數(shù)學(xué)欣賞26A數(shù)學(xué)概覽ppt課件市公開課獲獎?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

主講：張文俊數(shù)學(xué)欣賞1/141數(shù)學(xué)觀賞A數(shù)學(xué)概覽主講：張文俊深圳大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院9月ASurvey

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Mathematics2/141InthisChapter數(shù)學(xué)及其發(fā)展1數(shù)學(xué)價值23/141SZU

第一節(jié)數(shù)學(xué)及其發(fā)展zwj@4/141數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)分支發(fā)展數(shù)學(xué)分類……主要內(nèi)容數(shù)學(xué)發(fā)展軌跡5/141zwj@地王大廈有多高？

6/141zwj@地王大廈有多高？

文學(xué)家：巍然屹立、高大宏偉、高聳入云物理學(xué)家：拿根繩子去量一量數(shù)學(xué)家：類比：選取標(biāo)尺，然后利用標(biāo)尺與大廈投影長度及相同原理，準(zhǔn)確地測量出大廈高度；轉(zhuǎn)化：利用直角三角形直角邊長與其對角依賴關(guān)系，把大廈高度測量轉(zhuǎn)化為對仰視角測量。7/141zwj@名人語錄

任何一門科學(xué)，只有當(dāng)它用到數(shù)課時，才能得到真正完善發(fā)展。

——KarlMarx

數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門鑰匙。

——RogenBacon

數(shù)學(xué)是我們時代有勢力科學(xué)，它不聲不響地擴(kuò)大它所征服領(lǐng)域；那種不用數(shù)學(xué)為自己服務(wù)人將會發(fā)覺數(shù)學(xué)被他人用來反對他自己。

——J.F.Herbart8/141zwj@數(shù)學(xué)是什么？19/141一、數(shù)學(xué)是什么？

19世紀(jì)時由恩格斯給出定義

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式（簡稱：數(shù)與形）科學(xué)

按照恩格斯所說，

數(shù)與形是數(shù)學(xué)兩大基本柱石之一。整個數(shù)學(xué)都是由此提煉、演變與發(fā)展起來。10/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

代數(shù)——數(shù)量關(guān)系科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)計算與邏輯思維能力；幾何——空間形式科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺能力和洞察力；分析——數(shù)形關(guān)系科學(xué)，量變關(guān)系占主導(dǎo)，函數(shù)為對象、極限為工具，培養(yǎng)周密邏輯思維能力和建模能力。11/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

20世紀(jì)初定義

數(shù)學(xué)是研究模式與秩序科學(xué)

數(shù)學(xué)研究基本對象是各種各樣集合以及在它們上面賦予各種結(jié)構(gòu)。12/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

數(shù)學(xué)中基本集合包含：各種數(shù)集合；各類圖形；各類函數(shù)；各種空間；普通抽象集合等……13/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

數(shù)學(xué)中基本結(jié)構(gòu)有三種：代數(shù)結(jié)構(gòu)（反應(yīng)“合作”關(guān)系各種運(yùn)算及其算律）;次序結(jié)構(gòu)（反應(yīng)對比關(guān)系大小、先后，反應(yīng)隸屬關(guān)系蘊(yùn)涵）;拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（反應(yīng)親疏程度與規(guī)模大小距離）。14/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)之比喻數(shù)學(xué)像游戲，離不開道具和規(guī)則。數(shù)學(xué)中，各種集合是道具，而在各種集合上賦予各種結(jié)構(gòu)是規(guī)則。15/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)之比喻數(shù)學(xué)像演戲，離不開演員和劇本。數(shù)學(xué)中，各種集合是演員，演員被分配了角色才能演戲。16/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

比如：實(shí)數(shù)集就是數(shù)學(xué)一個道具，要在其上賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才能展開數(shù)學(xué)理論。17/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

集合與結(jié)構(gòu)建立與組合有其特有標(biāo)準(zhǔn)和方法，這表達(dá)為數(shù)學(xué)獨(dú)特思索方式。這些方式包含：模型化最優(yōu)化公理化抽象化符號化類比化歸分類18/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

這些是數(shù)學(xué)體系特征，也是數(shù)學(xué)能力表達(dá)。它們確保了數(shù)學(xué)體系簡練性與嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)結(jié)論可靠性與普適性數(shù)學(xué)方法有效性與便利性數(shù)學(xué)思想科學(xué)性與深刻性

19/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

分類研究是數(shù)學(xué)研究中主要思想，比如，數(shù)學(xué)中許多對象是經(jīng)過定義引入，這種“定義”方法，本質(zhì)上是對事物進(jìn)行分類伎倆，它把符合某種性質(zhì)事物劃為一類，深入研究其基本性質(zhì)。20/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

化歸方法是數(shù)學(xué)中重要方法。這一方面表現(xiàn)在處理數(shù)學(xué)問題過程中，將復(fù)雜對象或陌生對象化歸為更熟悉簡單對象；其次也表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論中，數(shù)學(xué)中許多結(jié)論都表現(xiàn)為對一種數(shù)學(xué)對象多個等價刻畫，數(shù)學(xué)中“充分必要條件”是描述這一現(xiàn)象典型語句，它本質(zhì)上也是對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)化歸。21/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

