計(jì)算方法數(shù)值積分名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第5章

數(shù)值積分第1頁(yè)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式，來求定積分。

(5―1)求定積分復(fù)習(xí)第2頁(yè)

函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。定積分計(jì)算可能遭遇三種情況被積函數(shù)原函數(shù)不是初等函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有詳細(xì)解析表示式被積函數(shù)f(x)原函數(shù)F(x)不易找到第5章數(shù)值積分第3頁(yè)從幾何上看定積分定積分是曲邊梯形面積第4頁(yè)

圖5.1左矩形右矩形(5―2)(5―3)第5頁(yè)圖5.2梯形面積圖5.3拋物求積(5―4)(5―5)第6頁(yè)

第5章數(shù)值積分近似值§5.1§5.2§5.4牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式復(fù)合求積公式龍貝格(Romberg)積分方法第7頁(yè)5.1牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數(shù)值積分公式最基本思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度函數(shù)φ(x),用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有

現(xiàn)用第四章介紹插值多項(xiàng)式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即有

將積分區(qū)間[a,b]n等分，則節(jié)點(diǎn)是等距分布，節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn可表示成xk=x0+kh(k=0,1,…,n)，其中x0=a,xn=b,

稱為步長(zhǎng)。第8頁(yè)Newton-Cotes公式若Ln(x)為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式，則由公式于是令(5.5)公式(5.6)稱為等距節(jié)點(diǎn)內(nèi)插求積公式。則有(5.6)第9頁(yè)求Ak在等距節(jié)點(diǎn)前提下，做變換，由，可得而x-xj=(t-j)h(j=0,1,2,…,n)

，xk-xj=(k-j)h(j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。于是(5.5)式即為記則(5.9)稱為牛頓-柯特斯公式。其中Ck(n)

叫Cotes系數(shù)，Cotes系數(shù)與被積函數(shù)及積分區(qū)間無關(guān)。第10頁(yè)計(jì)算柯特斯系數(shù)n=1時(shí)，有兩個(gè)Cotes系數(shù)n=2時(shí)，有三個(gè)Cotes系數(shù)

類似可得，n=3時(shí)有四個(gè)Cotes系數(shù)n=4時(shí)，有五個(gè)Cotes系數(shù)第11頁(yè)幾個(gè)慣用牛頓-柯特斯公式n=1時(shí)，，此即(5.3)式，為梯形公式。

，其中，稱為Simpson公式。其中c,d,e為[a,b]四等分點(diǎn)，稱為Cotes公式。n=2時(shí)，n=4時(shí)，第12頁(yè)

表5―1柯特斯系數(shù)第13頁(yè)

柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i相關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足(5―15)柯特斯公式對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立。柯特斯系數(shù)特點(diǎn)第14頁(yè)例1試分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算積分解:利用梯形公式利用拋物線公式原積分準(zhǔn)確值第15頁(yè)5.1.2誤差預(yù)計(jì)現(xiàn)對(duì)牛頓―柯特斯求積公式所產(chǎn)生誤差作一個(gè)分析。牛頓―柯特斯求積公式余項(xiàng)為易知,牛頓―柯特斯求積公式對(duì)任何不高于n次多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立。這是因?yàn)?/p>

f(n+1)(ξ)≡0

故

Rn(f)≡0(5―10)第16頁(yè)代數(shù)精度

普通說來,若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高于m多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≡0),而對(duì)于某一次數(shù)為m+1多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≠0),則稱這一求積公式代數(shù)精度為m。

牛頓―柯特斯求積公式代數(shù)精度最少為n，若n為偶數(shù)，則最少含有n+1次代數(shù)精度。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等情況下,代數(shù)精度愈高,求積公式愈準(zhǔn)確。

梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分別含有1、3、5次代數(shù)精度。第17頁(yè)例5.1分別利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計(jì)算,n=1,2,3,4,5，并與用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。解

計(jì)算結(jié)果列于表5-2中。表5-2函數(shù)f(x)xx2x3x4x5梯形值0.50.50.50.50.5Simpson值0.50.3333330.250.2083330.1875Cotes值0.50.3333330.250.200.166667準(zhǔn)確值0.50.3333330.250.200.166667第18頁(yè)證由式知,梯形公式余項(xiàng)為(x-a)(x-b)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(ξ)是x函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故依據(jù)積分第二中值定理參見相關(guān)《數(shù)學(xué)分析》教材中“一元函數(shù)積分學(xué)第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使第19頁(yè)定理2(拋物線公式誤差)設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式誤差為定理1(梯形公式誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上含有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式誤差為

