（人教A版）2021年新高二數(shù)學(xué)暑假講義-第十四講 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

第十四講導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

【考點剖析】

考點一構(gòu)造函數(shù)證明不等式

x—1

【例1】已知函數(shù)Hx)=l-g(x)=x—Inx.

(1)證明:g(x)21；

(2)證明：(x—lnx次

Y---1

證明(1)由題意得g'(x)=—j(x>0),

當(dāng)0<r<l時，g'(x)<0；當(dāng)尤>1時，g'(x)>0,

即g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù).

所以g(x)2g(l)=l,得證.

x-1x-2

(2)由火》)=1一一二，得〃龍)=『，

所以當(dāng)0<r<2時，/(x)<0,當(dāng)x>2時，/(.r)>0,

即IAx)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2,+8)上是增函數(shù),

所以/U)羽2)=1一卜(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號).①

又由⑴知x—lnx》l(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號)，②

且①②等號不同時取得，

所以(x—In—^2.

規(guī)律方法1.證明不等式的基本方法：

⑴利用單調(diào)性：若危)在[a,加上是增函數(shù)，則①VxC[”，b],有②Vxi,X2

G[a,b],且X1<X2,有4a)勺(X2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論.

(2)利用最值:若危)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m),則VxW。,有火x)WM(或加)2加).

2.證明/)<g(x),可構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x),證明尸(x)<0.先通過化簡、變形，再移項構(gòu)造不

等式就減少運算量，使得問題順利解決.

考點二利用“若兀T)min>g(X)max,則4X)>g。)”證明不等式

【例2】已知函數(shù)段)=xlnx-ax.

(1)當(dāng)a=—1時，求函數(shù)人x)在(0,+8)上的最值；

12

(2)證明：對一切xG(O,+8),都有Inx+Q/rr一而成立.

(I)解函數(shù)_/U)=xlnx—ox的定義域為(0,+°°).

當(dāng)a=-1時,/(x)=xlnx+x>/(x)=lnx+2.

由了(元)=0,得尤=￡.

當(dāng)犬《0,時，/(x)<0；當(dāng)x>9時，/(x)>0.

所以./U)在(0,3上單調(diào)遞減，在e，+8)上單調(diào)遞增.

因此7U)在X=F處取得最小值，即/U)min=X§=—2，但/(X)在(0,+8)上無最大值.

12.x2

⑵證明當(dāng)x>0時，Inx+l>yi■一芯等價于x(lnx+l)>/]■一￡.

由(1)知。=—1時，?r)=xln尤+x的最小值是一*,當(dāng)且僅當(dāng)無=2時取等號.

x2

設(shè)G(x)='^q'一二，xW(0,+°°),

]—X1

f

則G(x)=-v-J，易知G(x)max=G(1)=—T2，

12

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取到，從而可知對一切尤e(0,+8),都有y(x)>Ga),即Inx+l〉/7一芭.

規(guī)律方法1.在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，則可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)

的最值問題.

2.在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處_/(X)min>g(X)max恒成立.從而7(X)>g(X),但此處/(X)與g(X)

取到最值的條件不是同一個“X的值”.

考點三不等式恒成立或有解問題

角度1不等式恒成立求參數(shù)

【例3—1】已知函數(shù)危)=郎。#0).

⑴判斷函數(shù)_Ax)在區(qū)間(。，9上的單調(diào)性；

(2)若危)<a在區(qū)間(0,舒上恒成立，求實數(shù)a的最小值.

Kxcos%—sinx

解(1)/?=----?-----，

令g(x)=xco$x—sinx，貝ljg'(x)=-xsinJG

顯然，當(dāng)xG(O,卯寸，g，(x)=—xsinx<0,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,舒上單調(diào)遞減，且g(0)=0.

從而g(x)在區(qū)間(0,雪上恒小于零，

所以一(X)在區(qū)間(0,野上恒小于零，

所以函數(shù)/U)在區(qū)間(o,電上單調(diào)遞減.

(2)不等式火x)<a,xG(0,習(xí)恒成立，即sinx-ax<0恒成立.

令夕(x)=sin九一以，電，

貝U“(x)=cosx—a,且s(0)=0.

當(dāng)心1時，在區(qū)間(0,百上“。)<0,即函數(shù)9⑴單調(diào)遞減，

所以夕(X)<夕(0)=0,故sinx—ax<0恒成立.

當(dāng)0<a<l時，s'(x)=cosx—”=0在區(qū)間(0,?上存在唯一解刈，

當(dāng)xG(0,xo)時，"(x)>0,故p(x)在區(qū)間(0,尤o)上單調(diào)遞增，且夕(0)=0,

從而夕(x)在區(qū)間(0,xo)上大于零，這與sinx一以<0恒成立相矛盾.