類比喻法也在數(shù)學(xué)中飾演著極為主要角色，許多陌生對象性質(zhì)和研究方法都來自于數(shù)學(xué)家類比思想。22/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

抽象化與符號化是數(shù)學(xué)主要特征，它使得數(shù)學(xué)概念脫離了事物物質(zhì)屬性，形式簡練、內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛。23/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

公理化方法使數(shù)學(xué)豐富理論建立在最簡單明了、不容懷疑事實(shí)基礎(chǔ)之上，輕易明辨是非。比如，幾何學(xué)正確性歸結(jié)于諸如“等量加等量，總量仍相等”等公理體系正確性。公理化方法也是數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密性一個表現(xiàn)。在人類每一個認(rèn)識領(lǐng)域，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)知識積累到相當(dāng)數(shù)量時，就需要進(jìn)行綜合、整理，使之條理化、系列化，從而形成新概念理論以更新系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)認(rèn)識從感性階段到理性階段飛躍。從理性認(rèn)識初級水平發(fā)展到高級水平，又表現(xiàn)為抽象程度更高公理化體系。24/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

最優(yōu)化是數(shù)學(xué)追求目標(biāo)之一；模型化是人類將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題主要伎倆；二者都為人類圓滿地處理實(shí)際問題發(fā)揮了主要作用。

25/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

新世紀(jì)人們對數(shù)學(xué)新認(rèn)識：

“方法”或“工具”

“思維”

——“數(shù)學(xué)思維”；“學(xué)科”

“文化”

——“數(shù)學(xué)文化”；“知識”

“素質(zhì)”

——“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。

26/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

“數(shù)學(xué)思維”是一個能夠經(jīng)過分析、類比等方法從眾多事物現(xiàn)象中歸納出其共性和本質(zhì)性抽象性思維，一個能夠從已知事理中推知未知事理邏輯性思維，一個勇于突破常規(guī)、勇于創(chuàng)新創(chuàng)造性思維，一個用數(shù)學(xué)方法模擬與驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)世界模式化思維。27/141zwj@一、數(shù)學(xué)是什么？

“數(shù)學(xué)文化”是當(dāng)代科技文化關(guān)鍵，是當(dāng)代科技形式語言，是理性主義觀念。“數(shù)學(xué)素質(zhì)”則是含有“數(shù)學(xué)思維”能力和利用數(shù)學(xué)思想方法處理實(shí)際問題能力一個特殊素質(zhì)。28/141zwj@數(shù)學(xué)分類229/141二、數(shù)學(xué)分類

從縱向劃分：初等數(shù)學(xué)和古代數(shù)學(xué)；變量數(shù)學(xué)；近代數(shù)學(xué)；當(dāng)代數(shù)學(xué)。30/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

初等數(shù)學(xué)和古代數(shù)學(xué)：古希臘時期建立歐氏幾何學(xué)；古代中國、古印度和古巴比倫時期建立算術(shù)；歐洲文藝復(fù)興時期發(fā)展起來代數(shù)方程等。初等數(shù)學(xué)又叫常數(shù)數(shù)學(xué)。31/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

變量數(shù)學(xué)：是指17----19世紀(jì)初建立與發(fā)展數(shù)學(xué)。起點(diǎn)：解析幾何；標(biāo)志：微積分（數(shù)學(xué)分析）；特點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合，引入了變量，能夠研究運(yùn)動。32/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

近代數(shù)學(xué)：是指19世紀(jì)數(shù)學(xué)。主要特征：分析嚴(yán)密化;代數(shù)抽象化;幾何非歐化。33/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

當(dāng)代數(shù)學(xué)：是指20世紀(jì)數(shù)學(xué)。起點(diǎn)：19Hilbert提出23個未處理數(shù)學(xué)問題；特點(diǎn)：學(xué)科分支增多，交叉增強(qiáng)(如：代數(shù)拓?fù)洹⑽⒎滞負(fù)?、代?shù)幾何等）；基礎(chǔ)：Cantor集合論。34/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

當(dāng)代數(shù)學(xué)三大趨勢：交織發(fā)展、高度綜合、逐步走向統(tǒng)一趨勢；邊緣、綜合、交叉學(xué)科與日俱增趨勢；數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式、對象和方法日益抽象化趨勢。35/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

當(dāng)代數(shù)學(xué)六大特征：從單變量到多變量，從低維到高維；從線性到非線性；從局部到整體，從簡單到復(fù)雜；從連續(xù)到間斷，從穩(wěn)定到分岔；從準(zhǔn)確到含糊；計算機(jī)應(yīng)用。36/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

從橫向劃分：

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（理論、純粹數(shù)學(xué)）（代數(shù)、幾何、分析，三大分支）應(yīng)用數(shù)學(xué)計算數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計運(yùn)籌與控制論37/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

