
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文檔簡介
弧長和扇形面積的計(jì)算
op圓的周長公式圓的面積公式C=2πrS=πr2解:∵圓心角900∴鐵軌長度是圓周長的則鐵軌長是如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖,其中鐵軌的半徑為100米,圓心角為90°.你能求出這段鐵軌的長度嗎?問題情景:上面求的是的圓心角900所對(duì)的弧長,若圓心角為n0,如何計(jì)算它所對(duì)的弧長呢?思考:請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算半徑為r,圓心角分別為1800、900、450、n0所對(duì)的弧長。1800900450n0圓心角占整個(gè)周角的所對(duì)弧長是結(jié)論:如果弧長為l,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑為r,那么,弧長的計(jì)算公式為:練一練:已知圓弧的半徑為50厘米,圓心角為60°,求此圓弧的長度。解:=cm答:此圓弧的長度為cm。注意(1)在應(yīng)用弧長公式l,進(jìn)行計(jì)算時(shí),要注意公式中n的意義。n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的。(2)區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三概念。度數(shù)相等的弧,弧長不一定相等,弧長相等的弧也不一定是等孤,而只有在同圓或等圓中,才可能是等弧。
如下圖,由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形。半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形扇形面積的大小到底和哪些因素有關(guān)呢?1.圓心角是3600的扇形面積是多少?2.圓心角是1800的扇形面積是多少?3.圓心角是900的扇形面積是多少?4.圓心角是2700的扇形面積是多少?(當(dāng)圓半徑一定時(shí))扇形的面積隨著圓心角的增大而增大。1個(gè)圓面積個(gè)圓面積個(gè)圓面積個(gè)圓面積圓心角是10的扇形面積是多少?圓心角是10的扇形面積是圓面積的
3601圓心角為n0的扇形面積是多少?圓心角是n0的扇形面積是圓面積的
360n
如果用字母S表示扇形的面積,n表示圓心角的度數(shù),r表示圓半徑,那么扇形面積的計(jì)算公式是:S扇形=S圓360n360n=πr2S扇形360n=πr2l?。溅衦180n在這兩個(gè)公式中,弧長和扇形面積都和圓心角n°、半徑R有關(guān)系,因此l和S之間也有一定的關(guān)系,你能得出嗎?=S扇形=S圓360n360n=πr2l?。紺圓360n=.πd360n=πr180n
弧長與圓的周長有關(guān),扇形的面積與圓的面積有關(guān)。因此,計(jì)算弧長是;而計(jì)算扇形的面積時(shí)是。C圓360nS圓360n1=-2rl小試牛刀:1、如果扇形的圓心角是230°,那么這個(gè)扇形的面積等于這個(gè)扇形所在圓的面積的_____;2、扇形的面積是它所在圓的面積的,這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是_______。3、扇形的面積是S,它的半徑是r,這個(gè)扇形的弧長是______。答案:;240°典型例題例2如圖,折扇完全打開后,OA、OB的夾角為120°,OA的長為30cm,AC的長為20cm,求圖中陰影部分的面積S.如圖,半圓的直徑AB=40,C、D是半圓的3等分點(diǎn).求弦AC、AD與圍成的陰影部分的面積.拓展提升課堂總結(jié)
1.弧長、扇形面積公式;
2.不規(guī)則圖形的面積的求法:用規(guī)則的圖形的面積來表示;
3.?dāng)?shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的應(yīng)用:①轉(zhuǎn)化思想;②整體思想.1.如圖,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離,它們的半徑都是1,順次連接四個(gè)圓心得到四邊形ABCD,則圖形中四個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和是___________.●●●●2、如圖水平放置的圓形油桶的截面半徑為R,油面高為,則陰影部分的面積為
。(05重慶)3.一塊等邊三角形的木板,邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾(如圖),那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為________.●BB2.4解直角三角形
1.了解解直角三角形的含義.2.經(jīng)歷解直角三角形的過程,掌握解直角三角形的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在直角三角形中,我們把兩個(gè)銳角、三條邊稱為直角三角形的五個(gè)元素.圖中∠A,∠B,a,b,c即為直角三角形的五個(gè)元素.銳角三角比課時(shí)導(dǎo)入ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形:由直角三角形中已知元素求出未知元素的過程,叫作解直角三角形.
