開始就被導(dǎo)入應(yīng)試升學(xué)軌道，“突出表達(dá)”就是競(jìng)爭(zhēng)性、區(qū)分性和篩選性，這給學(xué)生發(fā)展帶來很多不利影響。所以，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程本質(zhì)屬性強(qiáng)調(diào)頗有“正本清源”之意。14/182

什么是課程基本理念？

基本理念反應(yīng)出我們對(duì)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)教學(xué)以及評(píng)價(jià)等方面應(yīng)含有基本認(rèn)識(shí)和觀念、態(tài)度，它是制訂和實(shí)施數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)思想。《標(biāo)準(zhǔn)》中每一部份內(nèi)容都要貫通基本理念思想和要求。同時(shí)，教師作為課程實(shí)施者，更應(yīng)自覺樹立起正確數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)課程觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀、評(píng)價(jià)觀等數(shù)學(xué)教育觀念，并用以指導(dǎo)自己教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。15/182

關(guān)于基本理念修改原課標(biāo)：數(shù)學(xué)課程數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)信息技術(shù)修改后：數(shù)學(xué)課程課程內(nèi)容教學(xué)活動(dòng)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)信息技術(shù)16/182關(guān)于數(shù)學(xué)觀

——怎樣認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)原課標(biāo)：數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用過程。新課標(biāo)：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式科學(xué)。17/182新課標(biāo)——揭示了作為一門科學(xué)數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出文化特征及應(yīng)有價(jià)值

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式科學(xué)；

數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐步形成科學(xué)語(yǔ)言與工具,……；數(shù)學(xué)是人類文化主要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是當(dāng)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備基本素養(yǎng)；要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人（理性）思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替換作用。18/182一個(gè)觀點(diǎn)：兩種表述結(jié)合起來更加好

經(jīng)過靜態(tài)表述，揭示數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)涵是一個(gè)傳統(tǒng)規(guī)范，也與高中課標(biāo)協(xié)調(diào)；將數(shù)學(xué)視為一個(gè)活動(dòng)、一個(gè)過程，今天來看也是很主流數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，動(dòng)態(tài)表述能很好支撐重視活動(dòng)過程數(shù)學(xué)新課堂；靜態(tài)與動(dòng)態(tài)結(jié)合，有利于辯證對(duì)待數(shù)學(xué)本質(zhì)，樹立正確數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀。19/182表達(dá)數(shù)學(xué)課程關(guān)鍵理念三句話:人人學(xué)有價(jià)值數(shù)學(xué)人人都能取得必需數(shù)學(xué)不一樣人在數(shù)學(xué)上得到不一樣發(fā)展人人都能取得良好數(shù)學(xué)教育不一樣人在數(shù)學(xué)上得到不一樣發(fā)展

樹立正確課程觀20/182

關(guān)于“人人都能取得良好數(shù)學(xué)教育”

與過去提法相比：

出發(fā)點(diǎn)不變（人人、不一樣人）；有更深意義和更廣內(nèi)涵；落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)教育而不是數(shù)學(xué)內(nèi)容；表達(dá)了更強(qiáng)時(shí)代精神和要求（公平、優(yōu)質(zhì)、均衡、友好、可連續(xù)發(fā)展教育）。21/182

良好數(shù)學(xué)教育需要

在各個(gè)維度上表達(dá)提出“良好數(shù)學(xué)教育”需要我們重新審閱數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、內(nèi)容，也需要我們?cè)谡n堂教學(xué)實(shí)施中尋找切入點(diǎn)！22/182我們需要什么樣

數(shù)學(xué)教學(xué)？

教學(xué)活動(dòng)是師生主動(dòng)參加、交往互動(dòng)、共同發(fā)展過程。有效教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，教師是學(xué)習(xí)組織者、引導(dǎo)者與合作者。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)本質(zhì)是什么？樹立正確數(shù)學(xué)教學(xué)觀23/182什么是數(shù)學(xué)課堂教

學(xué)中最需要做事？

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，尤其是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)性，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思索，勉勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維；要重視培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

改變?nèi)瞬排囵B(yǎng)模式要從這些方面入手！24/182原課標(biāo)：“有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要方式?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)活潑、主動(dòng)和富有個(gè)性過程。認(rèn)真聽講、主動(dòng)思索、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要方式。學(xué)生應(yīng)該有足夠時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。25/182

原課標(biāo)：教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已經(jīng)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鬟^程中真正了解和掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，取得廣泛數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已經(jīng)有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，重視啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思索、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生了解和掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，取得基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。26/182原課標(biāo)：“對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注他們學(xué)習(xí)過程；要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。更要關(guān)注他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立信心?！?/p>

應(yīng)建立目標(biāo)多元、方法多樣評(píng)價(jià)體系。評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)過程；既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、建立信心。樹立正確評(píng)價(jià)觀27/182怎樣對(duì)待信息技術(shù)利用？數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)依據(jù)實(shí)際情況合理地利用當(dāng)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容整合，重視實(shí)效。要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富學(xué)習(xí)資源，把當(dāng)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和處理問題有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)方式。

28/1822.關(guān)于設(shè)計(jì)思緒修改學(xué)段劃分保持不變；對(duì)課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞同義詞；對(duì)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域名稱作適當(dāng)調(diào)整；對(duì)課程內(nèi)容中若干關(guān)鍵概念作適當(dāng)調(diào)整，對(duì)其意義作更明確解釋。核心概念29/182課程目標(biāo)行為動(dòng)詞及水平：

《標(biāo)準(zhǔn)》使用“了解、了解、掌握、利用”等術(shù)語(yǔ)表述學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)果目標(biāo)不一樣水平，使用“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等術(shù)語(yǔ)表述學(xué)習(xí)活動(dòng)過程目標(biāo)不一樣程度。這些詞基本含義以下：了解：從詳細(xì)事例中知道或舉例說明對(duì)象相關(guān)特征；依據(jù)對(duì)象特征，從詳細(xì)情境中識(shí)別或者舉例說明對(duì)象。了解：描述對(duì)象特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間區(qū)分和聯(lián)絡(luò)。30/182

課程目標(biāo)行為動(dòng)詞及水平：掌握：在了解基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新情境。利用：綜合使用已掌握對(duì)象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)方法處理問題。經(jīng)歷：在特定數(shù)學(xué)活動(dòng)中，取得一些感性認(rèn)識(shí)。體驗(yàn)：參加特定數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)認(rèn)識(shí)或驗(yàn)證對(duì)象特征，取得一些經(jīng)驗(yàn)。探索：獨(dú)立或與他人合作參加特定數(shù)學(xué)活動(dòng)，了解或提出問題，尋求處理問題思緒，發(fā)覺對(duì)象特征及其與相關(guān)對(duì)象區(qū)分和聯(lián)絡(luò)，取得一定理性認(rèn)識(shí)。31/182

課程目標(biāo)行為動(dòng)詞及水平：

在標(biāo)準(zhǔn)中，使用了一些詞，表述與上述術(shù)語(yǔ)同等水平要求程度。這些詞與上述術(shù)語(yǔ)之間關(guān)系以下：（1）了解，同類詞：知道，初步認(rèn)識(shí)；（2）了解，同類詞：認(rèn)識(shí)，會(huì)；（3）掌握，同類詞：能。（4）利用，同類詞：證實(shí)。（5）經(jīng)歷，同類詞：感受、嘗試。（6）體驗(yàn)，同類詞：體會(huì)。32/182

對(duì)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域名稱修改：

——總稱呼“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”改為“課程內(nèi)容”原課標(biāo)：數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計(jì)與概率實(shí)踐與綜合應(yīng)用修改后：數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計(jì)與概率綜合與實(shí)踐33/182關(guān)于10個(gè)關(guān)鍵概念分析

——原課標(biāo)也稱為“關(guān)鍵詞”原課標(biāo)：數(shù)感符號(hào)感空間觀念（6個(gè)）

統(tǒng)計(jì)觀念應(yīng)用意識(shí)推理能力

修改后：數(shù)感符號(hào)意識(shí)運(yùn)算能力（10個(gè)）

模型思想

空間觀念

幾何直觀推理能力

數(shù)據(jù)分析觀念

應(yīng)用意識(shí)