做出以上分類方法是按照中國幾十年通例進(jìn)行。耶魯大學(xué)計算機(jī)科學(xué)教授拉斯茲洛（Laszl?Lovasz）在ICM98上載文“只有一個數(shù)學(xué)——不存在劃分?jǐn)?shù)學(xué)自然方法”，從數(shù)學(xué)三個新趨勢：規(guī)模擴(kuò)大、應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大、計算機(jī)工具介入，說明試圖尋找對數(shù)學(xué)科學(xué)分類是徒勞。比如，他說：38/141zwj@二、數(shù)學(xué)分類

沒有一個領(lǐng)域能夠退回到它象牙塔里而對應(yīng)用關(guān)上大門；也沒有一個領(lǐng)域能夠宣稱自己是應(yīng)用數(shù)學(xué)。39/141zwj@數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀340/141三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀按照恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)研究對象敘述，數(shù)學(xué)大致上分為三類：代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析學(xué)。這其實(shí)包含了經(jīng)典數(shù)學(xué)基本分支。經(jīng)典數(shù)學(xué)研究是事物確實(shí)定數(shù)量關(guān)系和空間形式，康托經(jīng)典集合論是其理論基礎(chǔ)。41/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀然而，現(xiàn)實(shí)生活中事物并非全都如此，它們現(xiàn)有確定性現(xiàn)象，也有隨機(jī)現(xiàn)象，還有含糊現(xiàn)象，更有可改變事物現(xiàn)象，所以對應(yīng)地就產(chǎn)生了研究隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)數(shù)學(xué)，研究含糊現(xiàn)象含糊數(shù)學(xué)，研究可變現(xiàn)象可拓數(shù)學(xué)。42/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀1幾何學(xué)通論幾何學(xué)就是人類文明對空間本質(zhì)“認(rèn)識論”；宇宙中全部事物皆存在于其中、發(fā)生于其內(nèi)，并永遠(yuǎn)受著空間本質(zhì)制約與孕育；而空間既完美又簡單本質(zhì)則是孕育著宇宙萬物萬象中至精至簡根源。幾何學(xué)目標(biāo)就是去研究、了解空間本質(zhì)，它是我們認(rèn)識大自然、了解大自然自然起點(diǎn)和基石所在；也是整個自然科學(xué)啟蒙者和奠基者；是種種科學(xué)思想和方法論自然發(fā)祥地。43/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀研究對象:諸如“幾何物體”和圖形幾何量，是空間形式抽象化;研究內(nèi)容:各種幾何量關(guān)系與相互位置;研究方法:試驗(yàn)方法、思辨方法、解析方法.44/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀歐幾里得幾何學(xué)在認(rèn)可一些自明公理前提下，按照嚴(yán)密演繹推理方法，一層一層地建立起來一套系統(tǒng)嚴(yán)密幾何學(xué)知識體系。45/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀解析幾何1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾引入了坐標(biāo)觀念，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，創(chuàng)建了解析幾何，使得人們能夠用代數(shù)方法研究幾何問題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)兩大分支代數(shù)與幾何聯(lián)絡(luò)。兩個主要觀念：點(diǎn)、數(shù)聯(lián)絡(luò)坐標(biāo)觀念，曲線方程表示觀念。46/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀向量幾何也叫向量代數(shù)，該學(xué)科產(chǎn)生于十九世紀(jì)中葉，是由德國數(shù)學(xué)家哈密爾頓（W.R.Hamilton,1805—1865）和格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809—1877）等創(chuàng)建。向量幾何是不依賴于坐標(biāo)系解析幾何，是坐標(biāo)幾何返璞歸真和精益求精，它使得幾何和代數(shù)結(jié)合得愈加真切自然、直截了當(dāng)。47/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀分形幾何分形幾何概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）在1975年首先提出，被譽(yù)為大自然幾何學(xué)。這是當(dāng)代數(shù)學(xué)一個新分支，其本質(zhì)是一個新世界觀和方法論。它與動力系統(tǒng)混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成；它認(rèn)可世界局部可能在一定條件下、一定過程中、在某首先（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功效，時間，能量等）表現(xiàn)出與整體相同性；它認(rèn)可空間維數(shù)改變既能夠是離散，也能夠是連續(xù)。48/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀2代數(shù)學(xué)大觀代數(shù)學(xué)是研究數(shù)科學(xué)，起源于古代中國和古埃及。早期代數(shù)學(xué)其實(shí)是研究數(shù)運(yùn)算，所以叫做算術(shù)。“代數(shù)學(xué)”一詞源自于拉丁文algebra（公元12世紀(jì)之后），但它又是從阿拉伯文“還原與對消”（al-jaberw’almuqabala）（公元8左右）或“方程科學(xué)”改變而來。49/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀代數(shù)學(xué)符號化第一階段是文字代數(shù)學(xué)，其主要標(biāo)志是，代數(shù)書全部由文字表述。第二階段是簡寫代數(shù)學(xué)，其主要標(biāo)志是，采取以速記為目標(biāo)簡寫形式表示數(shù)量、關(guān)系與運(yùn)算。第三階段是符號代數(shù)學(xué)。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Viete,Francois.1540—1603）對代數(shù)學(xué)符號化發(fā)展作出了主要貢獻(xiàn)。50/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)學(xué)初等代數(shù)是代數(shù)學(xué)古典部分，它是伴隨解方程與方程組而產(chǎn)生并發(fā)展起來，是研究數(shù)字和文字代數(shù)運(yùn)算理論和方法科學(xué)，更確切說，是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，以及以它們?yōu)橄禂?shù)多項式代數(shù)運(yùn)算理論和方法數(shù)學(xué)分支學(xué)科。51/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)中心問題是研究方程或方程組解存在性、解個數(shù)、解結(jié)構(gòu)問題，因而長久以來都把代數(shù)學(xué)了解成方程科學(xué)。52/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)基本對象包含：三種數(shù)——有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)；三種式——整式、分式、根式。53/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)中心對象方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組。54/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)基本內(nèi)容代數(shù)式運(yùn)算和方程求解，其中代數(shù)運(yùn)算特點(diǎn)是只進(jìn)行有限次運(yùn)算。55/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀初等代數(shù)運(yùn)算十條規(guī)則：五條基本運(yùn)算律（加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律）；兩條等式基本性質(zhì)（等式兩邊同時加上一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以一個非零數(shù)，等式不變）；三條指數(shù)律（同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘；積乘方等于乘方積）。56/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀高等代數(shù)學(xué)高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級階段總稱，現(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)高等代數(shù)，普通包含兩部分：線性代數(shù)、多項式代數(shù)。57/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀線性代數(shù)研究對象是線性方程組，研究內(nèi)容是線性方程組解存在性、解個數(shù)、解結(jié)構(gòu)問題，研究工具包含矩陣、行列式等。圍繞線性方程組這些關(guān)鍵問題，線性代數(shù)不但要研究數(shù)，數(shù)運(yùn)算，還有矩陣、向量、向量空間運(yùn)算以及變換等。58/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀多項式理論是以代數(shù)方程根計算和分布作為中心問題，也叫做方程論。研究多項式理論，主要在于探討代數(shù)方程性質(zhì)，從而尋找簡易解方程方法。59/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀3分析學(xué)大意分析學(xué)是指以微積分學(xué)為基本內(nèi)容數(shù)學(xué)分支全稱，包含微積分學(xué)、微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等。這里我們只介紹微積分等幾個基礎(chǔ)分支學(xué)。60/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀微積分學(xué)簡單地來說，微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)總稱，其研究對象是函數(shù)；研究工具是極限；研究內(nèi)容包含函數(shù)微分、積分，以及聯(lián)絡(luò)微分與積分橋梁——微積分基本定理。61/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀4隨機(jī)數(shù)學(xué)一瞥在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中，一些事物都是相互聯(lián)絡(luò)和不停發(fā)展。在它們彼此間聯(lián)絡(luò)和發(fā)展中，依據(jù)它們是否有必定因果聯(lián)絡(luò)，能夠分成截然不一樣兩大類：一類是確定性現(xiàn)象，另一類是不確定性現(xiàn)象，這類現(xiàn)象是在一定條件下，它結(jié)果是不確定。這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機(jī)現(xiàn)象。

