數(shù)學(xué)蘇教版必修4互動課堂學(xué)案2.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算第一課時(shí)

互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量e1,e2.這時(shí)，我們就在坐標(biāo)平面內(nèi)建立了一個(gè)單位基底{e1,e2}.在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，任作一向量a（用有向線段AB表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（a1,a2），使得a=a1e1+a2e2.(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐標(biāo)，即a=(a1,a2).a=的坐標(biāo)分別過向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，設(shè)垂足分別為A1、B1、A2、B2.坐標(biāo)分量a1為向量在x軸上的坐標(biāo)，坐標(biāo)分量a2為向量在y軸上的坐標(biāo).顯然0=（0，0），e1=(1,0),e2=(0,1).設(shè)向量a=(a1,a2),a的方向相對于x軸的轉(zhuǎn)角為θ,由三角函數(shù)的定義可知a1=|a|cosθ,a2=|a|sinθ.在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)A的位置被點(diǎn)A的位置向量所唯一確定，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x,y）,容易看出=xe1+ye2=(x,y)即點(diǎn)A的位置向量的坐標(biāo)（x,y），也就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反之點(diǎn)A的坐標(biāo)也是點(diǎn)A相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a+b=(a1+b1,a2+b2)，即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.（2）若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則ab=(a1b1,a2b2)，即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.（3）若A（x1,y1）,B(x2,y2)，則=（x2x1,y2y1），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).（4）若a=(a1,a2),λ∈R，則λa=(λa1,λa2)即向量數(shù)乘積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積.對以上運(yùn)算規(guī)則證明如下，①設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a+b=（a1e1+a2e2）+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2即a+b=(a1+b1,a2+b2)用同樣的方法可以證明：ab=(a1b1,a2b2)λa=λ(a1,a2)=(λa1,λa2)②已知：A（x1,y1）,B(x2,y2)則==(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1,y2y1).設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1,y1），B（x2,y2），則其中點(diǎn)M（x,y）的坐標(biāo)計(jì)算公式為x=,y=.推導(dǎo)如下：設(shè)點(diǎn)M（x,y）是線段AB的中點(diǎn)，則=（+）.上式換用向量的坐標(biāo)得（x,y）=［(x1,y1)+(x2,y2)］，即x=，y=.活學(xué)巧用【例1】已知作用在原點(diǎn)的三個(gè)力F1=（1，2），F(xiàn)2=（2，3），F(xiàn)3=（1，4），則它們的合力的坐標(biāo)為________________.解析：F=F2+F2+F3=(1,2)+(2,3)+(1,4)=(2,1).答案：(2,1)【例2】若{e1,e2}為單位基底，設(shè)a=(x2+x+1)e1(x2x+1)e2，（其中x∈R），則向量a位于（）A.第一、二象限B.第二、三象限解析：a=(x2+x+1,x2+x1)x2+x+1=x2+x++=(x+)2+≥＞0x2+x1=(x2x)1=(x2x+)=(x)2≤＜0,∴a位于第四象限.答案：D【例3】在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a,b,c的方向和長度如右圖所示，分別求它們的坐標(biāo).解析：設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2)，c=(c1,c2),則a1=|a|·cos45°=2×=,a2=|a|·sin45°=2×=，b1=|b|·cos120°=3×()=,b2=|b|·sin120°=3×=.c1=|c|·cos(30°)=4×=,c2=|c|·sin(30°)=4×()=2.∴a=(,),b=(,),c=(,2).【例4】設(shè)向量a,b的坐標(biāo)分別是（1，2），（3，5），求a+b,ab，3a,2a+3解析：a+b=(1,2)+(3,5)=(1+3,25)=(2,3).ab=(1,2)(3,5)=(13,2+5)=(4,7).3a2a+3b=(2+9,415)=(7,11).【例5】已知點(diǎn)A（1,2）,B(2,8)及=,=,求點(diǎn)C、D和的坐標(biāo).解析：設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2)由題意可得=（x1+1,y12）,=(3,6)，=(1x2,2y2),=(3,6).∵=,=.∴(x1+1,y12