創(chuàng)新意識(shí)34/182關(guān)鍵概念有何意義(四條）？

首先，《標(biāo)準(zhǔn)》將這些關(guān)鍵概念放在課程內(nèi)容設(shè)計(jì)欄目下提出，是想表明，這些概念不是設(shè)計(jì)者超乎于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之上外加，而是實(shí)實(shí)在在蘊(yùn)涵于詳細(xì)課程內(nèi)容之中。從這一意義上看，關(guān)鍵概念往往是一類課程內(nèi)容關(guān)鍵或根本，它有利于我們體會(huì)內(nèi)容本質(zhì)，把握課程內(nèi)容線索，抓住教學(xué)中關(guān)鍵。35/182

關(guān)鍵概念有何意義？第二，這些關(guān)鍵概念都是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，僅以“數(shù)學(xué)思索”和“問題處理”部分目標(biāo)設(shè)定來看，《標(biāo)準(zhǔn)》就提出了：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提升實(shí)踐能力”；“體驗(yàn)處理問題方法多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”。這些目標(biāo)表述幾乎涵蓋了全部關(guān)鍵概念。36/182

關(guān)鍵概念有何意義？

第三，深入一步講，很多關(guān)鍵概念都表達(dá)著數(shù)學(xué)基本思想。數(shù)學(xué)基本思想集中反應(yīng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型思想。

比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內(nèi)容直接關(guān)聯(lián)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等關(guān)鍵概念就不一樣程度直接表達(dá)了抽象、推理和模型基本思想要求。這啟示我們，關(guān)鍵概念教學(xué)要更關(guān)注其數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。37/182

關(guān)鍵概念有何意義？

第四，從這10個(gè)名詞指向和稱謂來看，它們表達(dá)都是學(xué)習(xí)主體——學(xué)生特征，包括是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)感悟、觀念、意識(shí)、思想、能力等，所以，能夠認(rèn)為，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展主要方面。所以，把握好這些關(guān)鍵概念不論對(duì)于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為主要。38/182關(guān)鍵概念之一：數(shù)感

——存在數(shù)感嗎？（1）兩個(gè)實(shí)例給人啟示：

【實(shí)例一】年2月25日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布《年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示：我國(guó)70個(gè)大中城市房屋銷售價(jià)格同比上漲1.5%，其中新建住宅價(jià)格上漲1.3%。此匯報(bào)一出立刻引發(fā)全國(guó)一片嘩然。公眾普遍反應(yīng)此數(shù)據(jù)與實(shí)際情況嚴(yán)重不符。39/182

存在數(shù)感嗎？

面對(duì)公眾質(zhì)疑，相關(guān)部門召開專門會(huì)議，討論統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)起源是否真實(shí)可靠？統(tǒng)計(jì)方法是否科學(xué)？輿論提出一個(gè)問題是：不論統(tǒng)計(jì)部門統(tǒng)計(jì)方式是否科學(xué)，為何公眾對(duì)房?jī)r(jià)感覺與統(tǒng)計(jì)結(jié)果是大相徑庭呢？

此例說明數(shù)感確實(shí)是存在，它與公眾社會(huì)生活息息相關(guān)，并已成為當(dāng)代社會(huì)公民所含有基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)一部分。40/182存在數(shù)感嗎？

【實(shí)例二】一老師在教學(xué)指數(shù)冪意義時(shí)，拋出一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境問題：將一張紙對(duì)折32次，它厚度有多大呢？老師給出結(jié)論使學(xué)生在感到詫異之余，更表示出強(qiáng)烈質(zhì)疑。該問題結(jié)論是：其厚度能夠超出世界最高峰珠穆朗瑪峰高度。

此例就其實(shí)質(zhì)看，教師在這里利用是學(xué)生基于實(shí)際操作（將紙對(duì)折若干次）所建立起來2直觀感覺與數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算得出結(jié)果之間巨大反差，由此創(chuàng)設(shè)出一個(gè)生動(dòng)極富吸引力學(xué)習(xí)環(huán)境。3241/182

存在數(shù)感嗎？——實(shí)例二這一實(shí)例說明，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，其固有數(shù)感不但在起作用，而且老師若能適時(shí)地利用學(xué)生原有數(shù)感特點(diǎn)，使其形成課堂教學(xué)中認(rèn)知沖突，則能大大提升課堂教學(xué)效率。42/182（2）何為數(shù)感？關(guān)于數(shù)感（NumberSense），在原標(biāo)準(zhǔn)中未作內(nèi)涵解釋，只從外延上指出它所包含內(nèi)容。經(jīng)過這么多年課改實(shí)踐，研究者對(duì)數(shù)感在理論上有了一些探討，第一線教師在課堂教學(xué)實(shí)踐中也對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感做了許多有益嘗試。此次修訂，認(rèn)真聽取了各方意見，吸納了前期試驗(yàn)研究一些結(jié)果，重新對(duì)數(shù)感內(nèi)涵及功效作了表述。

43/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于數(shù)感提法

《標(biāo)準(zhǔn)》提法是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果預(yù)計(jì)等方面感悟。建立數(shù)感有利于學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)意義，了解或表述詳細(xì)情境中數(shù)量關(guān)系?！?4/182將數(shù)感表述為“感悟”原來，對(duì)數(shù)感內(nèi)涵認(rèn)識(shí)較多強(qiáng)調(diào)其直覺、感知、潛意識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等方面，在教學(xué)中經(jīng)常感到“虛”，找不到教學(xué)支點(diǎn)。

將數(shù)感表述為“感悟”不但使這一概念有了較為明晰界定，也使得這一概念有了更實(shí)在意義，有利于一線教師了解和把握。它揭示了這一概念兩重屬性：現(xiàn)有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。感悟是既經(jīng)過肢體又經(jīng)過大腦，所以，現(xiàn)有感知成份又有思維成份。45/182將數(shù)感表述為“感悟”《標(biāo)準(zhǔn)》將這種對(duì)數(shù)感悟歸納為三個(gè)方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果預(yù)計(jì)，這主要是基于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容范圍并依據(jù)學(xué)生實(shí)際所作出要求，這有利于教師在教學(xué)中更加好地把握數(shù)感培養(yǎng)幾條根本。46/182

應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段詳細(xì)教學(xué)內(nèi)容，

逐步提升和發(fā)展學(xué)生數(shù)感。在第三學(xué)段，伴隨對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)領(lǐng)域擴(kuò)大以及數(shù)認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，能夠引導(dǎo)學(xué)生在較復(fù)雜數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好數(shù)感品質(zhì)。47/182緊密結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。

現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)親密相連，不但能夠?yàn)閷W(xué)生提供真實(shí)自然數(shù)感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)認(rèn)知上經(jīng)歷由詳細(xì)到抽象過程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)思維。反之，學(xué)生數(shù)感提升也使得他們能用數(shù)字眼光看周圍世界，正如《標(biāo)準(zhǔn)》所說：“建立數(shù)感有利于學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)意義，了解或表述詳細(xì)情境中數(shù)量關(guān)系?！?8/182讓學(xué)生多經(jīng)歷相關(guān)數(shù)

活動(dòng)過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)

在詳細(xì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生能動(dòng)腦、動(dòng)手動(dòng)口，各種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，加之能相互交流，這對(duì)強(qiáng)化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)非常有益。比如相關(guān)數(shù)學(xué)社會(huì)調(diào)查活動(dòng)、及一些綜合實(shí)踐活動(dòng)。49/182讓學(xué)生多經(jīng)歷相關(guān)數(shù)

活動(dòng)過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)

比如：交通流量調(diào)查統(tǒng)計(jì)；比如，還可組織學(xué)生針對(duì)一周出版某種報(bào)紙討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運(yùn)算相關(guān)數(shù)學(xué)問題，分別表述這些問題中關(guān)于數(shù)意義作用，怎樣用數(shù)來處理這些詳細(xì)問題等等；這么數(shù)學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己數(shù)感經(jīng)驗(yàn)。50/182

關(guān)鍵概念之二：符號(hào)意識(shí)

（1）何為符號(hào)意識(shí)？所謂符號(hào)就是針對(duì)詳細(xì)事物對(duì)象而抽象概括出來一個(gè)簡(jiǎn)略記號(hào)或代號(hào)。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等組成了數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。

