離散數(shù)學(xué)的謂詞邏輯詳解省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

謂詞邏輯第1頁2023/9/161命題邏輯不足

蘇格拉底三段論：

P：全部人都是要死。

Q：蘇格拉底是人。

R：所以蘇格拉底要死。

憑直覺知道這個結(jié)論是真，推理是有效。不過，借助命題演算推理理論，卻不能推導(dǎo)出這個結(jié)論（無法證實它正確性）。Why?第2頁2023/9/162

此三段論論斷顯然正確。不過，在命題邏輯中無法得到正確性反應(yīng):P∧QR不是重言式！命題邏輯不能正確反應(yīng)此三段論推理過程。這是命題邏輯不足!第3頁2023/9/163原因在命題邏輯中無法將簡單命題之間內(nèi)在聯(lián)絡(luò)反應(yīng)出來。命題邏輯中描述上述三段論，即P∧Q→R，使R與命題P、Q無關(guān)獨立命題。不過，實際上R與命題P、Q是相關(guān)系，只是這種關(guān)系在命題邏輯中得不到反應(yīng)。要反應(yīng)這種內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，需對簡單命題作深入分解，分解出其中成份，包含：個體詞，謂詞，量詞，函詞等，研究它們形式結(jié)構(gòu)及邏輯關(guān)系，總結(jié)出正確推理形式和規(guī)則，這就是一階邏輯所研究內(nèi)容.一階邏輯也稱謂詞邏輯。謂詞邏輯是一個表示能力更強邏輯。第4頁2023/9/164謂詞邏輯我們將介紹謂詞邏輯基本概念和符號。關(guān)于命題、命題真值、命題詞、命題常量和命題變元以及邏輯五個聯(lián)結(jié)詞其含意和在命題邏輯中基本相同，本章中只介紹謂詞邏輯中新出現(xiàn)基本概念和符號，其中主要是個體詞，謂詞，量詞以及函詞。第5頁2023/9/1651.謂詞與個體詞

將簡單命題分解成個體與謂詞這么兩個組成部分。謂詞，通常是用來描述個體性質(zhì)或特征，或者個體之間關(guān)系。謂詞邏輯，是命題邏輯擴充與發(fā)展。例1：下面兩個命題

1.張華是學(xué)生

2.李明是學(xué)生

a:張華b:李明

H：是學(xué)生，則H（x）:x是學(xué)生

1，2可分別表示成H(a)

，H(b).

這么表示就揭示了兩命題間有相同謂語這一特征。

第6頁2023/9/166例2：張華比李明高令a:張華b:李明L(x，y):x高于y該命題可表示為：L(a，b)例1和例2中H、L稱為謂詞，其中H是一元謂詞，表示個體性質(zhì)（是什么），

L是二元謂詞，表示個體之間關(guān)系。注：（1）慣用大寫拉丁字母表示謂詞.

（2）謂詞是用來刻劃個體性質(zhì)或者個體之間關(guān)系。第7頁2023/9/167命題函數(shù)與命題例:令P(x)表示x為質(zhì)數(shù)，則P(x)為一元謂詞。令H(x，y)表示“x高于y”,則H(x，y)為二元謂詞。

則：H(張三，李四)表示“張三高于李四”，是命題。注意：

P(x.y),H(x，y)為命題函數(shù).P(2)與H(張三，李四)才是命題。謂詞中假如有n個變元則稱為n元謂詞.n元謂詞反應(yīng)了個體之間n元關(guān)系.

第8頁2023/9/1682.個體詞個體是能夠獨立存在實體，它能夠是一個詳細(xì)事物---個體常元，慣用小寫拉丁字母a，b，c等表示。也能夠是一個抽象概念（即沒指定哪一個個體）

----個體變元，慣用小寫拉丁字母：x，y，z等表示．第9頁2023/9/169函詞例：張華哥哥比李明高

a:張華b:李明L(x，y):x高于yf(x):x哥哥則上述符號化為：L(f(a)，b)

f稱為函詞定義：一個n元函詞即是一個論域Ｄ上一個n元函數(shù)．

第10頁2023/9/1610

變元在謂詞中次序直接影響了謂詞取值。如:設(shè)謂詞P(x，y)為“x比y高”，設(shè)張三為170cm，李四為180cm.則:P(李四，張三)為真命題。

P(張三，李四)為假命題.概念討論第11頁2023/9/1611命題符號化例1:武漢位于重慶與上海之間.