當(dāng)aWO時，在區(qū)間(0,1上s'(x)〉O，即函數(shù)夕(x)單調(diào)遞增，且研0)=0,得sinx—ar>0恒成

立，這與sinx—ax<0恒成立相矛盾.

故實數(shù)。的最小值為1.

規(guī)律方法1.破解此類題需''一形一分類"，“一形”是指會結(jié)合函數(shù)的圖象，對函數(shù)進(jìn)行求

導(dǎo)，然后判斷其極值，從而得到含有參數(shù)的方程組，解方程組，即可求出參數(shù)的值；“一分類”

是指對不等式恒成立問題，常需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出參數(shù)的取值范圍.

2.利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的不等式問題，若能夠分離參數(shù)，則常將問題轉(zhuǎn)化為形如。宓外(或

a))的形式，通過求函數(shù))，=/U)的最值求得參數(shù)范圍.

角度2不等式能成立求參數(shù)的取值范圍

【例3—2】已知函數(shù)於)=/—(2a+l)x+alnR).

⑴若_/U)在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)函數(shù)g(x)=(l—a)x,若三次G"，e］使得應(yīng)必)2g(xo)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

(—1)(x—a)

解(l)/(x)=———1---------,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)/(九)的零點x=a落在區(qū)間(1,2)內(nèi)時，函數(shù)7U)在

區(qū)間［1,2］上就不是單調(diào)函數(shù)，即。0(1,2),

所以實數(shù)a的取值范圍是(一8,1］U［2,4-00).

(2)由題意知，不等式./U)與g(x)在區(qū)間［1,e］上有解,

即?-2x+?(lnx—x)20在區(qū)間［1,e］上有解.

因為當(dāng)無G［l,e］時，InxWlWx(不同時取等號)，x-\nx>0,所以“W二^在區(qū)間［1,e］上有

解.

x2-2x(龍―1)(尤+2—21nx)

令/?(%)=則廳(x尸

x-Inx(x-Inx)2

因為xWU，e］,所以x+2>2221nx,

所以"(x)與0,〃(x)在［1,e］上單調(diào)遞增,

e(e—2)

所以xW［Le］時,/?(x)max=/?(e)=,~，

e(e-2)

所以aW

e—1

e(e—2)

所以實數(shù)a的取值范圍是一8,

e-1

規(guī)律方法1.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法

a刃⑴在x￡￡)上能成立，則a//(x)min;

aW?r)在xe。上能成立，則aW?r)max.

2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題

(1)存在X|WA,任意―3使y(Xl)2g(X2)成立,則?r)max2g(x)max；⑵任意XlSA,存在

使兀Xl)2g(X2)成立，貝可火X)min》g(X)min.

［方法技巧］

1.證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題.

2.恒(能)成立問題的轉(zhuǎn)化策略.若7U)在區(qū)間。上有最值，則

⑴恒成立：VxC。，火X)>0=/(X)min>0；

YxGD,X%)<0<=>/(x)max<0.

(2)能成立：Bx^D,?r)>0=y(x)max>0;

Bx&D,犬X)<0鈣*X)min<0.

3.證明不等式，特別是含兩個變量的不等式時，要注意合理的構(gòu)造函數(shù).

4.恒成立與能成立問題，栗注意理解“任意”與“存在”的不同含義，要注意區(qū)分轉(zhuǎn)化成的最

值問題的異同.

【真題演練】

1.(2021.全國高考真題(理))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=4(x)的極值點.

(1)求4;

,、X+fix),、

(2)設(shè)函數(shù)g(x)~aJ.證明:g(x)<L

xf(x)

【詳解】

1Y

(1)由〃x)=ln(Q-x)=>/(%)=----,y=9(x)n歹=ln(a-x)H------,

x-ax-a

又x=0是函數(shù)y=4(x)的極值點，所以y'(0)=lna=0,解得〃=1；

/、/、x4-f(x)x+ln(l-x)

(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),g(x)=———=——--7-,xvl且xwO，

7、7V(x)xln(l-x)

/、x+ln(l-x)/、

當(dāng)X￡(O,1)時，耍證g(x)=——---^<1,vx>0,ln(zl-x)<0,/.xln(l-x)<0,即證

xln(1—x\

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得了+(1_工)111(1_#〉0；

/、x+ln(l-x)/、

同理，當(dāng)不￡(一8,0)時，要證g(%)=——7；----<1，vx<0,ln(l-x)>0,/.xlnz(l-x)<0,即證

7xln(l-x)

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l-％)皿1--)>0；

令力(x)=x+(l—x)ln(l—x),再令.=1一%,則，￡(0,12(1,+°0)，x=\-t,

令g")=1一+"nz,g'。)=-l+lnr+l=lnr,

當(dāng)f?O,l)時,g")vO,g(x)單減，假設(shè)g⑴能取到，則g⑴=0,故g?)>g(l)=O；

當(dāng)1W(L+OO)時,g'(x)>(),g(x)單增，假設(shè)g(l)能取到，則g(l)=o,故g?)>g⑴=0：

x+ln(l—x)

綜上所述,g(x)V1在X￡(—8,0)U(O/)恒成立

xln(l—x)

2.(2021?全國高考真題)已知函數(shù)/(九)=(x-l)e'-or?+。.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：/(x)有一個零點

1

①一<QW—,b>2a；

22

?0<a<—,Z?<2a.

