高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第3節(jié) 二項(xiàng)式定理

第3節(jié)二項(xiàng)式定理考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當(dāng)k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的當(dāng)k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的二項(xiàng)式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是二項(xiàng)展開式的第k項(xiàng).()(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).()(3)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān).()(4)(a＋b)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析二項(xiàng)展開式中Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)，故(1)(2)均不正確.2.(易錯(cuò)題)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)(a為常數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為()A.1 B.±1 C.2 D.±2答案C解析根據(jù)題意，該二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則有2n＝32，可得n＝5，則二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝akCeq\o\al(k,5)xeq\f(15－5k,6)，令eq\f(15－5k,6)＝0，得k＝3，則其常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,5)a3，根據(jù)題意，有Ceq\o\al(3,5)a3＝80，可得a＝2.3.(多選)(2022·淄博調(diào)研)對(duì)于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))eq\s\up12(n)(n∈N*)，以下判斷正確的有()A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在n∈N*，展開式中有x的一次項(xiàng)答案AD解析該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(n－k)(x3)k＝Ceq\o\al(k,n)x4k－n，當(dāng)n＝4k時(shí)，展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)n＝4k－1時(shí)，展開式中存在x的一次項(xiàng)，D正確，C錯(cuò)誤.4.(2020·全國Ⅰ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.5 B.10 C.15 D.20答案C解析法一∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.法二當(dāng)x＋eq\f(y2,x)中取x時(shí)，x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)，當(dāng)x＋eq\f(y2,x)中取eq\f(y2,x)時(shí)，x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)，∴x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)＝10＋5＝15.5.(易錯(cuò)題)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________.答案1解析因?yàn)樗卸?xiàng)式系數(shù)的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(5)中，令x＝1可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(2－1)5＝1.6.(2021·浙江卷)已知多項(xiàng)式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.答案510解析(x－1)3展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)x3－r·(－1)r，(x＋1)4展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)x4－k，則a1＝Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＝1＋4＝5；a2＝Ceq\o\al(1,3)(－1)1＋Ceq\o\al(2,4)＝3；a3＝Ceq\o\al(2,3)(－1)2＋Ceq\o\al(3,4)＝7；a4＝Ceq\o\al(3,3)(－1)3＋Ceq\o\al(4,4)＝0，所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.考點(diǎn)一展開式中的通項(xiàng)問題角度1求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)例1(1)(2020·全國Ⅲ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是________(用數(shù)字作答).答案240解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,6)24＝240.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(10)的展開式中所有的有理項(xiàng)為________.答案eq\f(45,4)x2，－eq\f(63,8)，eq\f(45,256)x－2解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)xeq\f(10－2k,3).由題意eq\f(10－2k,3)∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令eq\f(10－2k,3)＝r(r∈Z)，則10－2k＝3r，k＝5－eq\f(3,2)r.∵k∈N，∴r應(yīng)為偶數(shù)，∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為eq\f(45,4)x2，－eq\f(63,8)，eq\f(45,256)x－2.角度2兩個(gè)二項(xiàng)式之積、三項(xiàng)展開式問題例2(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為()A.15 B.20 C.30 D.35答案C解析因?yàn)?1＋x)6的通項(xiàng)為Ceq\o\al(k,6)xk，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展開式中含x2的項(xiàng)為1·Ceq\o\al(2,6)x2和eq\f(1,x2)·Ceq\o\al(4,6)x4.因?yàn)镃eq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＝2Ceq\o\al(2,6)＝2×eq\f(6×5,2×1)＝30，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為30.(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60答案C解析法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5個(gè)x2＋x＋y之積.∴x5y2可從其中5個(gè)因式中，兩個(gè)取因式中x2，剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x，其余因式取y，因此x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝30.感悟提升(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.(3)對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.訓(xùn)練1(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為()A.－3 B.－2 C.1 D.4答案B解析(x－1)4的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)x4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)(－1)3＋Ceq\o\al(2,4)(－1)2＋Ceq\o\al(1,4)(－1)＝－2.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))eq\s\up12(5)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是________.答案－1683解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))eq\s\up12(5)表示五個(gè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))相乘，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)由三種情況產(chǎn)生，第一種是從五個(gè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))中分別抽取2x，2x，eq\f(1,x)，eq\f(1,x)，－3，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·22·(－3)＝－360；第二種情況是從五個(gè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))中都抽?。?