解:用個體詞a，b，c分別表示武漢，重慶和上海，

謂詞P(x，y，z)表示x位于y與z之間，

則該命題表示為:P(a，b，c).例2：假如王英坐在李紅后面，則王英比李紅高.解：令a:王英;b:李紅;P(x，y):x坐在y后面;G(x，y):x比y高.則該命題表示為：P(a，b)G(a，b).第12頁2023/9/16123.量詞

使用前面介紹概念，還不足以表示日常生活中各種命題。

比如：“全部正整數(shù)都是素數(shù)”

“有些正整數(shù)是素數(shù)”

兩種量詞:全稱量詞和存在量詞.第13頁2023/9/1613全稱量詞:

1.全稱量詞：

（任意，全部）

x:“對一切x”，“對全部x”，“對任一x”

如：xP(x)“對一切x，P(x)是真”

┐

xP(x)“并非對一切x，P(x)是真”

x┐P(x)“對一切x，┐

P(x)是真”

如:“全部些人都是要死”設(shè)x個體域為全體人集合，則可表示為

xD(x)

第14頁2023/9/1614存在量詞:

2.存在量詞：

（存在）

x:“存在x“、”一些x“、”最少有一x”如：xP(x)“存在x，P(x)是真”

┐

x

P(x)“存在x，P(x)是真，并非這么”

x┐P(x)“存在x，┐

P(x)是真”

如:“有些有理數(shù)是整數(shù)。”

令Ｉ(x）：x是整數(shù)，設(shè)x個體域為有理數(shù)集合，則命題可表示為：

xI(x）

第15頁2023/9/16154.論域

含有量詞命題表示式形式，與論域相關(guān)。用量詞量化后命題，其值也與論域相關(guān)。 例1

x（x=0)

若論域為整數(shù)集，則此命題值為真，

若論域為正整數(shù)集，則命題值為假。

為了方便，引入全總個體域，記為：U，簡稱全域:

定義:宇宙間全部個體聚集在一起所組成集合稱為全域。

第16頁2023/9/1616特征謂詞后面討論中，除特殊說明外，均使用全域。而對個體改變真正取值范圍，用特征謂詞加以限制。普通地，對全稱量詞，特征謂詞作蘊含前件引入；而對存在量詞，特征謂詞常作為合取項引入。第17頁2023/9/1617例

(1)“全部人都是要死?！?/p>

(2)“有人不怕死?！?/p>

1.當(dāng)x個體域為全體人組成集合時，符號化上述命題。解:

令D（x）：x是要死，令G（x）：x怕死。則（1）可表示為:xD(x)。

（2）可表示為:x┐G(x)。第18頁2023/9/1618論域為全域時2.當(dāng)取x個體域為全域時，必須引入一個特征謂詞將“人”從全域中分離出來。（1）對全部個體而言，假如它是人，則它是要死。（2）存在著個體，它是人而且它不怕死．于是令M（x）：x是人。（1）

x（M(x)→D(x))

（2）

x(M（x）∧┐G（x））

第19頁2023/9/1619命題符號化(翻譯)：將漢語(或其它自然語言)語句翻譯成邏輯表示式，這在數(shù)學(xué)、邏輯編程、人工智能、軟件工程以及許多其它學(xué)科中都是一項主要任務(wù)。翻譯目標(biāo)是生成簡單而有用邏輯表示式。第20頁命題符號化：例１：沒有不犯錯誤人令H（x）：x是人，M（x）：x犯錯誤例２：存在著偶質(zhì)數(shù)令E(x)：x是偶數(shù)，P(x)：x是質(zhì)數(shù)則有：x(E(x)∧P(x))第21頁2023/9/1621例３：每個自然數(shù)都有后繼數(shù)若令：N（x）：x是自然數(shù)，H（x，y）：y是x后繼數(shù)例４：對平面上任意兩點，有且僅有一條直線經(jīng)過這兩點。若令P（x）：x是一個點，L（x）：x是一條直線，T（x，y，z）：z經(jīng)過x，y，E（x，y）：x等于y第22頁2023/9/1622