2

【詳解】

⑴由函數(shù)的解析式可得：f\x)=x(ex-2a),

當(dāng)“40時，若XC(TQ,0),則/'(%)<0J(x)單調(diào)遞減,

若xe(0,4OO),則廣(X)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<g時，若xe(ro』n(2a)),貝ij/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

若x?ln(2a),0),則尸(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

若x€(0,同,則r(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng).=(時，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，若xe(-oo,0),則尸(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

若xe(0,ln(2a)),則尸(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

若xe(in(2a),+oo),則尸(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

(2)若選擇條件①：

由于萬，故1<2々4/,則人〉勿>1,/(0)=〃一1>0,

而/(-/?)=-ah2-/?<0,

而函數(shù)在區(qū)間(3,0)匕單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(一8,。)上有?個零點.

/(ln(2a))=2Q[ln(2a)-l]-q[ln(2a)丁+b

>2Q[ln(2Q)-l]-Q[ln(2Q)丁+2。

=2aln(2a)-a[ln(2Q)丁

=aIn(2a)|^2—In(2a)J,

[2

由于，<q,幺，I<2a4e2,故aln(2a)[2—ln(2a)]N0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上沒有零點.

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

若選擇條件②：

由于故2a<1,則/（O）=b-lW2a—1<0,

當(dāng)b20時，e2>4,4?<2,f（2）=e2-4a+b>0,

而函數(shù)在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上有一個零點.

當(dāng)6<0時，構(gòu)造函數(shù)”（x）=e*—x—1,則=

當(dāng)x?T?,0）時,H'（x）<0,H（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)xe（0,-K?）時，H'（x）>Q,H（x）單調(diào)遞增，

注意到“（0）=0，故〃（x）?0恒成立，從而有：e'Nx+1，此時：

/（x）=（x-l）ev-or2-/?>（x-l）（x+l）-ar2+b=（l-?）x2+（Z?-1）,

當(dāng)x>JF時,（1一a*+僅一l）>0,

取/=*+l,則/(%)>0,

V\-a

即：/(0)<0,/叵+]>。,

\'\—a7

而函數(shù)在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上有一個零點.

/（ln（2a））=2a[ln（2a）-l]-〃[ln（2a）丁+Z?

<2a[ln（2a）-l]-a[ln（2Q）丁+2Q

=2Qln（2a）-a[ln（2Q）丁

=〃ln（2a）[2-ln（2a）],

由于0<2a<1,故aln(2a)[2-ln(2a)]<0,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(TO,0)上沒有零點.

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

【過關(guān)檢測】

X—1

1.(2021?全國高三專題練習(xí)(理))當(dāng)xeR時，不等式——《辦-1恒成立，則實數(shù)"的取值范圍為()

ev

A.a=&B.a=2C.a>2D.

【答案】B

【詳解】

X—1

令/(x)=--,時/(x)>o,...aWO不合條件.

e

令〃(x)=+l,故//(x)WO恒成立，又

eA

.?"(X)要在x=0處取最大值，故x=0為〃(X)在R匕的極大值點，

故1(0)=0,又〃(x)=2xae'故2_()_ae°=0

ex

，a=2,故選：B.

2.(2021?全國高三月考(理))若關(guān)于X的不等式2*2>%2+2(1_?？?42在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍為()

A.[-2e,2e]B.[疝.疝]C.[-e,e]D.[-0e,缶]

【答案】D

【詳解】

依題意，ex+2-x-^x-a)2>0,設(shè)g(x)=ek2-x—g(x—a)2,g'(x^ex+2-l-x+a,易知g'(x)在

(0,+8)上單調(diào)遞增，g'(Q)=e2+a-l.

①當(dāng)aNl-e?時，g'(0)>0,g'(x)>0，所以g(x)單調(diào)遞增，則g(0)=e2-1?220，即—Wa<叵e-

②當(dāng)avi—e?時，g'(0)<0,可知存在%>0，%?0,〈)使得>@)<0,g(x)單調(diào)遞減,

g(0)=e2-g/<e2_g(]_e2y<0,所以存在xe(0,%J,g(x)<0,故不成立.