62/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象似乎是雜亂無章、沒有什么規(guī)律現(xiàn)象。但實(shí)踐證實(shí)，假如同類隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它總體就展現(xiàn)出一定規(guī)律性，叫做統(tǒng)計規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究大量同類隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性數(shù)學(xué)學(xué)科，統(tǒng)稱為隨機(jī)數(shù)學(xué)。63/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀5含糊數(shù)學(xué)概覽現(xiàn)實(shí)生活中有許多含糊現(xiàn)象，比如，禿子、年輕、高個子、胖子、潔凈，好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)等。含糊數(shù)學(xué)就是研究怎樣處理與把握這些含糊現(xiàn)象科學(xué)，其基礎(chǔ)是1965年美國控制論教授、數(shù)學(xué)家查德（Zadeh,L.A.1921—）引入了含糊集合概念。含糊集合描述事物“是”與“非”程度。64/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀6可拓學(xué)——中國人自己創(chuàng)建新學(xué)科全世界有多門學(xué)科，而中國人自己創(chuàng)建則極少。以研究處理矛盾問題規(guī)律和方法為內(nèi)容新興學(xué)科──可拓學(xué)，是由廣東工業(yè)大學(xué)蔡文研究員創(chuàng)建。蔡文先生引進(jìn)了物元概念，它是包含事物名稱N、特征C和關(guān)于此特征量值V有序三元組R=（N，C，V）。65/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀可拓學(xué)有兩個理論支柱，一個是研究物元及其改變物元理論，一個是建立在可拓集合基礎(chǔ)上可拓數(shù)學(xué)。物元理論著重研究物元可拓性，物元可變性，借以探索事物改變過程，尋求處理問題方法。所謂物元可拓性，即可開拓性，是指事物改變各種可能性，包含發(fā)散性、可擴(kuò)性、共軛性和相關(guān)性。所謂物元可變性，即可變換性，是指在一定條件下，物元要素（事物、特征和量值）變換或分解。66/141zwj@三、數(shù)學(xué)分支發(fā)展概觀可拓數(shù)學(xué)是對應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展，它是建立在可拓集合基礎(chǔ)上。在現(xiàn)實(shí)世界中，事物是可變，事物含有某種性質(zhì)程度也是可變，所以，“是”與“非”及其程度都是能夠轉(zhuǎn)換。蔡文先生在1983年引入可拓集合概念，兼顧了這些原因。在此基礎(chǔ)上，建立了可拓數(shù)學(xué)，從經(jīng)典數(shù)學(xué)對數(shù)量關(guān)系和空間形式研究發(fā)展到對物元關(guān)系和物元空間形式研究，以矛盾問題轉(zhuǎn)化為研究對象，成為可拓學(xué)一大理論支柱。應(yīng)用可拓數(shù)學(xué)，使人們能夠定量研究自然科學(xué)、社會科學(xué)和工程技術(shù)中各種矛盾問題。67/141zwj@數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