符號(hào)意識(shí)（Symbolsense）是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、利用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所作出一個(gè)主動(dòng)性反應(yīng)，它也是一個(gè)主動(dòng)心理傾向。51/182符號(hào)感（SymbolSense）

為何改為符號(hào)意識(shí)？英文單詞一樣，但改動(dòng)后漢字意義有所不一樣；符號(hào)感主要不是潛意識(shí)、直覺；符號(hào)感最主要內(nèi)涵是利用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思索和表示，進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，這是一個(gè)“意識(shí)”問題，而不是“感”問題。52/182（2）符號(hào)意識(shí)含義《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)符號(hào)意識(shí)表述有這么三層意思值得我們體會(huì)：其一，能夠了解而且利用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律。即對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不但要“懂”，還要會(huì)“用”。53/182符號(hào)“操作”其二，知道使用符號(hào)能夠進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到結(jié)論含有普通性。這一要求關(guān)鍵是基于運(yùn)算和推理符號(hào)“操作”意識(shí)。這包括到類型較多，如對(duì)詳細(xì)問題符號(hào)表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價(jià)推演、模型抽象及模型處理等等。54/182符號(hào)表示與符號(hào)思索其三，使學(xué)生了解符號(hào)使用是數(shù)學(xué)表示和進(jìn)行數(shù)學(xué)思索主要形式。這又引出了兩個(gè)除符號(hào)了解和操作之外要求，即符號(hào)表示與思索。概括起來，符號(hào)意識(shí)要求就詳細(xì)表示于符號(hào)了解、符號(hào)操作、符號(hào)表示、符號(hào)思索四個(gè)維度。55/182

發(fā)展符號(hào)意識(shí)最主要是利用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思索，我們不妨把這種思索稱為

“符號(hào)思索”。

【例】“房間里有4條腿椅子和三條腿凳子共16個(gè)，假如椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個(gè)，那么有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？”

假如學(xué)生沒有經(jīng)過專門“雞兔同籠”解題模式思維訓(xùn)練，他完全能夠使用恰當(dāng)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思索，找到解題思緒。如能夠用表格分析椅子數(shù)改變引發(fā)凳子數(shù)和腿總數(shù)改變規(guī)律，直接得到答案；也可采取一元一次方程或二元一次方程組來加以處理。56/182關(guān)鍵概念之三：空間觀念

（1）空間觀念含義空間觀念是指對(duì)物體及其幾何圖形形狀、大小位置關(guān)系及其改變建立起來一個(gè)感知和認(rèn)識(shí)，空間想象是建立空間觀念主要路徑。空間觀念也是創(chuàng)新精神所需基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎極難談創(chuàng)造與創(chuàng)造。

57/182（2）《標(biāo)準(zhǔn)》中空間觀念所提出要求《標(biāo)準(zhǔn)》從四個(gè)方面提出了要求：依據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，依據(jù)幾何圖形想象出所描述實(shí)際物體；想象出物體方位和相互之間位置關(guān)系；描述圖形運(yùn)動(dòng)和改變；依據(jù)語(yǔ)言描述畫出圖形等。58/182關(guān)鍵概念之四：幾何直觀

——此次新增關(guān)鍵概念（1）對(duì)幾何直觀認(rèn)識(shí)顧名思義，幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里直觀不但僅是指直接看到東西（直接看到是一個(gè)層次），更主要是依靠現(xiàn)在看到東西、以前看到東西進(jìn)行思索、想象，綜合起來幾何直觀就是依靠、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思索、想象。它在本質(zhì)上是一個(gè)經(jīng)過圖形所展開想象能力。59/182

希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中指出，圖形能夠幫助我們發(fā)覺、描述研究問題；能夠幫助我們尋求處理問題思路；能夠幫助我們了解和記憶得到結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中價(jià)值由此可見普通。60/182（2）《標(biāo)準(zhǔn)》中幾何直觀含義

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀能夠把復(fù)雜數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有利于探索處理問題思緒，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀能夠幫助學(xué)生直觀地了解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著主要作用?！?1/182

它表明：今后數(shù)學(xué)課程中有兩件事需要刻意去做，即針對(duì)較抽象數(shù)學(xué)對(duì)象“圖形表示”和“圖形分析”。前者指教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)過畫圖來表示數(shù)學(xué)問題習(xí)慣，能畫圖時(shí)盡可能畫；后者指導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生借助圖形將相對(duì)抽象、復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系直觀、清楚地展示出來，經(jīng)過對(duì)圖形分析思索進(jìn)而尋求處理問題思緒。62/182

（3）幾何直觀培養(yǎng)

使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣,勉勵(lì)用圖形表示問題。能夠經(jīng)過各種路徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫圖對(duì)了解概念、尋求解題思緒上帶來便利。在教學(xué)中應(yīng)有這么導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡可能畫，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象思索對(duì)象“圖形化”，盡可能把問題、計(jì)算、證實(shí)等數(shù)學(xué)過程變得直觀。63/182建立幾何直觀好方法：

重視變換

——讓圖形動(dòng)起來

幾何變換或圖形運(yùn)動(dòng)既是學(xué)習(xí)對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸最基本圖形都是對(duì)稱圖形，比如圓、正多邊形、正方形、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等；另首先，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究非對(duì)稱圖形時(shí)，又往往是以這些對(duì)稱圖形為工具。變換又能夠看作運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來。比如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，能夠把它看作一個(gè)剛體，經(jīng)過圍繞中心（兩條對(duì)角線交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識(shí)、了解、記憶平行四邊形其它性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、了解幾何圖形是建立幾何直觀好方法。64/182

幾何直觀方法二：學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”

兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。

數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能貫通式認(rèn)識(shí)和了解。以后逐步發(fā)展成一個(gè)對(duì)數(shù)與形之間化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，這種對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和利用能力，應(yīng)該是形成正確數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求。

65/182

比如，若每?jī)扇宋找淮问?，則3個(gè)人共握幾次手，4個(gè)人共握幾次手……，

n個(gè)人共握幾次手？用歸納方法探索規(guī)律，以下表:

人數(shù)

握手次數(shù)

規(guī)律211331+2461+2+3………n1+2+3+…+(n-1)A1A2A3AN66/182

對(duì)于七、八年級(jí)學(xué)生來說，要發(fā)覺“1+2+3+…+(n-1)”這個(gè)規(guī)律并不輕易，計(jì)算1+2+3+…+(n-1)得到1/2n（n-1）也有困難。不過，假如把“人”抽象成“點(diǎn)”，“兩人握1次手”抽象成“兩點(diǎn)之間連接一條線段”，那么借助圖形直觀就能簡(jiǎn)明地處理問題。如圖，對(duì)于n點(diǎn)中任何一個(gè)點(diǎn)，它與其它（n-1）個(gè)點(diǎn)共可連接（n-1）條線段，因而n個(gè)點(diǎn)共可連接n（n-1）條線段。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間有且只有一條線段（線段AB與線段BA是同一條線段），所以共可連接1/2n（n-1）條線段。67/182幾何直觀方法三：用“圖形法”處理問題

掌握、利用一些基本圖形處理問題。把讓學(xué)生掌握一些主要圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫通在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)一直。比如，除了前面指出圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形利用，不停地利用這些基本圖形去發(fā)覺、描述問題，了解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注目標(biāo)。68/182關(guān)鍵概念之五：數(shù)據(jù)分析觀念

——由統(tǒng)計(jì)觀念改為數(shù)據(jù)分析觀念

原課標(biāo)中“統(tǒng)計(jì)觀念”，強(qiáng)調(diào)是從統(tǒng)計(jì)角度思索問題，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決議作用，能對(duì)數(shù)據(jù)處理結(jié)果進(jìn)行合理質(zhì)疑等要求。此次將其改為“數(shù)據(jù)分析觀念”，就是希望改變過去這一概念含義較“泛”，表達(dá)統(tǒng)計(jì)與概率本質(zhì)意義不夠鮮明弱點(diǎn)，而將該部分內(nèi)容聚焦于“數(shù)據(jù)分析”。