例5

將以下命題符號化(使用全域)。

(1)

發(fā)光并非都是金子

令：P（x）：x發(fā)光；G（x）：x是金子。則該命題可表示為：

（2）全部運動員都?xì)J佩一些教練。

令：P（x）：x是運動員；T（x）：x是教練；Q（x，y）：x欽佩y。則該命題可表示為：第23頁2023/9/1623

（3）凡是實數(shù)均能比較大小。

若令R（x）：x是實數(shù)；G（x，y)：x與y可比較大小.則該命題可表示為：例6將蘇格拉底三段論進(jìn)行符號化：令：Ｍ(x)：x是人Ｄ(x):x要死則第24頁2023/9/1624

量化斷言與命題關(guān)系

(1)假如敘述域是有限，不妨設(shè)敘述域是{1，2，3}，則

xP(x)

P(1)∧P(2)∧P(3)

xP(x)

P(1)∨P(2)∨P(3)

(2)假如敘述域是可數(shù)無限，比如自然數(shù)集合，我們能夠這么了解：

(

x)P(x)

P(1)∧P(2)∧P(3)…(

x)P(x)

P(1)∨P(2)∨P(3)…

(3)假如敘述域不可數(shù)無限，則無法表示。

第25頁2023/9/1625練習(xí)任何金屬都能夠溶解在某種液體中.令J(x):x是金屬;E(x):x是液體;S(x，y):x能夠溶解在y中，第26頁2023/9/1626原子與公式

設(shè)P(x1，…xn)是n元謂詞，則稱其為為原子公式，或簡稱原子．謂詞公式，簡稱為公式，其遞歸定義為：（1）原子是合式公式；（2）若A是合式公式，則(﹁A)也是合式公式；（3）若A，B是合式公式，則(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A

B)也是合式公式；（4）若A是合式公式，x是A中變量符號，（5）只有有限次地使用（1）—（4）所生成符號串才是合式公式。第27頁2023/9/1627前面各命題符號化結(jié)果都是合式公式。對于一個謂詞，假如其中每一個變量都在一個量詞作用之下，則它就不再是命題函數(shù)而是一個命題了。不過，這種命題和命題邏輯中命題還是有區(qū)分。因為這種命題中畢竟還有變量，盡管這種變量和命題函數(shù)中變量有所不一樣。所以，有必要區(qū)分這些變量。第28頁2023/9/1628例1：令P（x，y）：“x<y”，

Q（x）：x是有理數(shù)；

F（x）：x能夠表示為分?jǐn)?shù)。判斷以下式子那些是命題函數(shù)，那些是命題？

P(x，y)P(x，y)∧Q(x)Q(x)→F(x)

x（Q(x)→F(x))

xQ(x)→F(x)

變元約束

第29頁2023/9/1629

自由變元與約束變元[定義]緊接于量詞之后最小子公式稱為量詞轄域．(量詞轄域是緊接其后公式，除非轄域是個原子公式，不然應(yīng)在公式兩側(cè)插入圓括號。)

在謂詞公式中，在量詞

x、

x轄域內(nèi)x一切出現(xiàn)叫約束出現(xiàn)，這么x，稱為約束變元。

[定義]

在謂詞公式中，若x出現(xiàn)不是約束出現(xiàn)，則稱變元x出現(xiàn)是自由出現(xiàn)。自由出現(xiàn)變元x，稱為自由變元。第30頁2023/9/1630