468/141四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

陳省身說：大致說來，數(shù)學(xué)和其它科學(xué)一樣，它發(fā)展基于兩個原因：（1）奇怪現(xiàn)象；（2）數(shù)學(xué)結(jié)果應(yīng)用。結(jié)果把奧妙變?yōu)槌ＷR，復(fù)雜變?yōu)楹唵危瑪?shù)學(xué)便成為科學(xué)有利而不可缺乏工具。

69/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

1.數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因

實(shí)用、科學(xué)、哲學(xué)和美學(xué)原因，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)形成與發(fā)展。70/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

第一動力：處理因社會需要而直接提出問題。這為人類認(rèn)識與改造自然提供了工具與方法。初等數(shù)學(xué)歐幾里德幾何學(xué)、代數(shù)方程以及高等數(shù)學(xué)概率論、運(yùn)籌學(xué)等，都是為處理實(shí)際問題而產(chǎn)生與發(fā)展。71/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

第二動力：提供自然現(xiàn)象合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論都是物理學(xué)基礎(chǔ)。這些學(xué)科成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合程度。圖論、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何、復(fù)變函數(shù)等都是所以而產(chǎn)生。72/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

第三動力：智力方面好奇心和對純思維強(qiáng)烈興趣。數(shù)論、非歐幾何、射影幾何等都在很大程度上受這一動力影響。

73/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

第四動力：對美追求。數(shù)學(xué)除了其完美結(jié)構(gòu)美以外，在證實(shí)和得出結(jié)論過程中，所利用想象和直覺也為創(chuàng)造者提供了高度美學(xué)上滿足。數(shù)學(xué)美幾乎表達(dá)在數(shù)學(xué)每一個分支中。74/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

2.數(shù)學(xué)發(fā)展軌跡數(shù)學(xué)發(fā)展基本模式是：

詳細(xì)──抽象──詳細(xì)。

從詳細(xì)事物、現(xiàn)象（詳細(xì)）出發(fā)，提煉出能夠反應(yīng)其本質(zhì)結(jié)構(gòu)（抽象）進(jìn)行研究，研究結(jié)果再返回到（更多、更廣泛）詳細(xì)事物、對象（詳細(xì)）中。75/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

在提煉與實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中，猜測與證實(shí)是兩大基本支柱：數(shù)學(xué)結(jié)論孕育有賴于猜測，數(shù)學(xué)結(jié)論確實(shí)立離不開證實(shí)。76/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

數(shù)學(xué)發(fā)展基本思緒：特殊東西，加以推廣，方便適用更廣；普通東西，給予特殊化，以求更加好結(jié)果；復(fù)雜東西，加以分解，以求各個擊破；零碎東西，加以組合，以求全貌；陌生東西，類比熟知，經(jīng)過已知研究未知。77/141zwj@四、數(shù)學(xué)形成與發(fā)展原因與軌跡

3.數(shù)學(xué)發(fā)展啟示龔升教授在他《微積分五講》中強(qiáng)調(diào):數(shù)學(xué)中每一步真正進(jìn)展都與更有力工具和更簡單方法發(fā)覺親密聯(lián)絡(luò)著。這些工具和方法同時會有利于了解已經(jīng)有理論并把陳舊、復(fù)雜東西拋到一邊。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展這種特點(diǎn)是根深蒂固。78/141zwj@第二節(jié)數(shù)學(xué)價值zwj@79/141數(shù)學(xué)特點(diǎn)美學(xué)價值文化價值……主要內(nèi)容教育價值

80/141zwj@起死回生問題引子81/141起死回生問題從前有一個國王，非常珍惜人才，即使是對囚犯也不例外。國王要求，對于死囚，在押赴刑場時能夠給他一次生存機(jī)會。為此，在押赴囚犯到刑場途中，他們設(shè)計一個丁字路口，在這個路口有兩個前進(jìn)方向可供選擇，一個通向刑場，另一個則通向光明大道。不過兩個方向入口處各有一個士兵把守，這兩個士兵中一個只講真話不講假話，而另一個則只講假話不講真話，除了他們二人之外，其它人并不知道他們中間誰是講真話者。82/141zwj@起死回生問題國王給囚犯提供逃生機(jī)會是：允許囚犯只向其中一個士兵問唯一一個問題，然后依據(jù)士兵回答來自己決定朝哪個方向前進(jìn)。假如走向刑場，則要執(zhí)行死刑，假如走向光明大道，則能夠自由逃生。83/141zwj@起死回生問題因?yàn)槭孪炔⒉恢纼蓚€士兵中誰是說真話者，又不能多問一個問題以求識別真假，許多囚犯面對這么逃生機(jī)會不知所措，只好聽天由命。有難免一死，有僥幸逃生。有一天，一個精通數(shù)學(xué)和邏輯囚犯，在這里依靠自己聰明才智，明白無誤地為自己撿來一條性命。那么，他提了一個什么問題呢？84/141zwj@起死回生問題囚犯問其中一個士兵：假如我問他（另一個士兵）哪一條路通向光明大道，他會怎樣回答？85/141zwj@名人語錄

