高考數(shù)學一輪復習試題第2節(jié) 用樣本估計總體

第2節(jié)用樣本估計總體考試要求1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.1.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標準差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.()(2)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù).()(3)方差與標準差具有相同的單位.()(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故該說法錯誤.(3)方差是標準差的平方，故它們單位不一樣.2.下列一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是()2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5答案A解析把該組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù).3.(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為()A.0.01 B.0.1 C.1 D.10答案C解析10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.4.(多選)(2021·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案CD解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為eq\o(x,\s\up6(－))，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為eq\o(x,\s\up6(－))＋c，m＋c，σ，t，因為c≠0，所以A，B不正確，C，D正確.5.(易錯題)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28，方差是4，若將這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上20，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________，方差是________.答案484解析設(shè)該組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則新數(shù)據(jù)為x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝28，所以eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(x1＋20＋x2＋20＋…＋xn＋20,n)＝20＋28＝48.因為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝4，所以s′2＝eq\f(1,n){[x1＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20)]2＋[x2＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20)]2＋…＋[xn＋20－(eq\o(x,\s\up6(－))＋20)]2}＝s2＝4.6.(2022·蘇州模擬)由于受到網(wǎng)絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為m，中位數(shù)為n，則m－n＝________.答案360解析第一塊小矩形的面積S1＝0.3，第二塊小矩形的面積S2＝0.4，故n＝2000＋eq\f(0.5－0.3,0.0002)＝3000；又第四、五塊小矩形的面積均為S＝0.06，故a＝eq\f(1,2000)[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.00009，所以m＝1000×0.3＋3000×0.4＋5000×0.18＋(7000＋9000)×0.06＝3360，故m－n＝360.考點一百分位數(shù)的估計1.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是()A.－2 B.0 C.1 D.2答案D解析由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因為共有10個數(shù)據(jù)，所以10×80%＝8，是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是eq\f(2＋2,2)＝2.2.一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________，第86百分位數(shù)為________.答案14.517解析∵75%×20＝15，∴第75百分位數(shù)為eq\f(14＋15,2)＝14.5.∵86%×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)17.3.將高三某班60名學生參加某次數(shù)學模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))答案124.44解析由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在120分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分數(shù)在130分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120，130)內(nèi).因為120＋eq\f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.感悟提升計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟考點二總體集中趨勢的估計角度1樣本的數(shù)字特征例1某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓.現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，數(shù)據(jù)如下(單位：分)：甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適？請說明理由.解(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分).甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分，84分.(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝85分，所以seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41.①從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù)，乙的成績好于甲；③從方差來看，因為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績較穩(wěn)定；④從數(shù)據(jù)來看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙的成績好些；⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢看，乙后幾次的成績均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力.綜上分析可知，甲的成績雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績的次數(shù)及發(fā)展勢頭等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢，所以應派乙參賽更有望取得好成績.角度2頻率分布直方圖中的數(shù)字特征例2某市市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費.解(1)如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元.感悟提升(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應用要點中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標；②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.訓練1(1)(2022·成都質(zhì)檢)有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78109886乙：91078778則下列判斷正確的是()A.甲射擊的平均成績比乙好B.乙射擊的平均成績比甲好C.甲射擊的成績的眾數(shù)小于乙射擊的成績的眾數(shù)D.甲射擊的成績的中位數(shù)等于乙射擊的成績的中位數(shù)答案D解析由題意得，甲射擊的平均成績?yōu)閑q\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6,7)＝8，眾數(shù)為8，中位數(shù)為8；乙射擊的平均成績?yōu)閑q\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8,7)＝8，眾數(shù)為7，中位數(shù)為8；故甲射擊的平均成績等于乙射擊的平均成績，甲射擊的成績的眾數(shù)大于乙射擊的成績的眾數(shù)，甲射擊的成績的中位數(shù)等于乙射擊的成績的中位數(shù).(2)(多選)(2022·長沙模擬)某校高二年級共有800名學生參加了數(shù)學測驗(滿分150分)，已知這800名學生的數(shù)學成績均不低于90分，將這800名學生的數(shù)學成績分組為：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是()A.a＝0.045B.這800名學生中數(shù)學成績在110分以下的人數(shù)為160C.這800名學生數(shù)學成績的中位數(shù)約為121.4D.這800名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為125答案BC解析由題意，(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A錯誤；110分以下的人數(shù)為(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正確；120分以下的頻率是(0.01＋0.01＋0.025)×10＝0.45，設(shè)中位數(shù)為x，則eq\f(x－120,10)＝eq\f(0.005,0.035)，x≈121.4，C正確；平均數(shù)為95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D錯誤.考點三總體離散程度的估計例3(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).解(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3,10)＋10.0＝10.0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)（seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2)）)＝eq\r(0.0304)，顯然有eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))>2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))成立，所以認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.感悟提升標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標準差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.訓練2某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.解(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21.產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為eq\f(2,100)＝0.02.用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.(2)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，＝eq\f(1,100)×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為0.30，0.17.