，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為(－3)5＝－243；第三種情況是從五個(gè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))中分別抽取2x，eq\f(1,x)，－3，－3，－3，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·21·(－3)3＝－1080，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為－360－243－1080＝－1683.考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題角度1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)(2022·廣州模擬)若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))eq\s\up12(n)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為()A.－1 B.1 C.27 D.－27答案A解析依題意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，該二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.(2)(多選)(2022·濟(jì)南調(diào)研)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則下列結(jié)論中正確的是()A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1答案ACD解析令x＝0，則a0＝15＝1，故A正確；令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B錯(cuò)誤；令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正確；因?yàn)槎?xiàng)式(1－2x)5的展開式的第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rxr，所以當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，Ceq\o\al(r,5)(－2)r為負(fù)數(shù)，即ai＜0(其中i為奇數(shù))，所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正確.感悟提升1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).角度2展開式的逆用例4已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99＝()A.－1 B.－2 C.299－1 D.eq\f(299－1,2)答案B解析記f(x)＝1－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.感悟提升根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)式展開式的要求，使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解.訓(xùn)練2(1)(2022·山西八校聯(lián)考)已知(1＋x)n的展開式中第5項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.29 B.210 C.211 D.212答案A解析由題意知Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，由組合數(shù)性質(zhì)得n＝10，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n－1＝29.(2)(多選)(2021·武漢模擬)若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，則()A.a0＝1B.a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝eq\f(32021＋1,2)C.a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝eq\f(32021－1,2)D.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2021,22021)＝－1答案ACD解析由題意，當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝12021＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1，當(dāng)x＝－1時(shí)，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝－eq\f(32021＋1,2)，a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝eq\f(32021－1,2)；eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2021,22021)＝a1×eq\f(1,2)＋a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋…＋a2021×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2021)，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，0＝a0＋a1×eq\f(1,2)＋a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋…＋a2021×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2021)，所以a1×eq\f(1,2)＋a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋…＋a2021×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2021)＝－a0＝－1.(3)設(shè)復(fù)數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i是虛數(shù)單位)，則Ceq\o\al(1,2022)x＋Ceq\o\al(2,2022)x2＋Ceq\o\al(3,2022)x3＋…＋Ceq\o\al(2022,2022)x2022＝()A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i答案B解析x＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，由于Ceq\o\al(1,2022)x＋Ceq\o\al(2,2022)x2＋Ceq\o\al(3,2022)x3＋…＋Ceq\o\al(2022,2022)x2022＝(1＋x)2022－1＝i2022－1＝－1－1＝－2.考點(diǎn)三二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題例5二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()A.3 B.5 C.6 D.7答案D解析根據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n＝20，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,20)·(eq\r(3)x)20－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝(eq\r(3))20－k·Ceq\o\al(k,20)·x20－eq\f(4k,3)，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有7項(xiàng).感悟提升二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)和第eq\f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.訓(xùn)練3(1)已知(3x－1)n展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且n為偶數(shù)，則(3x－1)n展開式中x2的系數(shù)為()A.－252 B.252 C.－28 D.28答案B解析由題意可得n＝8，則(3x－1)8的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，則展開式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)32＝252.(2)(2022·杭州調(diào)研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為()A.－126 B.－70 C.－56 D.－28答案C解析∵只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,8)x8－eq\f(3,2)k(k＝0，1，2，…，8)，∴展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小，為(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.1.