任何一門科學(xué)，只有當(dāng)它用到數(shù)課時，才能得到真正完善發(fā)展?！R克思86/141zwj@名人語錄

參加開發(fā)普通智力——不是為了今后某一職業(yè)特定需要，應(yīng)看成是數(shù)學(xué)教育基本目標(biāo)。

——F.Reidt87/141zwj@名人語錄

音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能感人心弦，哲學(xué)使人取得智慧，科學(xué)可改進(jìn)物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給給予上一切?！巳R因88/141zwj@名人語錄

展現(xiàn)在我們面前宇宙，像一本用數(shù)學(xué)語言寫成書，若不掌握數(shù)學(xué)語言符號，就像在黑暗迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識不清?！だ?9/141zwj@從數(shù)學(xué)特點(diǎn)看

數(shù)學(xué)教育對人素質(zhì)影響190/141一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)數(shù)學(xué)特點(diǎn)概念抽象性推理嚴(yán)密性結(jié)論確實(shí)定性應(yīng)用廣泛性

91/141zwj@這四大特點(diǎn)反應(yīng)了數(shù)學(xué)發(fā)展過程整個內(nèi)蘊(yùn)與外延本質(zhì)。起點(diǎn)：概念抽象；過程：推理嚴(yán)密；結(jié)論：確定；結(jié)果：應(yīng)用廣泛。數(shù)學(xué)是用簡明而又嚴(yán)格方式描述復(fù)雜現(xiàn)象。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)92/141zwj@1.概念抽象性數(shù)學(xué)來自于實(shí)踐，其最本質(zhì)東西是抽象，抽象是人類創(chuàng)造性思維最基本特征。數(shù)學(xué)概念、方法大多是經(jīng)過對現(xiàn)實(shí)世界事物對象及其關(guān)系，經(jīng)過分析、類比、歸納，找出其共性與本質(zhì)特征而抽象得來。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)93/141zwj@對于一個數(shù)學(xué)家來說，主要不是他研究對象詳細(xì)化，而是它們性質(zhì)或本質(zhì)規(guī)律。這種思維就是抽象思維，其關(guān)鍵點(diǎn)在于經(jīng)過不停深刻地從小模式中抽象出必要性質(zhì)，去除（或者綜合）次要性質(zhì)，用盡可能少條件來推出盡可能多結(jié)論。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)94/141zwj@“抽象”不是目標(biāo)，不是人為地增加了解難度，而是要抓住事物本質(zhì)。經(jīng)過抽象，能夠把表面復(fù)雜東西變得簡單把表面混沌東西變得有序把表面無關(guān)東西得到統(tǒng)一一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)95/141zwj@數(shù)學(xué)抽象特色：在數(shù)學(xué)抽象中只保留了量關(guān)系和空間形式，舍棄諸如色彩、品質(zhì)等原因；（比如：數(shù)、點(diǎn)、線等原始概念）數(shù)學(xué)抽象是一級一級逐步提升，其抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其它學(xué)科普通抽象；（比如：從點(diǎn)到線，到面，到體，到歐氏空間，再到普通拓?fù)淇臻g等）數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們相互關(guān)系之中。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)96/141zwj@所以，不但數(shù)學(xué)概念是抽象，其思想方法也是抽象（如加、減、群等），整個數(shù)學(xué)都是抽象。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)受過良好數(shù)學(xué)教育人，善于抓住事物本質(zhì)，做事簡練、不拖泥帶水，含有統(tǒng)一處理一類問題能力，含有創(chuàng)新膽略和勇氣。97/141zwj@2.推理嚴(yán)密性

在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)每前深入，都離不開嚴(yán)密邏輯推理。推理是從已知到未知合乎邏輯思維過程。從認(rèn)識論角度來看，推理有三種：歸納推理類比推理演繹推理這也是數(shù)學(xué)主要推理方法。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)98/141zwj@演繹推理是從普通到特殊推理。先有一個普遍規(guī)律，然后從這個規(guī)律導(dǎo)出特定事例性質(zhì)。它能夠經(jīng)過對事物一些已知屬性，按照嚴(yán)密邏輯思維，推出事物未知屬性。在數(shù)學(xué)演繹推理中分析必須細(xì)致，論證務(wù)求嚴(yán)謹(jǐn)，不允許用感知替換分析，用舉例充當(dāng)論證。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)99/141zwj@歸納推理是從個體認(rèn)識群體，即從許多特例中總結(jié)出普通性普遍規(guī)律，是從特殊到普通推理。但完全歸納法是演繹推理。類比推理是從一個個體認(rèn)識另一個個體。二者對培養(yǎng)人發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維含有主要作用。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)100/141zwj@人類創(chuàng)造創(chuàng)造開始于感性發(fā)散性思維，終止于理性收斂性思維。所以歸納與類比是人類探索世界、發(fā)覺新事物主要伎倆，許多主要猜測都是經(jīng)過歸納與類比而提出。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)101/141zwj@二、判斷推理