綜上所述，

故選：D

3.（2021?河南鶴壁市?高二月考（理））已知關(guān)于x的不等式1____1—>/也在（0,+“）上恒成立，則實

數(shù)2的取值范圍為（

D.(0,e)

【答案】A

【詳解】

關(guān)于x的不等式（e"+l）〃>愿在（o,y）上恒成立,

則+l)Ax>(x+l)/ra:=(*r+l)/nx,

設(shè)/(x)=(e"+l)x,x>。，

,?"'(x)=，(x+l)+l>。,

，/(九)在(O,+。)上遞增,

Ax>Inx.

>----

x

設(shè)g(x)=—,x>0'

,(、1-lnx

，g(x)=-7-

令g'(x)=0,解得x=e,

當(dāng)0<x<e時，g'(x)>0,函數(shù)g(尤)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時，g'(x)<0,函數(shù)g(元)單調(diào)遞減，

g(x)max=g(e)=!

故選：A

4.(2020.重慶西南大學(xué)附中高三月考)已知函數(shù)/(%)=111工一公，若不等式/0+1)>》-花在%?0,+20)

上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-00,1]B.[1,+8)C.(f,0]D.[0,1]

【答案】B

【詳解】

f[ex^=x-aex,

所以/(x+1)>ar-2ex在((),+8)上恒成立，

等價于/(x+l)>/S)在(0,+力)上恒成立，

x

因為xe(0,+oo)時，\<x+\<e

所以只需/(x)在(1，討)上遞減，

即尤>1,r(%)1o恒成立,

即x>l時，一一aWO恒成立，即—恒成立，

XX

只需aN

Ux

所以“21,

故選：B

32

5.(2020?黑龍江哈爾濱市?哈師大附中高三期末(文))已知關(guān)于x的不等式/+12竺二士￡在(0,+?)

上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-00,e]B.1一°°，e—gC.D.(-oo,e-2]

【答案】B

【詳解】

依題意，XG(O,-H?),故”二。_L令g(x)=，急，fe?<[^(x)]in.n，

%3+xxx2+1

e"(l)l—levx+1

而g'(x)=("T)+

冗2272

x+lV尤2+1

令g^x)=0,故X=1,故當(dāng)xe(0,l)時，g?x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時，g")>0,故a<g(l)=e—g,

即實數(shù)a的取值范圍為-8,e-g

故選：B.

6.(2020?全國高三月考(文))設(shè)函數(shù)=若不等式/(如―叫J(xlnx+lnx)

對任意的xe[l,3)都成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—,2]B.[0,2]C.[0,1]D.(-oo,l)

【答案】A

【詳解】

解：由函數(shù)“X)解析式知，/(x)在R匕單調(diào)遞增，若不等式/(/nx—〃2),J(xlnx+lnx)對?任意的

xe[l,3)都成立，等價于mx-〃小工111%+111%對任意的工€[1,3)恒成立，令g(x)=(x+l)lnx-，nx+/〃,

11Y—\

g，(x)=lnx+—+1-加，令"(x)=lnx+—+1,〃")=—―..0(XG[1,3)),所以/z(x)在x?l,3)單

XXX

調(diào)遞增,因為力(力..〃(1)=2,故當(dāng)/%,2時，g'(x)..O,g(x)單調(diào)遞增；因為g(l)=0,所以g(x)..O,

滿足題意；當(dāng)相>2時，取〃z=3,x=2,

Q

g(x)=(x+l)lnx-/7ix+/7?=31n2-6+3=31n2-3=ln—<0,不滿足；綜上：實數(shù)m的取值范圍為

(-oo,2],

故選：A

7.(2021?全國高三專題練習(xí)(文))已知不等式(f-2x)e*N2x+ae*對xeR恒成立，則實數(shù)。的最

大值為()

e,ei212

A.B.-1C.-1D.1

22ee

【答案】C

【詳解】

不等式(X2-2x)e*>2x+aex對xeR恒成立

2r

可化為a?x2-2x--_對尤eR恒成立，

e

r/\2c2x2(x—+

i&f(x)=x-2xr,則=J----11----L.

eex

所以當(dāng)X<1時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X>1時，函數(shù)"力單調(diào)遞增，

2

所以函數(shù)“X)的最小值是/⑴=一1——，

22

所以。<一1—，即。的最大值是一1—.

ee

8.(2020?黑龍江哈爾濱市?哈九中高二月考(理))函數(shù)/(x)=e、，g(x)=f+a,對任意的王,々耳1,2卜

都有/(%)>g(%)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.B.(742-1)C.D.(-oo,e-l)

【答案】C

【詳解】

因為對任意的玉,ZG[1,2],

都有/(藥)>g(七)恒成立，

又因為/(x)和g(尤)在[1，2]上為增函數(shù)，

所以“X