69/182關(guān)鍵概念之五：數(shù)據(jù)分析觀念

（1）數(shù)據(jù)分析觀念含義數(shù)據(jù)分析觀念是學(xué)生在相關(guān)數(shù)據(jù)活動(dòng)過程中建立起來對(duì)數(shù)據(jù)某種“領(lǐng)悟”、由數(shù)據(jù)去作出推測(cè)意識(shí)、以及對(duì)于其獨(dú)特思維方法和應(yīng)用價(jià)值體會(huì)和認(rèn)識(shí)。70/182過程性（或活動(dòng)性）要求：讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)查研究，搜集、處理數(shù)據(jù)過程，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析作出判斷，并體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息。方法性要求：了解對(duì)于一樣數(shù)據(jù)能夠有各種分析方法，需要依據(jù)問題背景選擇適當(dāng)數(shù)據(jù)分析方法。體驗(yàn)性要求：經(jīng)過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。（2）數(shù)據(jù)分析觀念要求：71/182

【例】利用樹葉特征對(duì)樹木分類

（1）搜集三種不一樣樹樹葉，每種樹葉數(shù)量相同，比如每種樹選10片樹葉。（2）分類測(cè)量每種樹葉子長(zhǎng)和寬，列表統(tǒng)計(jì)所得到數(shù)據(jù)。（3）分別計(jì)算出樹葉子長(zhǎng)寬比，預(yù)計(jì)每種樹樹葉長(zhǎng)寬比。（4）驗(yàn)證預(yù)計(jì)結(jié)果。

[說明]我們能夠抓住樹一些特征對(duì)樹進(jìn)行分類，本例是利用樹葉數(shù)據(jù)特征來對(duì)樹進(jìn)行分類。72/182

這一學(xué)習(xí)活動(dòng)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析意識(shí)，體會(huì)有許多事情，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析能夠抓住本質(zhì)。知道數(shù)據(jù)不但僅是他人提供，還能夠自己搜集；對(duì)于同一個(gè)樹，葉子長(zhǎng)與寬比也可能是不一樣，深入感受數(shù)據(jù)隨機(jī)性；體會(huì)只要有足夠數(shù)據(jù)，就能夠分析出一些規(guī)律性結(jié)論。73/182

教學(xué)中能夠作以下設(shè)計(jì)：

（1）提議采取小組活動(dòng)形式，學(xué)生經(jīng)過合作交流能夠取得較多數(shù)據(jù)和信息。

（2）為了使分析結(jié)果愈加顯著，最好選擇樹葉區(qū)分較大三種（或者更多）樹、而每種樹選擇樹葉大小要靠近，即區(qū)分要小一些。

（3）“預(yù)計(jì)每種樹樹葉長(zhǎng)寬比”方法能夠是多樣，比如，對(duì)于每種樹10片樹葉都測(cè)量了長(zhǎng)和寬以后，能夠用10個(gè)比值眾數(shù)，也能夠用10個(gè)比值中位數(shù)；還能夠把長(zhǎng)和寬各自相加后，取和比值，這是10個(gè)比值平均數(shù)（教師能夠思索：為何不用通常求平均數(shù)方法計(jì)算比值平均數(shù)）。針對(duì)這個(gè)問題，用平均數(shù)是比較適當(dāng)。74/182

（4）取一片新樹葉，經(jīng)過這片樹葉長(zhǎng)寬之比、參考（3）預(yù)計(jì)結(jié)果，來判斷這片樹葉屬于哪種樹。學(xué)生會(huì)發(fā)覺，即使是同一棵樹，葉子長(zhǎng)與寬比值恰好等于預(yù)計(jì)值可能性也很小，這表現(xiàn)了數(shù)據(jù)隨機(jī)性。能夠深入啟發(fā)學(xué)生考慮一個(gè)合理方案：只要比值大約等于預(yù)計(jì)值，就能夠認(rèn)為是同一個(gè)樹，也就是說，需要結(jié)構(gòu)一個(gè)以預(yù)計(jì)值為中心數(shù)值區(qū)間，當(dāng)新取樹葉長(zhǎng)寬比值屬于這個(gè)區(qū)間時(shí)就認(rèn)為屬于這個(gè)樹種。怎樣合理地結(jié)構(gòu)這個(gè)數(shù)值區(qū)間是主要，區(qū)間太短則可能拒絕同類樹種，區(qū)間太長(zhǎng)則判斷精度就要差。（可引導(dǎo)學(xué)生探索方法）

這個(gè)問題能夠舉一反三。75/182關(guān)鍵概念之六：運(yùn)算能力

——此次增加關(guān)鍵概念

運(yùn)算是數(shù)學(xué)主要內(nèi)容，在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程各個(gè)學(xué)段中，運(yùn)算都占有很大比重。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，要花費(fèi)較多時(shí)間和精力，學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種運(yùn)算知識(shí)及技能，并發(fā)展運(yùn)算能力。76/182（1）《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算能力要求《標(biāo)準(zhǔn)》指出：運(yùn)算能力主要是指能夠依據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有利于學(xué)生了解運(yùn)算算理，尋求合理簡(jiǎn)練運(yùn)算路徑處理問題。77/182

（2）《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算能力認(rèn)識(shí)

運(yùn)算正確、有據(jù)、合理、簡(jiǎn)練是運(yùn)算能力主要特征。運(yùn)算能力并非一個(gè)單一、孤立數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和處理問題過程中，要力爭(zhēng)做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡(jiǎn)練。換言之，運(yùn)算能力不但是一個(gè)數(shù)學(xué)操作能力，更是一個(gè)數(shù)學(xué)思維能力。78/182關(guān)鍵概念之七：推理能力

此次《標(biāo)準(zhǔn)》提出推理能力與過去相比，有這么一些特點(diǎn)：

1、深入指明了推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要意義。

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“推理是數(shù)學(xué)基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用思維方式”。它對(duì)教學(xué)啟示是，不但要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到推理是數(shù)學(xué)主要基礎(chǔ)之一，它與人們生活息息相關(guān)，更主要是要逐步培養(yǎng)學(xué)生利用推理進(jìn)行思維方式。79/182突出了合情推理與演繹推理2、基于數(shù)學(xué)推理特點(diǎn)，突出了合情推理與演繹推理這條根本。指出在數(shù)學(xué)思維和問題處理過程中，兩種推理功效不一樣，相輔相成——合情推理用于探索思緒，發(fā)覺結(jié)論；演繹推理用于證實(shí)結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷“猜測(cè)——證實(shí)”問題探索過程80/182經(jīng)過多樣化活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力。

反思傳統(tǒng)教學(xué)，對(duì)學(xué)生推理能力培養(yǎng)往往被認(rèn)為就是加強(qiáng)邏輯證實(shí)訓(xùn)練，主要形式就是經(jīng)過習(xí)題演練以掌握更多證實(shí)技巧。顯然，這么認(rèn)識(shí)是帶有不足。81/182關(guān)鍵概念之七：推理能力

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)經(jīng)過多樣化活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生推理能力。如《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在參加觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、證實(shí)、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，

”（總目標(biāo)），“體會(huì)經(jīng)過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，利用演繹推理加以證實(shí)過程，在多樣化形式數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理能力”（第三學(xué)段）。82/182使學(xué)生多經(jīng)歷

“猜測(cè)——證實(shí)”問題探索過程

在“猜測(cè)——證實(shí)”問題探索過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)覺結(jié)論、用演繹推理證實(shí)結(jié)論完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升極為有利。教師要善于對(duì)素材進(jìn)行這類加工，引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷這么活動(dòng)。83/182

3、強(qiáng)調(diào)推理能力培養(yǎng)“應(yīng)貫通于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”。

其一，它應(yīng)貫通于整個(gè)數(shù)學(xué)課程各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容；其二，它應(yīng)貫通于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)各種活動(dòng)過程；其三，它應(yīng)貫通于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步驟；也應(yīng)貫通于三個(gè)學(xué)段，合理安排，循序漸進(jìn)，協(xié)調(diào)發(fā)展。84/182