不論哪一個推理，都包含前提和結(jié)論兩部分：前提是在推理過程中所利用已經(jīng)有真實(shí)判斷（這一點(diǎn)必須確?；蚣俣ㄊ钦_）；結(jié)論是人在頭腦中經(jīng)過推理過程所引出新判斷。102/141zwj@二、判斷推理演繹推理普通形式是三段式：大前提

：一個普通性普遍規(guī)律；小前提

：一個特殊對象判斷；結(jié)論：這個特殊對象結(jié)論。103/141zwj@二、判斷推理例：大前提：全部商品都有使用價值，小前提：糧食是商品，結(jié)論：所以，糧食是有使用價值。104/141zwj@演繹推理特點(diǎn)：1) 從少數(shù)已知事實(shí)出發(fā)，能夠?qū)С鲆粋€內(nèi)容豐富知識體系，人類認(rèn)識能力由此能夠得到很大提升；2) 能夠確保數(shù)學(xué)命題正確性，使數(shù)學(xué)立于不敗之地；3) 能夠克服儀器、技術(shù)等伎倆局限，填補(bǔ)人類經(jīng)驗(yàn)之不足；4) 使人類認(rèn)識范圍從有限走向無限；5) 為人類提供了一個建構(gòu)理論有效形式。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)105/141zwj@二、判斷推理普通來講，歸納推理與類比推理結(jié)論不能確保正確性；演繹推理結(jié)論則一定是正確——只要前提是正確。數(shù)學(xué)推理以演繹推理為主，間或使用其它推理。106/141zwj@所以，優(yōu)異數(shù)學(xué)教育使人含有做事思緒開闊、舉一反三類比與創(chuàng)新能力；含有化繁為簡、分解困難歸納能力；含有做事思維嚴(yán)謹(jǐn)、思索周密、結(jié)構(gòu)清楚、層次分明、有條理、無漏洞組織管理能力。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)107/141zwj@3.結(jié)論確實(shí)定性

“結(jié)論確實(shí)定性”是指，對任一事件，經(jīng)過數(shù)學(xué)方法所得到判斷或結(jié)論是確定，但它并不意味著任何事件發(fā)展都有唯一或確定結(jié)果。數(shù)學(xué)結(jié)論由演繹推理為主推理形成，演繹推理推理步驟要嚴(yán)格恪守形式邏輯各種法則，以確保從前提到結(jié)論推導(dǎo)過程中，每一個步驟在邏輯上都是準(zhǔn)確無誤。所以，利用數(shù)學(xué)方法從已知關(guān)系推求未知關(guān)系時，所得到結(jié)論含有邏輯上確定性和可靠性。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)108/141zwj@為何數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)受到特殊尊重，一個理由是它命題是絕對可靠和無可爭辯，而其它一切科學(xué)命題在某種程度上都是可辯，而且經(jīng)常處于會被新發(fā)覺事實(shí)推翻危險之中?！瓟?shù)學(xué)之所以聲譽(yù)高，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性

——愛因斯坦

一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)109/141zwj@數(shù)學(xué)教育能培養(yǎng)人做事嚴(yán)厲認(rèn)真態(tài)度，做事、做人目標(biāo)明確，前后一致，表里如一。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)110/141zwj@4.應(yīng)用廣泛性

數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性是其日漸突出一個特點(diǎn)，這不但表現(xiàn)在數(shù)學(xué)作為一個工具廣泛應(yīng)用，還在于數(shù)學(xué)素質(zhì)為人類提供潛能。

一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)111/141zwj@數(shù)學(xué)主要性更表達(dá)在，接收數(shù)學(xué)上嚴(yán)密邏輯推理訓(xùn)練而培養(yǎng)出以理性思維模式和歸納、類比、分析、演繹思維方法等為特征數(shù)學(xué)素質(zhì)，它能夠使人有很強(qiáng)適應(yīng)能力、再生能力和移植能力。有了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)素質(zhì)做基礎(chǔ)，就有了享受不盡財富。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)112/141zwj@數(shù)學(xué)概念抽象性、推理嚴(yán)密性、結(jié)論確實(shí)定性這三個特點(diǎn)同時決定了數(shù)學(xué)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、可靠與普適性。一、數(shù)學(xué)特點(diǎn)113/141zwj@數(shù)學(xué)與人類文化2114/141二、數(shù)學(xué)與人類文化

