同濟(jì)大學(xué)微積分第三版第一章第五節(jié)專(zhuān)題省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)主要極限第1頁(yè)本節(jié)建立極限存在兩個(gè)基本準(zhǔn)則,及由準(zhǔn)則導(dǎo)出兩本節(jié)關(guān)鍵點(diǎn)一、夾逼準(zhǔn)則個(gè)主要極限.二、單調(diào)有界準(zhǔn)則第2頁(yè)一、夾逼準(zhǔn)則⑵則準(zhǔn)則1假如⑴當(dāng)（或）時(shí),有第3頁(yè)該準(zhǔn)則數(shù)列形式為準(zhǔn)則假如數(shù)列則數(shù)列極限存在,且⑴⑵滿(mǎn)足以下條件:第4頁(yè)證僅對(duì)時(shí)函數(shù)極限證實(shí)夾逼準(zhǔn)則.因故時(shí),有即又因?qū)Υ藭r(shí),有即取當(dāng)時(shí)有第5頁(yè)

注:在數(shù)列情況下,要求從第一項(xiàng)開(kāi)始不等式成立.而實(shí)際情況是:數(shù)列極限存在是否與前項(xiàng)取值無(wú)即故關(guān),故條件可放寬為自某一項(xiàng)以后,不等式成馬上可.第6頁(yè)主要極限1:如圖所表示,在單位圓中,記圓心角證首先注意到函數(shù),對(duì)一切都有定義,并AODCBx點(diǎn)處切線與延長(zhǎng)線交于且函數(shù)為偶函數(shù),故僅需證實(shí)對(duì)

時(shí)極限成馬上可.則第7頁(yè)即從而變形為因面積<扇形面積面積,不等式兩邊都除以,得第8頁(yè)因由準(zhǔn)則1,得注:因當(dāng)時(shí),有不等式即:

第9頁(yè)即

當(dāng)

時(shí),由準(zhǔn)則1,得第10頁(yè)例1求解第11頁(yè)例2求解第12頁(yè)注本例說(shuō)明極限這是一個(gè)主要極限.第13頁(yè)例3求解令則由復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則,得則,當(dāng)時(shí),第14頁(yè)例4證實(shí)所以即證當(dāng)時(shí),令于是第15頁(yè)兩邊取極限,由夾逼定理得:即有

因?qū)θ我?/p>

,總有由此得第16頁(yè)由此極限,得到第17頁(yè)二、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則2單調(diào)有界數(shù)列必有極限.更詳細(xì)地說(shuō):若數(shù)列單調(diào)遞增且有上界,則存在而且若數(shù)列單調(diào)遞減且有下界

則存在而且小于;大于

第18頁(yè)應(yīng)用此準(zhǔn)則,我們來(lái)討論另一個(gè)主要極限設(shè),今證數(shù)列單調(diào)增加且有界.第19頁(yè)類(lèi)似地有第20頁(yè)比較展開(kāi)式,能夠看到除前兩項(xiàng)外,每一項(xiàng)都小于對(duì)應(yīng)項(xiàng),且還多了最終一項(xiàng),其值大于零,所以第21頁(yè)由此說(shuō)明數(shù)列是單調(diào)遞增.又因此說(shuō)明數(shù)列是有界,由極限存在準(zhǔn)則2,知數(shù)列第22頁(yè)極限存在,下面證實(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)限均存在,且都等于

,即有極以數(shù)

表示,即第23頁(yè)因?yàn)閷?shí)際上,若記則第24頁(yè)由夾逼準(zhǔn)則,得由此得到:若令則第25頁(yè)例5求解深入有第26頁(yè)例6求解深入有第27