關(guān)鍵概念之八：模型思想

在義務(wù)教育階段提出模型思想主要有以下理由：第一，模型思想是一個(gè)基本數(shù)學(xué)思想；第二，模型思想及對(duì)應(yīng)建模活動(dòng)與很多課程目標(biāo)點(diǎn)親密相關(guān)（如數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、發(fā)覺、提出問題能力、數(shù)學(xué)聯(lián)絡(luò)、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、改進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式等等）提出模型思想能很好地支撐這些課程目標(biāo)實(shí)現(xiàn)；

第三，模型思想本身就滲透于各課程內(nèi)容領(lǐng)域之中，突出模型思想有利于更加好了解、掌握所學(xué)內(nèi)容；85/182在義務(wù)教育階段提出模型思想主要理由：

第四，培養(yǎng)學(xué)生模型思想對(duì)義務(wù)教育階段學(xué)生來說是可行。另外還要看到，數(shù)學(xué)建模已是高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，提出模型思想亦能更加好與高中課程銜接。86/182

對(duì)數(shù)學(xué)建模認(rèn)識(shí)所謂數(shù)學(xué)模型，就是依據(jù)特定研究目標(biāo)和問題，采取形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象主要特征、關(guān)系所形成一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來代數(shù)式、關(guān)系式方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。87/182

數(shù)學(xué)建模就是經(jīng)過建立模型方法來求得問題處理數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。

這一過程步驟可用以下框圖來表達(dá)：觀察實(shí)際情境發(fā)覺提出問題抽象成數(shù)學(xué)模型得到數(shù)學(xué)結(jié)果可用結(jié)果檢驗(yàn)合乎實(shí)際不合乎實(shí)際修改

這些步驟反應(yīng)是一個(gè)相對(duì)嚴(yán)格數(shù)學(xué)建模過程，義務(wù)教育階段尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)建模視詳細(xì)課程內(nèi)容要求，不一定完全經(jīng)歷全部步驟，這里有一個(gè)逐步提升過程。88/182

《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想含義及要求

模型思想建立是學(xué)生體會(huì)和了解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)絡(luò)基本路徑。建立和求解模型過程包含：從現(xiàn)實(shí)生活或詳細(xì)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果意義。

使學(xué)生體會(huì)和了解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)絡(luò)是這一關(guān)鍵概念本質(zhì)要求。

89/182《標(biāo)準(zhǔn)》從義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程實(shí)際情況出發(fā)，將數(shù)學(xué)建模過程深入簡(jiǎn)化為這么三個(gè)步驟：

首先是“從現(xiàn)實(shí)生活或詳細(xì)情境中抽象數(shù)學(xué)問題”。這說明發(fā)覺和提出問題是數(shù)學(xué)建模起點(diǎn)。然后“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系和改變規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要經(jīng)過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。這是建模最主要一個(gè)步驟。最終，經(jīng)過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中意義。90/182模型思想培養(yǎng)

在第三學(xué)段，主要是結(jié)合相關(guān)概念學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統(tǒng)計(jì)表格等分析表示現(xiàn)實(shí)問題，處理現(xiàn)實(shí)問題。

模型思想滲透是多方位。模型思想感悟應(yīng)該蘊(yùn)含于日常教學(xué)之中。

91/182使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型

——求解驗(yàn)證”數(shù)學(xué)活動(dòng)過程

“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”數(shù)學(xué)活動(dòng)過程表達(dá)了《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想基本要求，也有利于學(xué)生在過程中了解、掌握相關(guān)知識(shí)、技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想本質(zhì)。這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)覺、提出、分析、處理問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。92/182方程與模型實(shí)際情境數(shù)學(xué)問題已知量、未知量、等量關(guān)系方程（模型）方程解分析抽象解釋解合理性合乎實(shí)際求出列出不合乎實(shí)際驗(yàn)證93/182

關(guān)鍵概念之九：應(yīng)用意識(shí)

應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面含義：首先，有意識(shí)利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象，處理現(xiàn)實(shí)世界中問題。（數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化）另首先，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形相關(guān)問題，這些問題能夠抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法給予處理。（現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化）

94/182關(guān)鍵概念之十：創(chuàng)新意識(shí)

創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育基本任務(wù)，應(yīng)表達(dá)在數(shù)學(xué)教與學(xué)過程之中。學(xué)生自己發(fā)覺和提出問題是創(chuàng)新基礎(chǔ)；獨(dú)立思索、學(xué)會(huì)思索是創(chuàng)新關(guān)鍵；歸納概括得到猜測(cè)和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新主要方法。創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫通數(shù)學(xué)教育一直。（《課標(biāo)》）95/182

關(guān)鍵概念之十：創(chuàng)新意識(shí)

《課標(biāo)》從基礎(chǔ)、關(guān)鍵、方法三個(gè)方面指明了創(chuàng)新意識(shí)要素。這為我們培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)提出了幾個(gè)基本切入點(diǎn)和路徑，使創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)落在了比較實(shí)在載體上。即圍繞這三個(gè)要素，教師應(yīng)緊緊抓住“數(shù)學(xué)問題”、“學(xué)會(huì)思索”、“猜測(cè)、驗(yàn)證”這幾個(gè)點(diǎn)，做足教學(xué)中“文章”，創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)目標(biāo)就有可能得到落實(shí)。96/1823.關(guān)于課程目標(biāo)修改

在目標(biāo)結(jié)構(gòu)上仍按：總體目標(biāo)總體表述知識(shí)技能數(shù)學(xué)思索問題處理情感態(tài)度學(xué)段目標(biāo)第一學(xué)段第二學(xué)段第三學(xué)段在目標(biāo)結(jié)構(gòu)上仍按：97/182

（1）目標(biāo)上有哪些改變？

在總體目標(biāo)中突出了“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向。98/182

改變之一：明確提出四基，即“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想”；改變之二：針對(duì)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)，明確提出“發(fā)覺問題和提出問題能力、分析問題和處理問題能力”；改變之三：針對(duì)了解知識(shí)來龍去脈，明確提出“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)絡(luò)”；數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)有那些新改變？99/182數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)有那些新改變？

改變之四：對(duì)于情感態(tài)度培養(yǎng)，深入明確“了解數(shù)學(xué)價(jià)值,提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)信心，養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣”；改變之五：針對(duì)學(xué)科精神培養(yǎng)，明確提出“含有初步創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度”。100/182（2）對(duì)幾個(gè)新目標(biāo)點(diǎn)分析目標(biāo)點(diǎn)一：“四基”從“雙基”到“四基”

——對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有何意義？101/182對(duì)傳統(tǒng)課程反思：“雙基”是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢(shì)所在，但它是否就是數(shù)學(xué)課程價(jià)值全部？傳統(tǒng)意義下“雙基”需要與時(shí)俱進(jìn)了解。102/182對(duì)傳統(tǒng)課程反思：在“雙基”與能力或“雙基”與數(shù)學(xué)素養(yǎng)之間似乎還缺乏一些什么東西？數(shù)學(xué)素養(yǎng)最關(guān)鍵要素有哪些呢？怎樣才能形成數(shù)學(xué)智慧呢？怎樣能從課程目標(biāo)上支撐創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)呢？103/182

一個(gè)觀點(diǎn)：

“創(chuàng)新能力基礎(chǔ)依賴于三方面:知識(shí)掌握、思維訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)積累,三方面同等主要。關(guān)于‘知識(shí)掌握’,我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育是沒有問題;關(guān)于‘經(jīng)驗(yàn)積累’,大約還差得很多;關(guān)于‘思維訓(xùn)練’,我們做得也不夠,只能打五十分.那么為了創(chuàng)新型國(guó)家建立我們現(xiàn)在教育只做了二分之一工作.我們沒有更多地在基礎(chǔ)教育階段教孩子怎樣去創(chuàng)新,幫他們從小事情、小發(fā)覺開始積累經(jīng)驗(yàn),沒有這么意識(shí)?！?/p>

（史寧中年第46卷第5期《數(shù)學(xué)通報(bào)》)

）104/182何為數(shù)學(xué)基本思想？

德國(guó)諾貝爾獎(jiǎng)取得者、物理學(xué)家馮·勞厄：

“教育無非是一切已學(xué)過東西都忘記時(shí)所剩下東西”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是有思想教學(xué)！有了思想才有了課堂生命！105/182什么是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最本質(zhì)東西？波利亞（美）一貫強(qiáng)調(diào)把“有益思索方式，應(yīng)有思維習(xí)慣”放在教學(xué)首位。閔山國(guó)藏（日本）指出，“學(xué)生在畢業(yè)之后很快，數(shù)學(xué)知識(shí)就很快忘記了，然而，不論他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中數(shù)學(xué)精神、思維方法、推理方法和著眼點(diǎn)（假如培養(yǎng)了這種素質(zhì)話），在隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終生。”

