復變函數(shù)-哈爾濱工程大學省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

《復變函數(shù)與積分變換》zPN1/49《復變函數(shù)與積分變換》主講教師：趙景霞zhaojingxia@2/49課程基本介紹課程名稱：復變函數(shù)與積分變換開課課時：48課時考評方式：30分平時成績（考勤+作業(yè)）70分卷面成績（期末考試）答疑時間及地點：理學樓425周四、周五到11號樓書庫購置作業(yè)本，價錢3元，必買3/49研究對象復變函數(shù)（自變量為復數(shù)函數(shù)）主要任務研究復變數(shù)之間相互依賴關系，詳細地就是復數(shù)域上微積分。主要內容復變函數(shù)積分、級數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹4/49學習方法復變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復數(shù)域內推廣和發(fā)展，它們之間有許多相同之處。但又有不一樣之處，在學習中要善于比較、區(qū)分、尤其要注意復數(shù)域上特有那些性質與結果。5/49復變函數(shù)發(fā)展過程復數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。但在十八世紀以前，因為對復數(shù)概念及性質了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復數(shù)看作不能接收“虛數(shù)”。6/49直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步說明了復數(shù)幾何意義和物理意義，澄清了復數(shù)概念，而且應用復數(shù)和復變函數(shù)研究了流體力學等方面一些問題。復數(shù)才被人們廣泛認可接收，復變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復變函數(shù)發(fā)展過程7/49復變函數(shù)發(fā)展過程1774年，歐拉在他一篇論文中考慮了由復變函數(shù)積分導出兩個方程。比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他關于流體力學論文中，就已經(jīng)得到了它們。所以，以后人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力課時，作了更詳細研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。8/49復變函數(shù)論全方面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分直接擴展統(tǒng)治了十八世紀數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新分支統(tǒng)治了十九世紀數(shù)學。當初數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒數(shù)學分支，而且稱為這個世紀數(shù)學享受，也有些人稱贊它是抽象科學中最友好理論之一。復變函數(shù)發(fā)展過程9/49二十世紀以來，復變函數(shù)已被廣泛地應用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支聯(lián)絡也日益親密。復變函數(shù)發(fā)展過程10/49第一章復數(shù)與復變函數(shù)第一講復數(shù)及復平面學習關鍵點掌握復數(shù)意義及代數(shù)運算掌握復平面與復數(shù)表示方法掌握復數(shù)乘冪與方根11/49§1復數(shù)及其代數(shù)運算1.復數(shù)概念

復數(shù)z實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)12/49

普通,任意兩個復數(shù)不能比較大小。復數(shù)相等2.四則運算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)13/49復數(shù)運算滿足加法交換律、結合律；乘法交換律、結合律和分配律。14/49共軛復數(shù)性質定義若z=x+iy,稱

z=x-

iy為z共軛復數(shù).(conjugate)3.共軛復數(shù)15/4916/4917/49解：18/49§2復數(shù)幾何表示1.點表示橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面普通稱為z-平面，w-平面等。19/492.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0時，幅角無意義。

20/49幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，21/49當z落于一,四象限時，不變。

當z落于第二象限時，加p。

當z落于第三象限時，減p.

22/49依據(jù)向量運算及幾何知識，我們能夠得到兩個主要不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z123/493.三角表示法能夠用復數(shù)模與輻角來表示非零復數(shù)z4.指數(shù)表示法yox24/49例1例2例325/49例1解：26/49例2解：27/49例2解：28/49例3證實：29/49例3證實：30/49§3復數(shù)乘冪與方根1.復數(shù)乘積與商利用復數(shù)三角表示，我們能夠更簡單表示復數(shù)乘法與除法集合相等定理：31/49對除法，有將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法幾何意義32/49例1解：33/4934/492.復數(shù)乘冪則有：——德摩弗(DeMoivre)公式35/493.復數(shù)方根36/49而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。37/49例2例338/49例239/49例340/4941/49幾何上，n個值是以原點為中心，為半徑圓周上n個等分點，即它們是內接于該圓周正n邊形n個頂點。xyo42/49ONzP4.復球面與無窮遠點球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切球面，過O點作z平面垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。對于平面上任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。43/49從幾何上能夠看出：z平面上每個以原點為圓心圓周對應于球面上某一個緯圈;N這個圓周以外點則對應于對應緯圈以北點，而且若點