例3

指出以下各公式中量詞轄域及自由變元和約束變元。１．x

y((P(x)∧Q(y))→zR(z))

解:y((P(x)∧Q(y))→zR(z))

是

x

轄域。

(P(x)∧Q(y))→zR(z)

是

y

轄域.R(z）是

z轄域。x，y，z在公式中全部出現(xiàn)均是約束出現(xiàn)，故它們均是約束變元。第31頁2023/9/1631例４：

xP(x)∧Q(x)這個公式中變元x現(xiàn)有約束出現(xiàn)，又有自由出現(xiàn)。為了防止混同，能夠給約束變元更名。上式等價于：

(y)P(y)∧Q(x)例5：

x(P(x)

yR(x，y))

量詞

x轄域為:P(x)

yR(x，y)，同時，

y轄域為：R(x，y)，x與y出現(xiàn)，都是約束出現(xiàn)。第32頁2023/9/1632相關(guān)公式中變元更名兩條規(guī)則：1.約束變元更名規(guī)則：將謂詞公式中出現(xiàn)約束變元改為另一個約束變元。此更名必須在量詞轄域內(nèi)各處以及該量詞符號中進(jìn)行，且改成新約束變元要與更名區(qū)域中其它變元有區(qū)分。第33頁2023/9/16332.自由變元代替規(guī)則：對公式中某變元全部自由出現(xiàn)，用另一個與原公式中其它變元符號都不一樣變元符號來代替。例：所以，經(jīng)過使用更名規(guī)則和代替規(guī)則，可使謂詞邏輯中公式不出現(xiàn)某變量既是約束變量又是自由變量情況。第34頁2023/9/1634公式解釋

1)指定一個論域D2)對A中出現(xiàn)每一個n元函函詞，指定一個D上n元函數(shù).3)對A中出現(xiàn)每一個n元謂詞，指定一個D上n元謂詞.4)對A中出現(xiàn)每一個個體常量及自由變元，指定D中一

個個體常量.5)對A中出現(xiàn)每一個命題變元P，指派一個真值T或F

由此得到一個命題AI，稱AI真值為適當(dāng)公式A在解釋I下真值

在謂詞邏輯中，公式一個解釋I，是由論域、個體變元符號、函詞符號、謂詞符號按以下規(guī)則進(jìn)行一組指定所組成。第35頁2023/9/1635例：給定解釋I以下:(1)D={2，3}；(2)a

=2；(3)函數(shù)f(x)為f(2)=3，f(3)=2；(4)謂詞：F(x)為F(2)=F，F(xiàn)(3)=T;G(x，y)為G(i，j)=T，i，j=2，3;L(x，y)為L(2，2)=L(3，3)=T，L(2，3)=L(3，2)=F.在解釋I下，求以下各式真值.第36頁2023/9/1636謂詞公式分類：定義：設(shè)G是一個謂詞公式假如存在解釋I，使G在I下為真（I滿足G），則稱G是可滿足。假如全部解釋I均不滿足G，則稱G是永假，或不可滿足。假如G全部解釋I都滿足G，則稱G是永真。注：解釋I依賴于非空個體集合D(論域），而D能夠是無窮集合，D數(shù)目也可是無窮。所以，要考慮公式全部解釋是不可能。第37頁2023/9/1637謂詞邏輯判定問題不可解定理：謂詞邏輯判定問題是不可解。即不存在一個統(tǒng)一算法，對謂詞邏輯中任何謂詞公式G，算法能夠在有限步內(nèi)判定公式G類型。不過，謂詞邏輯是半可判定：即假如謂詞公式G是永真，那么，還是存在算法在有限步內(nèi)能檢驗出G永真性。(即假如一個公式確實是永真式，則有算法在有限步結(jié)束并輸出”是”，不然，可能輸出否，也可能永不終止.)第38頁2023/9/1638等值定義：設(shè)A、B是兩個公式。它們有共同個體域D，若對于A和B任意一組指派（即解釋），A和B都有相同值，則稱公式A和B在D等值，即若A

B是永真公式，則稱A與B是等值，記為A

B

為了研究謂詞邏輯中推理，我們必須掌握一些謂詞邏輯中基本等值式和蘊含式，作為推理規(guī)則進(jìn)行推理.