1.(2021·茂名聯(lián)考)甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是()A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同答案B解析由題中數(shù)據(jù)的分布，可知極差不同，甲的中位數(shù)為eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數(shù)為eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋12＋16＋21＋25＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均數(shù)相同.2.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響.3.12名跳高運動員參加一項校際比賽，成績分別為1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(單位：m)，則比賽成績的75%分位數(shù)是()A.1.72 B.1.73 C.1.74 D.1.75答案B解析將12個數(shù)據(jù)按從小到大排序：1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.75，1.78，計算i＝12×75%＝9，所以比賽成績的75%分位數(shù)是第9個數(shù)據(jù)與第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(1.72＋1.74,2)＝1.73.4.某樣本中共有5個數(shù)據(jù)，其中四個值分別為0，1，2，3，第五個值丟失，已知該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為()A.2 B.eq\f(6,5) C.eq\r(2) D.eq\f(\r(30),5)答案A解析設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為a，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(1,5)×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.根據(jù)方差計算公式得s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.5.(多選)下表為2021年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產(chǎn)量：月份12345678910產(chǎn)量(單位：萬噸)23252417.517.52126293027則下列結(jié)論正確的是()A.極差為12.5萬噸 B.平均數(shù)為24萬噸C.中位數(shù)為24萬噸 D.眾數(shù)為17.5萬噸答案ABD解析將表格中的數(shù)據(jù)由小到大排列依次為17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.極差為30－17.5＝12.5(萬噸)，A正確；平均數(shù)為eq\f(17.5×2＋21＋23＋24＋25＋26＋27＋29＋30,10)＝24(萬噸)，B正確；中位數(shù)為eq\f(25＋24,2)＝24.5(萬噸)，C錯誤；眾數(shù)為17.5(萬噸)，D正確.6.(多選)(2022·青島調(diào)研)某校進行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80)之間的概率為0.5C.估計得分的眾數(shù)為55D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65答案ABC解析根據(jù)頻率和為1，計算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)之間的頻率是0.4，估計得分在[40，60)之間的有100×0.4＝40(人)，A正確；得分在[60，80)之間的頻率為0.5，可得從這100名參賽者中隨機選取1人，得分在[60，80)之間的概率為0.5，B正確；根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應的底邊中點為eq\f(50＋60,2)＝55，即估計眾數(shù)為55，C正確；根據(jù)頻率分布直方圖知，得分低于60分的直方圖面積為(0.005＋0.035)×10＝0.4＜0.5，而得分低于70分的直方圖面積為(0.005＋0.035＋0.030)×10＝0.7＞0.5，所以100名參賽者得分的中位數(shù)估計為60＋eq\f(0.5－0.4,0.030)≈63.3，D錯誤.7.若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________.答案16，18解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.8.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖所示，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________.答案(1)13(2)62.5(3)64解析(1)在[55，75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.9.某年級120名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數(shù)約為________秒.答案16.5解析設(shè)成績的70%分位數(shù)為x，因為eq\f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq\f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×eq\f(6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.70，解得x＝16.5(秒).10.一次數(shù)學知識競賽中，兩組學生的成績?nèi)缦拢悍謹?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212經(jīng)計算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀，并說明理由.解從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲組成績好些.②seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.同理得seq\o\al(2,乙)＝256.因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定.③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好.④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多.同時，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績較好.11.(2022·武漢質(zhì)檢)某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求參賽學生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)求參賽學生的平均成績.解(1)因為頻率分布直方圖中最高小長方形所在的區(qū)間的中點值為65，所以眾數(shù)為65，又因為第一個小長方形的面積為0.3，第二個小長方形的面積是0.4，0.3＋0.4＞0.5，所以中位數(shù)在第二組，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位數(shù)為65.(2)依題意，可得平均成績?yōu)?55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，所以參賽學生的平均成績?yōu)?7分.12.(多選)為比較甲、乙兩名學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的各項能力指標值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數(shù)學抽象指標值為4，乙的數(shù)學抽象指標值為5，則下面敘述正確的是()A.甲的邏輯推理能力指標值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標值B.甲的數(shù)學建模能力指標值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標值C.乙的六維能力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標值整體水平D.甲的數(shù)學運算能力指標值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值答案AC解析對于A，甲的邏輯推理能力指標值為4，乙的邏輯推理能力指標值為3，故A正確；對于B，甲的數(shù)學建模能力指標值為3，乙的直觀想象力指標值為5，故B錯誤；對于C，甲的六維能力指標值的平均值為eq\f(1,6)×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝eq\f(23,6)，乙的六維能力指標值的平均值為eq\f(1,6)×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，eq\f(23,6)<4，故C正確；對于D，甲的數(shù)學運算能力指標