106/182

能夠討論觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，……經(jīng)過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則，經(jīng)過推理得到數(shù)學(xué)發(fā)展，然后經(jīng)過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)絡(luò)”（史寧中，《數(shù)學(xué)思想概論》第一輯，東北師范大學(xué)出版社，.6，第一頁(yè)）。

從

數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個(gè)

維度上概括了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大三個(gè)主要思想。107/182何為數(shù)學(xué)基本思想？數(shù)學(xué)基本思想是指對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)方法本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中；它制約著學(xué)科發(fā)展根本和邏輯架構(gòu)；是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上抽象與概括。如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、結(jié)構(gòu)、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)…等。108/182怎樣了解？三個(gè)慣用概念：數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想方法109/182注意教材中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)基本思想在課程內(nèi)容和教材中，數(shù)學(xué)基本思想其實(shí)是很豐富，這些思想經(jīng)常處于潛形態(tài)，教師要成為有心人（教課時(shí)應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想方法滲透）。110/182

怎樣使數(shù)學(xué)思想從潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)呢？

※分類

※化歸

※歸納

111/182經(jīng)驗(yàn)與思想？R.柯朗H.羅賓：

“只有靠了數(shù)學(xué)本身經(jīng)驗(yàn)，才能把握數(shù)學(xué)思想是什么.”112/182

什么是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?

黃翔《取得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注目標(biāo)》

——《課程.教材.教法》.1期

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基本特征：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是基于學(xué)習(xí)主體，它帶有顯著主體性特征，所以也就含有學(xué)習(xí)者個(gè)性特征，它屬于特定學(xué)習(xí)者自己。

———主體性113/182

什么是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中所取得，離開了活動(dòng)過程這一實(shí)踐是不會(huì)形成有意義數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

———實(shí)踐（過程）性114/182什么是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)反應(yīng)是學(xué)習(xí)者在特定學(xué)習(xí)環(huán)境中或某一學(xué)習(xí)階段對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識(shí)更多時(shí)候是內(nèi)隱，原生或直接感受、非嚴(yán)格理性，也是可在學(xué)習(xí)過程中可變。———發(fā)展性115/182

什么是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?即使是外部條件看來相同，不過對(duì)同一對(duì)象，每一個(gè)學(xué)生依然可能含有不一樣經(jīng)驗(yàn)。

——多樣性116/182

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)類型：

直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，間接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思索活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是與學(xué)生日常生活直接聯(lián)絡(luò)數(shù)學(xué)活動(dòng)中所取得經(jīng)驗(yàn)，如購(gòu)置物品、校園設(shè)計(jì)等。而間接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)情景、構(gòu)建模型中所取得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如雞兔同籠、順?biāo)兄鄣取ＴO(shè)計(jì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從教師特意設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中所取得經(jīng)驗(yàn)，如隨機(jī)摸球、地面拼圖等。思索活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是經(jīng)過分析、歸納等思索取得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如預(yù)測(cè)結(jié)果、探究成因等。117/182數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不但僅是解題經(jīng)驗(yàn)，

愈加主要是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思索經(jīng)驗(yàn)。提出數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還有一個(gè)主要目標(biāo)，就是培養(yǎng)學(xué)生在活動(dòng)中從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行思索，直觀地、合情地取得一些結(jié)果，因?yàn)檫M(jìn)行創(chuàng)造，取得新結(jié)果主要路徑是作出猜測(cè)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不但僅是解題經(jīng)驗(yàn)，愈加主要是思維經(jīng)驗(yàn)，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思索經(jīng)驗(yàn)。118/182知識(shí)→

經(jīng)驗(yàn)→

思想→

智慧學(xué)生形成智慧，不可能僅僅依靠掌握豐富知識(shí)，一定還需要實(shí)踐及在實(shí)踐中取得經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)思想也不但在探索推演中形成，還需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累上形成。119/182數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：學(xué)習(xí)主體經(jīng)過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程所取得含有個(gè)性特征經(jīng)驗(yàn)?！八幕笔强陀^性知識(shí)與主觀性體驗(yàn)結(jié)合是結(jié)果性知識(shí)與過程性活動(dòng)結(jié)合

經(jīng)驗(yàn)，在哲學(xué)上指人們?cè)谕陀^事物直接接觸過程中經(jīng)過感覺器官取得關(guān)于客觀事物現(xiàn)象和外部聯(lián)絡(luò)認(rèn)識(shí)。120/182“四基”與數(shù)學(xué)素養(yǎng)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)基本技能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力121/182

目標(biāo)點(diǎn)二：為何要強(qiáng)調(diào)

發(fā)覺問題、提出問題？在數(shù)學(xué)中，發(fā)覺結(jié)論經(jīng)常比證實(shí)結(jié)論更主要；創(chuàng)新性結(jié)果往往始于問題；傳統(tǒng)教學(xué)在這方面不足；問題處理全過程是發(fā)覺、提出、分析、處理問題過程。122/182發(fā)覺問題和提出問題所謂“發(fā)覺問題”，是經(jīng)過多方面、多角度數(shù)學(xué)思維，從表面上看來沒相關(guān)系一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或者空間方面一些聯(lián)絡(luò)，或者找到數(shù)量或者空間方面一些矛盾，并把這些聯(lián)絡(luò)或者矛盾提煉出來。所謂“提出問題”，是在已經(jīng)發(fā)覺問題基礎(chǔ)上，把找到聯(lián)絡(luò)或者矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以“問題”形態(tài)表述出來?！鞍l(fā)覺、提出、分析、處理問題”針正確是問題處理全程，是數(shù)學(xué)能力要求。123/182我們需要問題驅(qū)動(dòng)、

分析探究課堂研究始于問題，一樣，教學(xué)也應(yīng)該始于問題；沒有問題課堂是沒有思想、沒有生命力課堂。

思想是課堂生命！問題是課堂靈魂！124/182我們要經(jīng)過這么課堂

培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)發(fā)覺問題、提出問題是創(chuàng)新基礎(chǔ)；諾貝爾獎(jiǎng)金取得者李政道教授認(rèn)為“我們學(xué)習(xí)知識(shí)，目標(biāo)是要做到‘學(xué)問’。學(xué)習(xí)，就是學(xué)習(xí)問問題，學(xué)習(xí)怎樣問問題。”做學(xué)問與‘學(xué)問’125/182教學(xué)提議教師要善于將陳說性知識(shí)教材內(nèi)容進(jìn)行二度設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換成一系列問題序列，使教學(xué)成為問題處理活動(dòng)過程；教師更要善于創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)覺、提出、分析處理問題。126/182目標(biāo)點(diǎn)三：增強(qiáng)數(shù)學(xué)聯(lián)絡(luò)

這里說到學(xué)生要體會(huì)三個(gè)方面聯(lián)絡(luò)：數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)絡(luò)（系統(tǒng)性、綜合性）數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間聯(lián)絡(luò)（相關(guān)性、工具性）數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)絡(luò)（應(yīng)用性）127/182目標(biāo)點(diǎn)四：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣第一次提出“培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣”《標(biāo)準(zhǔn)》在“情感與態(tài)度”目標(biāo)中詳細(xì)指明了其含義：“養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思索、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣?！?28/182什么是學(xué)習(xí)習(xí)慣？

為何要提出培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣？學(xué)習(xí)習(xí)慣指在長(zhǎng)久學(xué)習(xí)中逐步養(yǎng)成、較穩(wěn)固學(xué)習(xí)行為、傾向和習(xí)性。之所以提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，一是因?yàn)樵陂L(zhǎng)達(dá)九年義務(wù)教育學(xué)習(xí)階段，一個(gè)人在學(xué)習(xí)上習(xí)慣總是處于不停養(yǎng)成過程中，它是與學(xué)習(xí)行為相伴而行，客觀存在。