一個(gè)直角三角形中,若已知五個(gè)元素中的兩個(gè)元素(其中必須有一個(gè)元素是邊),則這樣的直角三角形可解.感悟新知知道五個(gè)元素中的幾個(gè),就可以求其余元素?探究必須已知除直角外的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊).已知兩邊:a.兩直角邊;b.一直角邊和斜邊.已知一邊和一銳角:a.一直角邊和一銳角;b.斜邊和一銳角.在Rt△ABC中,如果已知其中兩邊的長,你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎?
類型1
已知兩邊解直角三角形應(yīng)用勾股定理求斜邊,應(yīng)用角的正切值求出一銳角,再利用直角三角形的兩銳角互余,求出另一銳角.一般不用正弦或余弦值求銳角,因?yàn)樾边吺且粋€(gè)中間量,如果是近似值,會(huì)影響結(jié)果的精確度.已知斜邊和直角邊:先利用勾股定理求出另一直角邊,再求一銳角的正弦和余弦值,即可求出一銳角,再利用直角三角形的兩銳角互余,求出另一銳角.已知兩直角邊:已知斜邊和直角邊:例1
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解這個(gè)直角三角形.提問需求的未知元素:斜邊AB、銳角A、銳角B.方法一:方法二:由勾股定理可得AB=.例2已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C
的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=5,b=4,求這個(gè)三角
形的其他元素.(角度精確到1′)
求這個(gè)直角三角形的其他元素,與“解這個(gè)直角三角
形”的含義相同.求角時(shí),可以先求∠A,也可以先
求∠B,因?yàn)?/p>
=sinB=cosA.導(dǎo)引:由c=5,b=4,得sinB=
=0.8,∴∠B≈53°8′.∴∠A=90°-∠B≈36°52′.由勾股定理得解:已知直角三角形的一邊和一銳角,解直角三角形時(shí),若已知一直角邊a和一銳角A:①∠B=90
°-
∠A;②c=若已知斜邊c和一個(gè)銳角A:①∠B=90°-
∠A;②a=c·sinA;③b=c·cosA.
類型2
已知一邊及一銳角解直角三角形例4
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).提問需求的未知元素:直角邊a、斜邊c、銳角A.還有別的解法嗎?總
結(jié)在直角三角形的6個(gè)元素中,直角是已知元素,如果再知道一條邊和第三個(gè)元素,那么這個(gè)三角形的所有元素就都可以確定下來.例5在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分
別為a,b,c,且c=100,∠A=26°44′.求這個(gè)三角形
的其他元素.(長度精確到0.01)
已知∠A,可根據(jù)∠B=90°-∠A得到∠B的大?。?/p>
已知斜邊,必然要用到正弦或余弦函數(shù).
∵∠A=26°44′,∠C=90°,
∴∠B=90°-26°44′=63°16′.由sinA=得a=c·sinA=100·sin26°44′≈44.98.由cosA=
得b=c·cosA=100·cos26°44′≈89.31.解:導(dǎo)引:例6如圖,在△ABC中,AB=1,AC=sinB=
求BC的長.要求的BC邊不在直角
三角形中,已知條件中
有∠B的正弦值,作BC邊上的高,
將∠B置于直角三角形中,利用解直角三角形就可
解決問題.導(dǎo)引:
類型3
已知一邊及一銳角的三角比值解直角三角形如圖,過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB=1,sinB=∴AD=AB·sinB=1×=∴BD=
CD=∴BC=解:總
結(jié)通過作垂線(高),將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形,然后利用解直角三角形來解決邊或角的問題,這種“化斜為直”的思想很常見.在作垂線時(shí),要結(jié)合已知條件,充分利用已知條件,如本題若過B點(diǎn)作AC的垂線,則∠B的正弦值就無法利用.1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a=,b=,則c=
;(2)若a=10,c=,則∠B=
;(3)若b=35,∠A=45°,則a=
;(4)若c=20,∠A=60°,則a=
.45°35隨堂練習(xí)2.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D在BC邊上,且△ABD是等邊三角形.若AB=2,求△ABC的周長.(結(jié)果保留根號(hào))解:∵△ABD是等邊三角形,∴∠B
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