青島版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （弧長(zhǎng)及扇形面積的計(jì)算）教學(xué)課件

弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算

op圓的周長(zhǎng)公式圓的面積公式C=2πrS=πr2解:∵圓心角900∴鐵軌長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的則鐵軌長(zhǎng)是如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90°．你能求出這段鐵軌的長(zhǎng)度嗎?問(wèn)題情景：上面求的是的圓心角900所對(duì)的弧長(zhǎng)，若圓心角為n0，如何計(jì)算它所對(duì)的弧長(zhǎng)呢？思考：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算半徑為r，圓心角分別為1800、900、450、n0所對(duì)的弧長(zhǎng)。1800900450n0圓心角占整個(gè)周角的所對(duì)弧長(zhǎng)是結(jié)論：如果弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r，那么，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：練一練：已知圓弧的半徑為50厘米，圓心角為60°，求此圓弧的長(zhǎng)度。解：=cm答：此圓弧的長(zhǎng)度為cm。注意（1）在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式l，進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義。n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的。（2）區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三概念。度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圓或等圓中，才可能是等弧。

如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形。半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形扇形面積的大小到底和哪些因素有關(guān)呢？1.圓心角是3600的扇形面積是多少？2.圓心角是1800的扇形面積是多少？3.圓心角是900的扇形面積是多少？4.圓心角是2700的扇形面積是多少？（當(dāng)圓半徑一定時(shí)）扇形的面積隨著圓心角的增大而增大。1個(gè)圓面積個(gè)圓面積個(gè)圓面積個(gè)圓面積圓心角是10的扇形面積是多少？圓心角是10的扇形面積是圓面積的

3601圓心角為n0的扇形面積是多少?圓心角是n0的扇形面積是圓面積的

360n

如果用字母S表示扇形的面積，n表示圓心角的度數(shù)，r表示圓半徑，那么扇形面積的計(jì)算公式是：S扇形＝S圓360n360n＝πr2S扇形360n＝πr2l?。溅衦180n在這兩個(gè)公式中，弧長(zhǎng)和扇形面積都和圓心角n°、半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能得出嗎?=S扇形＝S圓360n360n＝πr2l?。紺圓360n＝.πd360n＝πr180n

弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)有關(guān)，扇形的面積與圓的面積有關(guān)。因此，計(jì)算弧長(zhǎng)是；而計(jì)算扇形的面積時(shí)是。C圓360nS圓360n1=-2rl小試牛刀：1、如果扇形的圓心角是2３0°，那么這個(gè)扇形的面積等于這個(gè)扇形所在圓的面積的_____；2、扇形的面積是它所在圓的面積的，這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是_______。3、扇形的面積是S，它的半徑是r，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是______。答案：；240°典型例題例2如圖，折扇完全打開(kāi)后，OA、OB的夾角為120°，OA的長(zhǎng)為30cm，AC的長(zhǎng)為20cm，求圖中陰影部分的面積S．如圖，半圓的直徑AB＝40，C、D是半圓的3等分點(diǎn)．求弦AC、AD與圍成的陰影部分的面積．拓展提升課堂總結(jié)

1．弧長(zhǎng)、扇形面積公式；

2．不規(guī)則圖形的面積的求法：用規(guī)則的圖形的面積來(lái)表示；

3．?dāng)?shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的應(yīng)用：①轉(zhuǎn)化思想；②整體思想．1.如圖,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離,它們的半徑都是1,順次連接四個(gè)圓心得到四邊形ABCD,則圖形中四個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和是___________.●●●●2、如圖水平放置的圓形油桶的截面半徑為R，油面高為，則陰影部分的面積為

。（05重慶）3.一塊等邊三角形的木板,邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將木板沿水平線(xiàn)翻滾(如圖),那么B點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_______.●BB2.4解直角三角形

1.了解解直角三角形的含義.2.經(jīng)歷解直角三角形的過(guò)程，掌握解直角三角形的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在直角三角形中，我們把兩個(gè)銳角、三條邊稱(chēng)為直角三角形的五個(gè)元素.圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個(gè)元素.銳角三角比課時(shí)導(dǎo)入ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫作解直角三角形．

一個(gè)直角三角形中，若已知五個(gè)元素中的兩個(gè)元素(其中必須有一個(gè)元素是邊)，則這樣的直角三角形可解.感悟新知知道五個(gè)元素中的幾個(gè)，就可以求其余元素？探究必須已知除直角外的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）.已知兩邊：a.兩直角邊；b.一直角邊和斜邊.已知一邊和一銳角：a.一直角邊和一銳角；b.斜邊和一銳角.在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長(zhǎng)，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？

類(lèi)型1

已知兩邊解直角三角形應(yīng)用勾股定理求斜邊，應(yīng)用角的正切值求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．一般不用正弦或余弦值求銳角，因?yàn)樾边吺且粋€(gè)中間量，如果是近似值，會(huì)影響結(jié)果的精確度．已知斜邊和直角邊：先利用勾股定理求出另一直角邊，再求一銳角的正弦和余弦值，即可求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．已知兩直角邊：已知斜邊和直角邊：例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個(gè)直角三角形．提問(wèn)需求的未知元素：斜邊AB、銳角A、銳角B.方法一：方法二：由勾股定理可得AB=.例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊分別為a，b，c，且c＝5，b＝4，求這個(gè)三角

形的其他元素．(角度精確到1′)

求這個(gè)直角三角形的其他元素，與“解這個(gè)直角三角

形”的含義相同．求角時(shí)，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因?yàn)?/p>

＝sinB＝cosA.導(dǎo)引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得解：已知直角三角形的一邊和一銳角，解直角三角形時(shí)，若已知一直角邊a和一銳角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜邊c和一個(gè)銳角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.

類(lèi)型2

已知一邊及一銳角解直角三角形例4

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．提問(wèn)需求的未知元素：直角邊a、斜邊c、銳角A.還有別的解法嗎？總

結(jié)在直角三角形的6個(gè)元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個(gè)元素，那么這個(gè)三角形的所有元素就都可以確定下來(lái).例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分

別為a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求這個(gè)三角形

的其他元素．(長(zhǎng)度精確到0.01)

已知∠A，可根據(jù)∠B＝90°－∠A得到∠B的大?。?/p>

已知斜邊，必然要用到正弦或余弦函數(shù)．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：導(dǎo)引：例6如圖，在△ABC中，AB＝1，AC＝sinB＝

求BC的長(zhǎng)．要求的BC邊不在直角

三角形中，已知條件中

有∠B的正弦值，作BC邊上的高，

將∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可

解決問(wèn)題．導(dǎo)引：

類(lèi)型3

已知一邊及一銳角的三角比值解直角三角形如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝1×＝∴BD＝

CD＝∴BC＝解：總

結(jié)通過(guò)作垂線(xiàn)(高)，將斜三角形分割成兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角三角形來(lái)解決邊或角的問(wèn)題，這種“化斜為直”的思想很常見(jiàn)．在作垂線(xiàn)時(shí)，要結(jié)合已知條件，充分利用已知條件，如本題若過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線(xiàn)，則∠B的正弦值就無(wú)法利用．1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=,b=,則c=

；（2）若a=10，c=，則∠B=

；（3）若b=35，∠A=45°，則a=

；（4）若c=20，∠A=60°，則a=

.45°35隨堂練習(xí)2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）解：∵△ABD是等邊三角形，∴∠B