129/182在日常教學(xué)中刻意誘導(dǎo)，潛移默化，點(diǎn)滴

積累，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間磨練，方能習(xí)認(rèn)為常。

二是良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣含有很強(qiáng)心理內(nèi)驅(qū)力和學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成慣性力，它有利于學(xué)生經(jīng)過自主學(xué)習(xí)形成學(xué)習(xí)正向遷移，提升學(xué)習(xí)效率。三是良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣能幫助學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，使學(xué)生今后在適應(yīng)終生學(xué)習(xí)上受益。130/1824.關(guān)于內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)修改將“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”提法改為“課程內(nèi)容”131/182三個(gè)學(xué)段關(guān)于課程內(nèi)容修改132/182課程內(nèi)容中條目數(shù)量統(tǒng)計(jì)（第三學(xué)段）

原標(biāo)準(zhǔn)修訂標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)與代數(shù)4852（3）+4(3)圖形與幾何8389（4）+6(4)統(tǒng)計(jì)與概率1311-2綜合與實(shí)踐43-1累計(jì)148155（7）+7(7)133/182第三學(xué)段關(guān)于課程內(nèi)容修改“數(shù)與代數(shù)”增加了：1、知道｜a｜含義（這里a表示有理數(shù)）；2、知道最簡(jiǎn)二次根式和最簡(jiǎn)分式概念；3、能進(jìn)行簡(jiǎn)單整式乘法運(yùn)算中增加了一次式與二次式相乘；4、會(huì)用一元二次方程根判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；5、會(huì)用待定系系數(shù)法確定一次函數(shù)解析表示式.134/182數(shù)與代數(shù)增加選學(xué)內(nèi)容：1、了解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系；2、能解簡(jiǎn)單三元一次方程組；3、知道給定不共線三點(diǎn)坐標(biāo)能夠確定一個(gè)二次函數(shù)。135/182

“數(shù)與代數(shù)”刪除內(nèi)容：1、能對(duì)含有較大數(shù)字信息作出合理解釋與推斷；2、了解有效數(shù)字概念；3、能夠依據(jù)詳細(xì)問題中數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式組，處理簡(jiǎn)單問題；4、求絕對(duì)值時(shí)關(guān)于“絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母”限制。136/182圖形與幾何（第三學(xué)段）：內(nèi)容結(jié)構(gòu)上略有調(diào)整（圖形性質(zhì)、圖形運(yùn)動(dòng)、圖形與坐標(biāo)）（原來是圖形認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證實(shí)）；對(duì)基本事實(shí)要求更清楚（9條），不再使用“公理”這個(gè)詞；增強(qiáng)了“圖形與幾何”內(nèi)容條理性，深入闡述了合情推理和演繹推理關(guān)系，強(qiáng)調(diào)了幾何證實(shí)表述方式多樣性。137/182“圖形與幾何”增加內(nèi)容：1、會(huì)比較線段長(zhǎng)短，了解線段和、差，以及線段中點(diǎn)意義；2、了解平行于同一條直線兩條直線平行；3、會(huì)按照邊長(zhǎng)關(guān)系和角大小對(duì)三角形進(jìn)行分類；4、了解并證實(shí)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；138/182“圖形與幾何”增加內(nèi)容：5、了解正多邊形概念及正多邊形與圓關(guān)系；6、尺規(guī)作圖：過一點(diǎn)作已知直線垂線；7、已知一直角邊和斜邊作直角三角形；8、作三角形外接圓、內(nèi)切圓；9、作圓內(nèi)接正方形和正六邊形。139/182“圖形與幾何”增加選學(xué)內(nèi)容：1、了解平行線性質(zhì)定理證實(shí)；2、了解相同三角形判定定理證實(shí)；3、探索并證實(shí)垂徑定理：垂直于弦直徑平分弦以及弦所正確兩條?。?、探索并證實(shí)切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)所畫圓兩條切線長(zhǎng)相等；5、了解圓周角及其推論證實(shí)。140/182*了解平行線性質(zhì)定理證實(shí)

例證實(shí)兩直線平行，同位角相等.這個(gè)證實(shí)能夠利用反證法完成.證實(shí)：如圖15所表示，我們希望證實(shí)：假如AB∥CD，那么∠1＝∠2.假設(shè)∠1≠∠2，過點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2.依據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，假如同位角相等，那么這兩條直線平行”這個(gè)基本事實(shí)，可得A′B′∥CD.這么，過點(diǎn)O就有兩條直線AB，A′B′平行于CD，這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2假設(shè)是不正確，于是有∠1＝∠2.141/182基本事實(shí)1：兩點(diǎn)確定一條直線.基本事實(shí)2：兩點(diǎn)之間線段最短.基本事實(shí)3：過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直.基本事實(shí)4：兩條直線被第三條直線所截，假如同位角相等，那么兩直線平行.基本事實(shí)5：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.基本事實(shí)6：兩邊及其夾角分別相等兩個(gè)三角形全等.基本事實(shí)7：兩角及其夾邊分別相等兩個(gè)三角形等.基本事實(shí)8：三邊分別相等兩個(gè)三角形全等.基本事實(shí)9：兩條直線被一組平行線所截，所得對(duì)應(yīng)線段，成百分比.基本事實(shí)9條142/182“圖形與幾何”刪去內(nèi)容：

1、相關(guān)等腰梯形內(nèi)容；2、“探索并了解兩圓位置關(guān)系”；3、降低了關(guān)于視圖與投影要求，刪去關(guān)于影子、視點(diǎn)、視角、盲區(qū)等內(nèi)容以及對(duì)雪花曲線和莫比烏斯帶等圖形觀賞；4、刪去關(guān)于鏡面對(duì)稱要求。143/182統(tǒng)計(jì)與概率：

較為系統(tǒng)地整理了“統(tǒng)計(jì)與概率”,降低了概率部分內(nèi)容，使得三個(gè)學(xué)段層次愈加清楚，表示愈加準(zhǔn)確。

144/182統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要改變以下：

第一學(xué)段與原《標(biāo)準(zhǔn)》相比，最大改變是勉勵(lì)學(xué)生利用自己方式（包含文字、圖畫、表格等）展現(xiàn)整理數(shù)據(jù)結(jié)果，不要求學(xué)生學(xué)習(xí)“正規(guī)”統(tǒng)計(jì)圖（一格代表一個(gè)單位條形統(tǒng)計(jì)圖）以及平均數(shù)（這些內(nèi)容放在了第二學(xué)段）。145/182統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要改變以下：第二學(xué)段與原《標(biāo)準(zhǔn)》相比，在統(tǒng)計(jì)量方面，只要求學(xué)生體會(huì)平均數(shù)意義，不要求學(xué)生學(xué)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)（這些內(nèi)容放在了第三學(xué)段）。146/182

加強(qiáng)體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性

這是修改后一個(gè)主要改變。原來，學(xué)生主要是依靠概率來體會(huì)隨機(jī)思想，現(xiàn)在希望學(xué)生經(jīng)過數(shù)據(jù)來體會(huì)隨機(jī)思想。這種改變從“數(shù)據(jù)分析觀念”關(guān)鍵詞表述能夠看出。147/182

第三學(xué)段，刪去極差、頻數(shù)折線圖等內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)了對(duì)“隨機(jī)”體會(huì)。比如，增加了“經(jīng)過案例了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”、“經(jīng)過表格、折線圖等，了解隨機(jī)現(xiàn)象改變趨勢(shì)”、增加了能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜數(shù)據(jù)、了解平均數(shù)意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)；

強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，加強(qiáng)體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性。148/182概率部分改變：

（1）在第一學(xué)段，去掉了該內(nèi)容要求；第二學(xué)段，只要求學(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象，并能對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性大小做定性描述。（2）第三學(xué)段，經(jīng)過列出簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象全部可能結(jié)果，以及指定事件發(fā)生全部結(jié)果，來了解隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生概率。149/182“統(tǒng)計(jì)與概率”未采納意見：

主要是希望在第二學(xué)段保留“中位數(shù)、眾數(shù)”，在第三學(xué)段增加“標(biāo)準(zhǔn)差”.考慮到義務(wù)教育階段統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)關(guān)鍵是發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，對(duì)于分析數(shù)據(jù)特征，關(guān)鍵是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到能夠刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和離中程度，而不在于學(xué)習(xí)過多概念，所以沒有采納此提議.150/182綜合與實(shí)踐