第39頁2023/9/1639基本等值公式1.命題公式推廣

因為命題邏輯中公式都可看作特殊謂詞公式，所以，基本等值式和基本蘊含式，對其中命題變元用謂詞公式代入，所得到公式都是謂詞邏輯中等值式和(蘊含式)。例1：由P

Q

﹁P∨Q可得)()()()(xxBxxAxxBxxA$ú?"?$?"第40頁2023/9/16402

xP

P

xP

P

這里P是不含自由變元x謂詞公式，因為P值與x無關(guān)，所以上述等值式成立。第41頁2023/9/1641３量詞否定等值式定理：設(shè)G(x)是含自由變元x謂詞公式，于是有：證實：設(shè)D是論域同理可證（2）.（1）若I滿足

(xG(x))G第42頁2023/9/1642４量詞作用域收縮與擴張等值式定理:

設(shè)G(x)是含自由變元x謂詞公式，H是不含變量x謂詞公式.第43頁2023/9/1643證實：設(shè)論域為Ｄ，I是G(x)和H一個解釋.第44頁2023/9/1644５量詞分配等值式定理:設(shè)G(x)，H(x)是含自由變元x謂詞公式，則有:

證實第45頁2023/9/1645證實（更名規(guī)則）（量詞轄域擴張）(析取詞交換律)（量詞轄域擴張）(析取詞交換律)第46頁2023/9/1646注意:兩個蘊含式

xP(x)∨

xQ(x)

x(P(x)∨Q(x))

x(P(x)∧Q(x))

xP(x)∧

xQ(x)第47頁2023/9/16476量詞對

及→處理

x(A(x)→B(x))

xA(x)→

xB(x)

證實：

x(A(x)→B(x))

x(┐A(x)∨B(x))

x┐A(x)∨

xB(x)

xA(x)→

xB(x)第48頁2023/9/1648嵌套量詞-多個量詞嵌套量詞:即一個量詞出現(xiàn)在另一個量詞作用域(瞎域)內(nèi)。如：

x

y(x+y=0)

注:量詞范圍內(nèi)一切都能夠認(rèn)為是一個命題函數(shù)。

若令Q(x):

y(x+y=0),則

x

y(x+y=0)可表示為:

xQ(x）。了解包括嵌套量詞語句:假定變量x和y論域是全部實數(shù)集合,以下所表示語句:

x

y(x+y=y+x)

x

y(x+y=0)

x

yz(x+(y+z)=(x+y)+z)第49頁將量化當(dāng)做循環(huán)將量化當(dāng)做循環(huán)(論域非無窮)如要判定:

x

yP(x,y)是否為真。先對x全部值做循環(huán)，而對x每個值再對y全部值循環(huán)。只要碰上一個x值，對這個x值又碰上一個y值使P（x,y)為假，就證實了

x

yP(x,y)為假。一樣，要判定

x

yP(x,y)是否為真，對x全部值進(jìn)行循環(huán)，對x每個值，對y值循環(huán)直到找到一個y使P(x,y)為真。

一樣，要判定

x

yP(x,y)是否為真，需要對x值循環(huán)，直到找到某個x,這個x對y全部值循環(huán)時P(x,y)部是為真。

x

yP(x,y)是否為真…第50頁7.關(guān)于多個量詞永真式(關(guān)于量詞次序)(

x)(

y)P(x，y)

(

y)(

x)P(x，y)(

x)(

y)P(x，y)

(

y)(

x)P(x，y)(

y)(

x)P(x，y)

(

x)(

y)P(x，y)例(

x)(

y)P(x，y)