第20頁(yè)

假如在每個(gè)子區(qū)間上使用梯形公式，就得到復(fù)合梯形公式。將積分區(qū)間[a,b]N等分后節(jié)點(diǎn)記為xk，xk=a+kh(k=0,1,2,…,N)，在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,2,…，N-1)上應(yīng)用梯形公式，1.復(fù)合梯形公式5.2復(fù)合求積公式第21頁(yè)再求和得：1.復(fù)合梯形公式第22頁(yè)其中xk=a+kh(k=0,1,2,…,N)，1.復(fù)合梯形公式第23頁(yè)

復(fù)合梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn第24頁(yè)2.復(fù)合Simpson公式

假如在每個(gè)子區(qū)間上使用Simpson公式，就得到復(fù)合Simpson公式。將N等分后每個(gè)子區(qū)間再對(duì)分一次，于是共有2N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，(k=0,1,2,…,2N)，在每個(gè)N等分子區(qū)間[x2k

,x2k+2](k=0,1,2,…,N-1)上應(yīng)用Simpson公式，第25頁(yè)再求和得：2.復(fù)合Simpson公式第26頁(yè)其中

(k=0,1,2,…,2N)，2.復(fù)合Simpson公式第27頁(yè)

復(fù)合Simpson公式：44444=

Sn注：為方便編程，可采取另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時(shí)

，有第28頁(yè)其中

(k=0,1,2,…,4N)，3.復(fù)合Cotes公式第29頁(yè)4、復(fù)合Simpson公式算法(1)輸入a,b,N(2)(3)當(dāng)i=1,2,…,N時(shí)做循環(huán)①x=x+h②s=s+4f(x)③x=x+h④s=s+2f(x)(4)第30頁(yè)例5.2：利用數(shù)據(jù)表

xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.02.876402.460002.265492計(jì)算積分這個(gè)問題有顯著答案取n=8用復(fù)合梯形公式第31頁(yè)取n=4,用辛普森公式第32頁(yè)二、復(fù)合求積公式余項(xiàng)

梯形公式余項(xiàng)為對(duì)于復(fù)合梯形公式則有若在[a,b]上連續(xù)，則存在，使1、復(fù)合梯形公式余項(xiàng)第33頁(yè)所以由在[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上有界，于是存在常數(shù)M2，使，1、復(fù)合梯形公式余項(xiàng)故第34頁(yè)2、復(fù)合Simpson公式余項(xiàng)同理由在[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上有界，于是存在常數(shù)M4，使故第35頁(yè)3、復(fù)合Cotes公式余項(xiàng)由在[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上有界，于是存在常數(shù)M6，使同理故第36頁(yè)

當(dāng)時(shí)，，于是從這些余項(xiàng)公式能夠看出，當(dāng)初，復(fù)合求積公式TN

,SN

,CN都收斂于定積分值I，而且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。二、復(fù)合求積公式余項(xiàng)第37頁(yè)例5.3用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式、復(fù)合Cotes公式在取相同節(jié)點(diǎn)情況下，計(jì)算定積分近似值。設(shè)把區(qū)間8等分。