——統(tǒng)一了三個(gè)學(xué)段名稱，深入明確了其目地和內(nèi)涵.“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體，學(xué)生主動(dòng)參加學(xué)習(xí)活動(dòng)，是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)主要路徑。151/182學(xué)生針對(duì)問題情境，綜合所學(xué)知識(shí)及生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思索或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)覺問題和提出問題、分析問題和處理問題全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間聯(lián)絡(luò)，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容了解.152/182實(shí)施提議修改

實(shí)施提議修改。將原來按三個(gè)學(xué)段分別表述改為整體表述，防止無須要重復(fù)，并增強(qiáng)了可操作性。為了使教材編寫者和廣大教師能夠更加好地了解《標(biāo)準(zhǔn)》理念，明確教學(xué)過程與方法，增補(bǔ)一些含有針對(duì)性案例，而且對(duì)于案例教學(xué)功效等進(jìn)行了比較詳細(xì)地闡述。

153/182術(shù)語(yǔ)解釋與案例

術(shù)語(yǔ)解釋與案例匯總作為附錄，統(tǒng)一放在正文后面，使正文愈加簡(jiǎn)捷清楚；

增加了一些幫助教師了解、澄清迷惑案例。案例數(shù)到達(dá)83個(gè).對(duì)大部分案例不但僅展現(xiàn)了案例要求本身，而且提出了案例設(shè)計(jì)思緒及教學(xué)過程提議，有利于教師了解課程內(nèi)容、體會(huì)數(shù)學(xué)思想、實(shí)施教學(xué)。154/182回顧修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變

1.基本理念修改：數(shù)學(xué)課程，課程內(nèi)容，教學(xué)活動(dòng)，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，信息技術(shù)。2.設(shè)計(jì)思緒修改：學(xué)段劃分保持不變；對(duì)課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞同義詞；對(duì)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域名稱作適當(dāng)調(diào)整；對(duì)課程內(nèi)容中若干關(guān)鍵概念（現(xiàn)為10個(gè)）作適當(dāng)調(diào)整，對(duì)其意義作更明確解釋。

155/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變3.課程目標(biāo)修改：在總體目標(biāo)中突出了“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向。改變之一：明確提出四基，即“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本思想”；改變之二：針對(duì)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)，明確提出“發(fā)覺問題和提出問題能力、分析問題和處理問題能力”；改變之三：針對(duì)了解知識(shí)來龍去脈，明確提出“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)絡(luò)”；

156/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變

改變之四：對(duì)于情感態(tài)度培養(yǎng)，深入明確“了解數(shù)學(xué)價(jià)值,提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)信心，養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣”；改變之五：針對(duì)學(xué)科精神培養(yǎng)，明確提出“含有初步創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度”。157/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變4.課程內(nèi)容修改：①“數(shù)與代數(shù)”增加了8個(gè)條目標(biāo)內(nèi)容（包含3個(gè)選學(xué)內(nèi)容），刪除了4個(gè)條目標(biāo)內(nèi)容；②“圖形與幾何”進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整，增加了14個(gè)條目標(biāo)內(nèi)容（包含5個(gè)選學(xué)內(nèi)容）；③“統(tǒng)計(jì)與概率”降低了概率部分內(nèi)容，使得三個(gè)學(xué)段層次愈加清楚，表示愈加準(zhǔn)確。統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要改變：第一學(xué)段最大改變是勉勵(lì)學(xué)生利用自己方式（包含文字、圖畫、表格等）展現(xiàn)整理數(shù)據(jù)結(jié)果，不要求學(xué)生學(xué)習(xí)“正規(guī)”統(tǒng)計(jì)圖（一格代表一個(gè)單位條形統(tǒng)計(jì)圖）以及平均數(shù)（這些內(nèi)容放在了第二學(xué)段）。第二學(xué)段在統(tǒng)計(jì)量方面，只要求學(xué)生體會(huì)平均數(shù)意義，不要求學(xué)生學(xué)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)（這些內(nèi)容放在了第三學(xué)段）。

158/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變

第三學(xué)段，刪去極差、頻數(shù)折線圖等內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)了對(duì)“隨機(jī)”體會(huì)。比如，增加了“經(jīng)過案例了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”、“經(jīng)過表格、折線圖等，了解隨機(jī)現(xiàn)象改變趨勢(shì)”、增加了能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜數(shù)據(jù)、了解平均數(shù)意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)；

強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念，加強(qiáng)體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性。159/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變概率部分改變：（1）在第一學(xué)段，去掉了該內(nèi)容要求；第二學(xué)段，只要求學(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象，并能對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性大小做定性描述。（2）第三學(xué)段，經(jīng)過列出簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象全部可能結(jié)果，以及指定事件發(fā)生全部結(jié)果，來了解隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生概率。④“綜合與實(shí)踐”統(tǒng)一了三個(gè)學(xué)段名稱，深入明確了其目標(biāo)和內(nèi)涵。160/182修訂后《標(biāo)準(zhǔn)》主要改變

5.課程實(shí)施修改：將原來按三個(gè)學(xué)段分別表述改為整體表述，防止無須要重復(fù)，并增強(qiáng)了可操作性。為了使教材編寫者和廣大教師能夠更加好地了解《標(biāo)準(zhǔn)》理念，明確教學(xué)過程與方法，增補(bǔ)一些含有針對(duì)性案例，而且對(duì)于案例教學(xué)功效等進(jìn)行了比較詳細(xì)地闡述。針對(duì)以上改變，教學(xué)中我們?cè)撛趺醋瞿兀?61/182

數(shù)學(xué)課標(biāo)新改變不論在理論上或是實(shí)踐上都向我們提出了一些新、值得探究課題，需要我們?nèi)ッ鎸?duì)。作為一名教研員或教師，我以為首先應(yīng)該認(rèn)真研讀《課標(biāo)》，真正把握其精神實(shí)質(zhì)，站在數(shù)學(xué)教育高度上認(rèn)真思索有效教學(xué)策略與方法，真正成為教研活動(dòng)或教學(xué)活動(dòng)組織者、合作者、引領(lǐng)者。

把握改變有效教學(xué)

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把握改變有效教學(xué)

為了更有效地指導(dǎo)教學(xué)、實(shí)施教學(xué)，提議大家關(guān)注、思索和研究以下幾個(gè)問題：

1、了解數(shù)學(xué)，了解學(xué)生，了解教學(xué)

“三個(gè)了解”內(nèi)涵：掌握豐富數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；把握中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)知識(shí)；了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)知識(shí)；明確關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)教學(xué)解釋知識(shí)；能很好評(píng)定學(xué)生知識(shí)了解水平等。尤其是，“內(nèi)容所反應(yīng)數(shù)學(xué)思想方法”了解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能到達(dá)水平和效果。163/182

把握改變有效教學(xué)

2、高度重視教學(xué)目標(biāo)制訂

“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)設(shè)計(jì)思緒，是同一學(xué)習(xí)過程中三個(gè)心理維度，不是教學(xué)目標(biāo)維度。

教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度”指導(dǎo)下，綜合考慮學(xué)段目標(biāo)、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情來確定；課堂教學(xué)不是為了表達(dá)課程目標(biāo)“三個(gè)維度”而存在，而是要詳細(xì)而扎實(shí)地把課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展。164/182

把握改變有效教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng)教育方針：各學(xué)科目標(biāo)。課程目標(biāo)：——宏觀目標(biāo)，要付出大量時(shí)間和精力，經(jīng)過長(zhǎng)久努力才能實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)結(jié)果；包含多方面、更為詳細(xì)目標(biāo)。——由課程教授制訂?！谩翱傮w目標(biāo)+學(xué)段目標(biāo)”方式展現(xiàn)。165/182

把握改變有效教學(xué)單元目標(biāo)：——中觀目標(biāo)，用于計(jì)劃需要幾周或幾個(gè)月時(shí)間學(xué)習(xí)單元，是課程目標(biāo)詳細(xì)化。比如，“了解有理數(shù)加法法則”就是一個(gè)單元目標(biāo)?！?/p>