已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(7)的展開式的第4項(xiàng)等于5，則x等于()A.eq\f(1,7) B.－eq\f(1,7) C.7 D.－7答案B解析由T4＝Ceq\o\al(3,7)x4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(3)＝5，得x＝－eq\f(1,7).2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))eq\s\up12(5)的展開式中x2y3的系數(shù)是()A.－20 B.－5 C.5 D.20答案A解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(5－r)·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5－r)·(－2)r·x5－r·yr.當(dāng)r＝3時(shí)，展開式中x2y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×(－2)3＝－20.3.(2021·青島二模)已知(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為－40，則a的值為()A.2 B.－2 C.±2 D.4答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)ra5－rCeq\o\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝－1可得r＝3，令5－2r＝0可得r＝eq\f(5,2)，不符合題意，舍去.∴(－1)3a5－3Ceq\o\al(3,5)＝－40，即10a2＝40，∴a＝±2.4.Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)＝()A.3n B.2·3nC.eq\f(3n,2)－1 D.eq\f(3n－1,2)答案D解析Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)＝20Ceq\o\al(1,n)＋21Ceq\o\al(2,n)＋22Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(1,2)(21Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n))＝eq\f(1,2)(20Ceq\o\al(0,n)＋21Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋2)n－eq\f(1,2)＝eq\f(3n－1,2).5.(多選)在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展開式中，有()A.含x的項(xiàng) B.含eq\f(1,x2)的項(xiàng)C.含x4的項(xiàng) D.含eq\f(1,x4)的項(xiàng)答案ABC解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))eq\s\up12(5)的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，結(jié)合所給的選項(xiàng)，知ABC的項(xiàng)都含有.6.(多選)(2022·棗莊模擬)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，則()A.a0＝－32B.a2＝－80C.a3＋4a4＝0D.a0＋a1＋…＋a5＝1答案ABC解析令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正確.令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正確.令x＋1＝y(tǒng)，則(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就變?yōu)?y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根據(jù)二項(xiàng)式定理知，a2即二項(xiàng)式(y－2)5展開式中y2項(xiàng)的系數(shù)，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)y5－k(－2)k，故a2＝Ceq\o\al(3,5)·(－2)3＝－80，B正確.a4＝Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40，故C正確.7.(2020·天津卷)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))eq\s\up12(5)的展開式中，x2的系數(shù)是__________.答案10解析∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,5)x5－3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T2＝2Ceq\o\al(1,5)x2＝10x2，∴x2的系數(shù)是10.8.在(1－eq\r(3,x))7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)的展開式中，若x2的系數(shù)為19，則a＝________.答案2解析(1－eq\r(3,x))7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)的展開式中含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(6,7)(－eq\r(3,x))6＋Ceq\o\al(1,6)(eq\r(x))5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(x))))eq\s\up12(1)＝Ceq\o\al(6,7)x2＋Ceq\o\al(1,6)x2a，則aCeq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(6,7)＝19，解得a＝2.9.(2020·浙江卷)二項(xiàng)展開式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.答案80122解析由題意，得a4＝Ceq\o\al(4,5)×24＝5×16＝80.當(dāng)x＝1時(shí)，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①當(dāng)x＝－1時(shí)，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，可得a1＋a3＋a5＝122.10.已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù).解(1)通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(n－r,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(r)x－eq\f(r,3)＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(r)xeq\f(n－2r,3)，∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴r＝5時(shí)，有eq\f(n－2r,3)＝0，即n＝10.(2)令eq\f(n－2r,3)＝2，得r＝eq\f(1,2)(n－6)＝eq\f(1,2)×(10－6)＝2，∴含x2的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(45,4).11.(2021·重慶質(zhì)檢)在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，③所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為210，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面(橫線處)問題中，解決下面兩個(gè)問題.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展開式中，________.(1)求n的值；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.解(1)選擇條件①：若(2x－1)n的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則eq\f(n,2)＝5.所以n＝10.選擇條件②：若(2x－1)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n).所以n＝10.選擇條件③：若(2x－1)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為210，則2n＝210.所以n＝10.(2)由(1)知n＝10，則(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，令x＝0，則a0＝1，令x＝－1，則310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.12.(2022·長春模擬)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(4)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A.12 B.11 C.－11 D.－12答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