(

y)(

x)P(x，y)說明:許多數(shù)學(xué)語句會包括對多變量命題函數(shù)多重量化。不過,量詞次序非常主要,除非全部量詞均為全稱量詞或均為存在量詞第51頁2023/9/1651比如：設(shè)論域為實數(shù)集R，P(x，y):x+y=0，則

(

x)(

y)P(x，y)為真，（含義為：對任何x，都存對應(yīng)y，使x+y=0)而顯然：（

y)(

x)P(x，y)為假。（因為不存在那樣x，對任何y，使x+y=0)所以(

x)(

y)P(x，y)

(

y)(

x)P(x，y)不成立。第52頁2023/9/1652定義設(shè)G、H是兩個謂詞公式。假如G

H是永真，則稱G蘊含H，或稱H是G邏輯結(jié)果，記為GH。顯然，GH

充分必要條件是：對任意解釋I，若I滿足G，則I必滿足H。

謂詞演算推理理論設(shè)G1，…，Gn，H是謂詞公式，n≥1.

假如則稱G1，…，Gn蘊含H，或稱H是G1，…，Gn邏輯結(jié)果，記為或者說從G1，…，Gn可推出H，這種定義和命題邏輯中一樣。第53頁2023/9/1653

因命題公式是謂詞公式特殊情形，由上述定義知，謂詞演算推理方法可看作是命題演算推理方法擴張。在推理過程中，命題演算中前提引入規(guī)則(即P規(guī)則)、結(jié)論引入規(guī)則(即T規(guī)則)、置換規(guī)則，基本蘊涵式和基本等值式，以及對其中每個蘊涵式和等值式中命題變元用謂詞公式代入所得蘊涵式，都可使用。但因為量詞引入，一些前題與結(jié)論可能受量詞限制。所以，還需給出一些謂詞演算中特有蘊涵式和推理規(guī)則。第54頁2023/9/1654謂詞演算中三個蘊涵式定理：設(shè)G(x)，H(x)是含自由變元x謂詞公式，于是，證實:

(1)(3)(

xG(x)→xH(x))x(G(x)→H(x))

則存在x0∈D，使得G(x0)∨H(x0)為假命題。此時，G(x0)與H(x0)均為假命題，從而，在解釋I下為假。矛盾！故第55頁2023/9/1655證實：因為

xG(x)→xH(x)(xG(x))∨xH(x)

x(G(x))∨xH(x)由(1)有:x

G(x)∨xH(x)

x(G(x)∨H(x))

x(G(x)→H(x))故(

xG(x)→xH(x))x(G(x)→H(x))(3)

xG(x)→xH(x)x(G(x)→H(x))(2)

x(G(x)∧H(x))xG(x)∧xH(x))第56頁2023/9/1656謂詞演算中推理規(guī)則(US.UG.EG.ES)全稱指定規(guī)則(US規(guī)則)這兩種形式可依據(jù)需要選取，兩式成立條件是：

1.y為任意不在A(x)中約束出現(xiàn)個體變元；

2.c為任意個體常元。

例:設(shè)論域D為實數(shù)集.謂詞F(x，y)表示x＞y，則其原因在于，y在A(x)中是約束出現(xiàn).第57頁2023/9/1657全稱推廣規(guī)則：UG成立條件：1)y在A(y)中是自由出現(xiàn)。2)x不能在A(y)中約束出現(xiàn)。例：在實數(shù)域中取F(x，y)為x>y.則A(y)是真命題原因是:條件2)不滿足。第58頁2023/9/1658存在推廣規(guī)則EG

使用此規(guī)則時注意:(1)c是個體域中某個確定個體。

(2)代替cx不能已在A(c)中出現(xiàn)。比如：設(shè)A(x，y):x<y，考查下面推理過程:(1)

A(x，c)

(2)