文化是人類在社會歷史發(fā)展過程中所創(chuàng)造對社會有主要影響物質(zhì)財富與精神財富（價值、意義）總和，包含人為制訂規(guī)范制度或歷史傳承下來風(fēng)俗習(xí)慣，是人類長久形成大群集體公共人生，是人生行為模式和指導(dǎo)模式，是人本質(zhì)之一。115/141zwj@數(shù)學(xué)產(chǎn)生于人類實(shí)際需要，作為一門最早發(fā)展起來學(xué)科，數(shù)學(xué)從來是人類文化一個主要組成部分，無數(shù)事實(shí)表明：一個時代總特征在很大程度上與這個時代數(shù)學(xué)活動親密相關(guān)。

二、數(shù)學(xué)與人類文化

116/141zwj@

二、數(shù)學(xué)與人類文化

1.數(shù)學(xué)是一切科學(xué)基礎(chǔ)2.數(shù)學(xué)是人類思維工具3.數(shù)學(xué)是理性精神4.信息時代就是數(shù)課時代117/141zwj@1.數(shù)學(xué)是一切科學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門鑰匙數(shù)學(xué)是一切科學(xué)得力助手和工具。她有時受其它科學(xué)問題刺激而產(chǎn)生和發(fā)展，有時也先走一步，領(lǐng)先發(fā)展，再取得應(yīng)用。社會進(jìn)步離不開科學(xué)，科學(xué)發(fā)展離不開數(shù)學(xué)。

二、數(shù)學(xué)與人類文化

118/141zwj@數(shù)學(xué)是科學(xué)語言：

對于外部世界進(jìn)行研究主要目標(biāo)，在于發(fā)覺上帝賦予它合理次序與友好，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語言透露給我們——開普勒。

數(shù)學(xué)能以其不可比擬、無法替換數(shù)學(xué)語言（概念、公式、法則、定理、方程、模型等）對科學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確而簡練描述。二、數(shù)學(xué)與人類文化

119/141zwj@

數(shù)學(xué)語言相對自然語言優(yōu)勢簡單化（即對自然語言進(jìn)行簡化）、清楚化（即克服自然語言中含糊不清毛病）擴(kuò)展化（即擴(kuò)充它表示范圍）三個方面。由此，數(shù)學(xué)能對一切科學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確而簡練描述。二、數(shù)學(xué)與人類文化

120/141zwj@

在科學(xué)研究中利用數(shù)學(xué)語言好處：她含有單義性、確定性，防止發(fā)生歧義和引發(fā)混亂；她含有表示簡練性，便于人們分析、比較、判斷；利用數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理、計算，能夠節(jié)約人思維勞動，縮短研究過程，提升研究效率。二、數(shù)學(xué)與人類文化

121/141zwj@2.數(shù)學(xué)是人類思維工具數(shù)學(xué)思維不限于數(shù)學(xué)研究本身，她已經(jīng)成為人類創(chuàng)新、創(chuàng)造源泉，是當(dāng)代人文化素質(zhì)一部分。對人類社會進(jìn)步起到了極為主要作用。二、數(shù)學(xué)與人類文化

122/141zwj@3.數(shù)學(xué)是理性精神

數(shù)學(xué)作為文化一部分，其永恒主題是“認(rèn)識宇宙，也認(rèn)識人類自己”。在這個探索過程中，它追求一個完全確定、完全可靠知識，把理性思維力量發(fā)揮得淋漓盡致，是一個理性精神。它提供了一個思維方法與模式，提供了一個最有力工具，提供了一個思維合理性標(biāo)準(zhǔn)。二、數(shù)學(xué)與人類文化

123/141zwj@數(shù)學(xué)也充滿著理性創(chuàng)新和實(shí)事求是科學(xué)精神，它不停為人們提供新概念、新方法，它促進(jìn)著人類思想解放。數(shù)學(xué)家一個特點(diǎn)就是勇于懷疑自己。數(shù)學(xué)越發(fā)展，取得成就越大，數(shù)學(xué)家就越要問自己基礎(chǔ)是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題地方，也就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)部分，越要找出問題來。二、數(shù)學(xué)與人類文化

124/141zwj@4.信息時代就是數(shù)課時代數(shù)學(xué)發(fā)展，造成了電子計算機(jī)出現(xiàn)與應(yīng)用。電子計算機(jī)發(fā)展，又使數(shù)學(xué)如虎添翼，結(jié)束了數(shù)學(xué)只用紙和筆手工時代，進(jìn)入機(jī)器時代。依靠數(shù)學(xué)，計算機(jī)得以迅猛發(fā)展，使得人類已經(jīng)進(jìn)入了信息時代，計算機(jī)成為各行各業(yè)都離不開主要工具。信息時代就是數(shù)課時代，如今高新技術(shù)本質(zhì)上就是一個數(shù)學(xué)技術(shù)。二、數(shù)學(xué)與人類文化

125/141zwj@數(shù)學(xué)美學(xué)價值3126/141三、數(shù)學(xué)美學(xué)價值美是自然，是一切事物生存和發(fā)展本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識與改造自然工具，她反應(yīng)是自然，當(dāng)然包含著美。美學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中美，以及怎樣去創(chuàng)造美、觀賞美科學(xué)。127/141zwj@三、數(shù)學(xué)美學(xué)價值美好事物一定要具備一些客觀上美特