線性代數(shù)-矩陣的初等變換與線性方程組-習(xí)題課省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

線性代數(shù)矩陣初等變換與線性方程組習(xí)題課第1頁(1)

對調(diào)兩行(對調(diào)i與j兩行記為)(2)

以數(shù)乘第i行全部元素(記為)(3)把某一行全部元素k倍分別加到另一行對應(yīng)元素上去(第j行k倍加到第i行上去,記).一、矩陣初等變換

2、矩陣A與B等價3、矩陣化簡:可化為行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形。

1.任一矩陣都可經(jīng)過初等行變換化成行階梯矩陣；

2.

任一矩陣都可經(jīng)過初等行變換化成行最簡矩陣；

3.任一矩陣都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)型．注:4.A標(biāo)準(zhǔn)型中r由A確定.1、定義（一）內(nèi)容概要第2頁2.矩陣秩性質(zhì)(4)行階梯形矩陣秩等于該矩陣非零行行數(shù)．設(shè)A:

型矩陣,則:(5)即矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變．二、矩陣秩及其求法1、定義：

A秩就是A中最高階非零子式階數(shù).記作R(A)=r.第3頁3.用矩陣初等變換求矩陣秩普通方法：1）將A用初等變換化為行階梯形矩陣；2）R(A)等于A行階梯形矩陣非零行數(shù)。n

階方階A秩R(A

)=n方陣A可逆.

幾個等價命題：第4頁三、初等矩陣1、定義：由單位矩陣經(jīng)一次初等變換而得到矩陣稱為初等矩陣.分為三類,分別記為Eij、Ei（k）、Eij（k）.2、初等矩陣性質(zhì)：

1）初等矩陣都是可逆矩陣,而且其逆矩陣還是初等矩陣;2）對A施行一次初等行變換結(jié)果等于用一個對應(yīng)初等陣左乘矩陣A;對A施行一次初等列變換結(jié)果等于用一個對應(yīng)初等陣右乘矩陣A.【推論1】設(shè)A是可逆矩陣,則：【推論2】兩個型矩陣A、B等價充要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使PAQ=B.而且：R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)3、主要結(jié)論：A=P1P2…Pk.【定理1】矩陣A可逆存在有限個初等陣P1,P2,…,Pk，使:第5頁四、初等變換應(yīng)用1、用初等變換求逆矩陣方法:1)結(jié)構(gòu)矩陣:(AE);2)做初等行變換注:也可用初等列變換求可逆矩陣逆矩陣:2.用初等變換解矩陣方程:AX=B(其中A可逆)普通方法:第6頁五、線性方程組解有解無解R(A)=n有唯一解R(A)<n有沒有窮多解解非齊次線性方程組Ax=b普通步驟為：

(2)對增廣矩陣B施行初等行變換化為行最簡矩陣；(3)由行最簡矩陣寫出同解方程組，取定自由未知量寫出方程組通解；

(1)對增廣矩陣B施行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，觀察R(A)=R(B)

，若R(A)=R(B)，轉(zhuǎn)向2）步；若R(A)≠R(B)，則方程組無解，解題完成；AX=0有非零解

r(A)<n；第7頁設(shè)矩陣方程為：，其中為A伴隨矩陣，且

求矩陣X.

即：

而解：因?yàn)槔贸醯茸儞Q易得：例1（二）例題分析第8頁例2

已知矩陣秩為2,求t值.解：

r(A)=23t=0,即t=3第9頁例3

設(shè)線性方程組系數(shù)矩陣為A,三階矩陣B≠O,且AB=O,試求a值.【解】由AB=O,B≠O得:方程組Ax=0有非零解,R(A)<3第10頁例4解第11頁例5設(shè)A是n階矩陣,且A2=E,證實(shí)R(A+E)+R(A-E)=n所以R(A+E)+R(A-E)=n證實(shí)：由A2=E得：練習(xí)：設(shè)A為n階方陣,E為n階單位陣.滿足A2+5A-4E=0證實(shí):(A-3E)可逆;并求(A-3E)-1第12頁習(xí)題選講解(1)：解(2)：第13頁證：第14頁解：第15頁P(yáng)80-21證：第16頁例題

設(shè)A為mn階矩陣，證實(shí):證：第17頁三、自測題(一)填空題48第18頁(二)選擇題3.若一個n階方陣A行列式值不為零，則對A進(jìn)行若干次矩陣初等變換后，其行列式值[](A)保持不變;(B)能夠變成任何值;(C)保持不為零;(D)保持相同正負(fù)號第19頁5.設(shè)A,B都是n階非零矩陣,且AB=0,則A和B秩是()(A)必有一個等于0(B)都小于n(C)一個小于是n,一個等于n(D)都等于n第20頁7.當(dāng)A等于()時,第21頁8.設(shè)A為n階可逆矩陣,以下()恒正確.第22頁(三)計算題第23頁且矩陣X滿足AXA+BXB=AXB+BXA+E求X.(四)證實(shí)題1.設(shè)A為n階方陣,E為n階單位陣.滿足A2+5A-4E=0證實(shí):(A