重積分的運(yùn)用舉例-2省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

重積分利用舉例第1頁(yè)一.體積求體積時(shí)應(yīng)注意：1.立體由哪些曲面圍成；2.體積必須是正值，如圖形含有對(duì)稱(chēng)性，可利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化。第2頁(yè)R化為球系下方程r=2Rcos

..

Mrz

0xy

=例1.求半徑為R球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體體積第3頁(yè)ozxy例2.第4頁(yè)az=0ozxy.例2.第5頁(yè)az=0故立體關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)......ozxyD0y

x.例2.a第6頁(yè)2a2a0xz

ya.L聯(lián)立柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？例3.第7頁(yè)例3.2a0xz

ya.L聯(lián)立D...柱面坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)？.第8頁(yè)0xz

yab例4.第9頁(yè)b0xz

ya

問(wèn)題：2用哪種坐標(biāo)系？1是不是曲頂柱體？3交線L方程？交線L...柱系..例4.V=上頂：下底：4

Dxy

?Dxy

...(球系？需分塊兒!)第10頁(yè)二.曲面面積如圖，第11頁(yè)曲面S面積元素曲面面積公式為：第12頁(yè)引理

A

.普通情況，將A分割成若干個(gè)上述類(lèi)型小矩形，對(duì)每一個(gè)用引理，然后迭加再取極限即可。當(dāng)A是矩形,l證：且一邊與l平行則

也是矩形,且b引理成立..a

注：這里

即兩平面法矢量夾角.

證畢二.曲面面積第13頁(yè)xz

y0z=f(x,y)D(xi

,yi)Pi.二.曲面面積第14頁(yè)xz

y0z=f(x,y)D.(xi

,yi)

i

Ai（由引理）Pi...二.曲面面積第15頁(yè)設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面方程為：曲面面積公式為：同理可得第16頁(yè)若光滑曲面方程為隱式則第17頁(yè)1.xyzo1第18頁(yè)1xyzo1.1.第19頁(yè)xyzo11DS.......1.第20頁(yè)2.ayxzo第21頁(yè)2.xyzoDS=共同D:...第22頁(yè)第23頁(yè)2xzy3.o第24頁(yè)3.xzy2問(wèn)題：曲面向哪個(gè)坐標(biāo)面投影？.o只能向xoz平面投影第25頁(yè)xzy2得z=2.Dxz..3.o其中，第26頁(yè)xzy2Dxz....得z=2.3.o.其中，第27頁(yè)例4.

計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在

xoy

面上投影為則出面積A.第28頁(yè)例5.求球面面積公式；解：依據(jù)對(duì)稱(chēng)性，考慮半球面積。第29頁(yè)第30頁(yè)解：第31頁(yè)第32頁(yè)解：取坐標(biāo)系如圖及柱面方程第33頁(yè)第34頁(yè)解：解方程組得兩曲面交線為圓周在平面上投影域?yàn)榈?5頁(yè)Hwp1991(3,5,7）.第36頁(yè)三.物體質(zhì)量第37頁(yè)解：先求該物體體密度由題意且第38頁(yè)Hwp1992,3(2).第39頁(yè)Apr.23Mon.Review重積分應(yīng)用1.幾何應(yīng)用：第40頁(yè)2.物理應(yīng)用：第41頁(yè)2.物理應(yīng)用：第42頁(yè)四.物體質(zhì)心，質(zhì)量元素為第43頁(yè)第44頁(yè)當(dāng)薄片是均勻，質(zhì)心稱(chēng)為形心.第45頁(yè)解：第46頁(yè)第47頁(yè)解：以球心為原點(diǎn)，以物體對(duì)稱(chēng)軸為z軸，建立坐標(biāo)系，形狀對(duì)稱(chēng)，故質(zhì)心在z軸上，即第48頁(yè)第49頁(yè)

.xoy12例.求位于圓r=2sin

和圓r=4sin

之間均勻薄片重心

Hwp1994(2),7(2),8(2).第50頁(yè)五.

物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第51頁(yè)第52頁(yè)對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：第53頁(yè)第54頁(yè)對(duì)坐標(biāo)面距離平方第55頁(yè)解：第56頁(yè)解：第57頁(yè)解：設(shè)體密度為

=k，則第58頁(yè)解：第59頁(yè)第60頁(yè)第61頁(yè)