解：把區(qū)間[0,1]8等分，，共有9個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)表示為(k=0,1,2,…,8)。第38頁(yè)(1)用復(fù)合梯形公式計(jì)算，相當(dāng)于取第39頁(yè)(2)用復(fù)合Simpson公式計(jì)算，相當(dāng)于取N=4，把區(qū)間[0,1]N等分，然后在每個(gè)子區(qū)間上使用Simpson公式，第40頁(yè)(3)用復(fù)合Cotes公式計(jì)算，相當(dāng)于取N=2，把區(qū)間[0,1]N等分，然后在每個(gè)子區(qū)間上使用Cotes公式，準(zhǔn)確值為0.9460831……第41頁(yè)回顧：復(fù)合求積公式余項(xiàng)1.復(fù)合梯形公式余項(xiàng)2.復(fù)合辛普森公式余項(xiàng)3.復(fù)合柯特斯公式余項(xiàng)第42頁(yè)一、變步長(zhǎng)梯形公式1.當(dāng)把區(qū)間[a,b]等分時(shí)，步長(zhǎng)復(fù)合梯形公式為2.當(dāng)把區(qū)間[a,b]等分時(shí),步長(zhǎng)復(fù)合梯形公式為§5.3變步長(zhǎng)求積公式第43頁(yè)改寫上式得：復(fù)合梯形公式遞推公式第44頁(yè)二、變步長(zhǎng)梯形公式算法1.輸入a,b,精度eps;2.h=b-a3.做循環(huán)④①T1=T②S=0③對(duì)x=a+h/2(初值),b(終值)h(步長(zhǎng))做循環(huán)s=s+f(x)⑤h=h/24.則返回35.輸出T第45頁(yè)1.將[a,b]N等分后復(fù)合梯形公式余項(xiàng)，h=2.將[a,b]2N等分后復(fù)合梯形公式余項(xiàng)，h=設(shè)在[a,b]上改變不大，即有于是整理得第46頁(yè)同理，由復(fù)合辛普森公式余項(xiàng)可得同理，由復(fù)合柯特斯公式余項(xiàng)可得第47頁(yè)§5.4龍貝格求積公式

一、龍貝格求積公式

由變步長(zhǎng)求積公式能夠看出，利用前后兩次計(jì)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)線性組合，能夠結(jié)構(gòu)出精度更高計(jì)算公式，這就是龍貝格求積公式基本思想。

第48頁(yè)

一、龍貝格求積公式第49頁(yè)

一、龍貝格求積公式

對(duì)于復(fù)合Simpson公式，設(shè)將區(qū)間[a,b]分成等份，即步長(zhǎng)為，節(jié)點(diǎn)為

(k=0,1,2,…,2k)第50頁(yè)

一、龍貝格求積公式即：

同理，由復(fù)合Simpson公式前后兩次計(jì)算結(jié)果作線性組合能夠得到精度更高復(fù)合Cotes公式第51頁(yè)

一、龍貝格求積公式

由復(fù)合Cotes公式前后兩次計(jì)算結(jié)果作線性組合，必可得到精度更高公式龍貝格(Romberg)求積公式第52頁(yè)龍貝格求積過程：<

?……⑴

T1⑺

T8⑷

T4⑵

T2⑶

S1⑽

R1⑸

S2⑹

C1⑼

C2⑻

S4⑾

T16⑿

S8⒀

C4⒁

R2……第53頁(yè)龍貝格求積過程：T數(shù)表T0,0T1,0

T0,1T2,0

T1,1

T0,2T3,0

T2,1

T1,2

T0,3T4,0

T3,1

T2,2

T1,3T0,4……………<

?

引入記號(hào)Tk,i，其中i表示外推次數(shù)，k表示區(qū)間[a,b]對(duì)分次數(shù)，即把[a,b]分成2k等份。第54頁(yè)

假如f(x)充分光滑，那么T數(shù)表每一列元素及對(duì)角線元素均收斂到所求積分值，即（i固定）而且后者收斂速度比前者快龍貝格求積過程：T數(shù)表

所以，對(duì)于給定精度要求ε，當(dāng)時(shí)，取，停頓計(jì)算。第55頁(yè)復(fù)合梯形公式遞推公式龍貝格求積過程：T數(shù)表（k=1,2,…）第56頁(yè)外推公式龍貝格求積過程：T數(shù)表(k=0,1,…；i=1,2,…)第57頁(yè)例5.3用龍貝格積分方法求近似值，精度要求為。解：令,a=2,b=8。(1)在[2,8]上用梯形公式計(jì)算k=0h=b-a=6,(2)將區(qū)間二等分，此時(shí)k=1h=(b-a)/2=3計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值第58頁(yè)(3)將區(qū)間四等分k=2,h=(b-a)/4=3/2,計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值例5.3用龍貝格積分方法求近似值，精度要求為。第59頁(yè)(4)將區(qū)間八等分k=3,h=(b-a)/8=3/4,計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值例5.4用龍貝格積分方法求近似值，精度要求為。第60頁(yè)到達(dá)了