是錯誤！原因在于代替cx已在A(x)中出現(xiàn)．第59頁2023/9/1659存在指定規(guī)則(ES規(guī)則):成立條件：1)c是使A(c)為真常量符號3)A(x)中自由變元只有x.比如：設(shè)D為自然數(shù)集，F(xiàn)(x)表示“x是奇數(shù)”，G(x)表示“x是偶數(shù)”.注意：以上四條規(guī)則中A(x)都是公式第60頁2023/9/1660但，若不注意使用條件，則有：前提引入化簡，依據(jù)（1）ES規(guī)則，依據(jù)（2）化簡，依據(jù)（1）ES規(guī)則，依據(jù)（4）合取，依據(jù)（3），（5）EG規(guī)則，依據(jù)（6）于是得出：（×）違反了條件2）第61頁2023/9/1661例1證實：證實以下：前提引入US規(guī)則，依據(jù)（1）前提引入ES規(guī)則，依據(jù)（3）化簡，依據(jù)（4）化簡，依據(jù)（4）假言推理，依據(jù)（2），（6）合取，依據(jù)（5），（7）EG規(guī)則，依據(jù)（8）第62頁2023/9/1662本例也可作以下證實：前提引入ES規(guī)則，依據(jù)（1）化簡，依據(jù)（2）前提引入US規(guī)則，依據(jù)（4）假言推理，依據(jù)(3)，(5)化簡，依據(jù)（2）合取，依據(jù)（6），（7）EG規(guī)則，依據(jù)（8）第63頁2023/9/1663例2證實：

蘇格拉底三段論“凡人都是要死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死”。證實:結(jié)論:D(a)首先將命題符號化：設(shè)M(x):x是人.D(x):x是要死.a:蘇格拉底.前提:證實:Ｐ規(guī)則US規(guī)則，（1）Ｐ規(guī)則假言推理，（2），（3）第64頁2023/9/1664例3有些病人相信全部醫(yī)生，不過病人都不相信騙子。證實：醫(yī)生都不是騙子。證實：命題符號化：設(shè)論域為全域

P(x):x是病人；D(x):x是醫(yī)生；Q(x):x是騙子；R(x，y):x相信y。前提：

x(P(x)∧y(D(y)→R(x，y)))，

xy(P(x)∧Q(y)→R(x，y))結(jié)論：

x(D(x)→Q(x))證實：第65頁2023/9/1665x(P(x)∧y(D(y)→R(x，y)))前提引入P(c)∧y(D(y)→R(c，y))ES，(1)

xy(P(x)∧Q(y)→R(x，y))前提引入

y(P(c)∧Q(y)→R(c，y))US，(3)P(c)∧Q(z)→R(c，z)US，(4)(P(c)∧Q(z))∨R(c，z)蘊涵等值式，(5)

P(c)∨Q(z)∨R(c，z)DeMorgan律，(6)

P(c)∨(Q(z)→R(c，z))蘊涵等值式，(7)P(c)化簡，(2)Q(z)→R(c，z)析取三段論，(8)，(9)R(c，z)→Q(z)等值演算，(10)y(D(y)→R(c，y))化簡，(2)D(z)→R(c，z)US，(12)D(z)→Q(z)假言三段論，(11)，(13)

x(D(x)→Q(x))UG，(14)第66頁2023/9/1666例4：指出下面推理錯誤x(F(x)→G(x))前提引入F(y)→G(y)US，(1)xF(x)前提引入F(y)ES，(3)G(y)假言推理，(2)，(4)xG(x)UG，(5)×沒有滿足ES規(guī)則條件1即：

xA(x)A(c)c是使A(c)為真常量符號。F(c)ES，(3)G(c)假言推理，(2)，(4)xG(x)EG，(5)第67頁2023/9/1667例５．證實下述論證正確性人會說話，猴子不會說話，所以猴子不是人。解：設(shè)論域為全域。設(shè)M(x):x是人。

S(x):x會說話。B(x):x是猴子。則前提為：

x(M(x)→S(x))和

x(B(x)→┐S(x))結(jié)論為：

x(B(x)→┐M(x))證實:1

x(M(x)→S(x))P規(guī)則，前提

2M(x)→S(x)T，1，US3

x(B(x)→┐S(x))P規(guī)則，前提

4B(x)→┐S(x)