復(fù)變函數(shù)-哈爾濱工程大學(xué)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》zPN1/49《復(fù)變函數(shù)與積分變換》主講教師：趙景霞zhaojingxia@2/49課程基本介紹課程名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)與積分變換開(kāi)課課時(shí)：48課時(shí)考評(píng)方式：30分平時(shí)成績(jī)（考勤+作業(yè)）70分卷面成績(jī)（期末考試）答疑時(shí)間及地點(diǎn)：理學(xué)樓425周四、周五到11號(hào)樓書(shū)庫(kù)購(gòu)置作業(yè)本，價(jià)錢(qián)3元，必買(mǎi)3/49研究對(duì)象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間相互依賴(lài)關(guān)系，詳細(xì)地就是復(fù)數(shù)域上微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、保形映射，積分變換等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程基本介紹4/49學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)推廣和發(fā)展，它們之間有許多相同之處。但又有不一樣之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)分、尤其要注意復(fù)數(shù)域上特有那些性質(zhì)與結(jié)果。5/49復(fù)變函數(shù)發(fā)展過(guò)程復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，因?yàn)閷?duì)復(fù)數(shù)概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接收“虛數(shù)”。6/49直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步說(shuō)明了復(fù)數(shù)幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)概念，而且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛認(rèn)可接收，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)發(fā)展過(guò)程7/49復(fù)變函數(shù)發(fā)展過(guò)程1774年，歐拉在他一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)積分導(dǎo)出兩個(gè)方程。比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他關(guān)于流體力學(xué)論文中，就已經(jīng)得到了它們。所以，以后人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力課時(shí)，作了更詳細(xì)研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。8/49復(fù)變函數(shù)論全方面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)。當(dāng)初數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒數(shù)學(xué)分支，而且稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)享受，也有些人稱(chēng)贊它是抽象科學(xué)中最友好理論之一。復(fù)變函數(shù)發(fā)展過(guò)程9/49二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支聯(lián)絡(luò)也日益親密。復(fù)變函數(shù)發(fā)展過(guò)程10/49第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一講復(fù)數(shù)及復(fù)平面學(xué)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)意義及代數(shù)運(yùn)算掌握復(fù)平面與復(fù)數(shù)表示方法掌握復(fù)數(shù)乘冪與方根11/49§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)概念

復(fù)數(shù)z實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)12/49

普通,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等2.四則運(yùn)算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)13/49復(fù)數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。14/49共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)定義若z=x+iy,稱(chēng)

z=x-

iy為z共軛復(fù)數(shù).(conjugate)3.共軛復(fù)數(shù)15/4916/4917/49解：18/49§2復(fù)數(shù)幾何表示1.點(diǎn)表示橫坐標(biāo)軸稱(chēng)為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱(chēng)為虛軸；復(fù)平面普通稱(chēng)為z-平面，w-平面等。19/492.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0時(shí)，幅角無(wú)意義。

20/49幅角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，21/49當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加p。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減p.

22/49依據(jù)向量運(yùn)算及幾何知識(shí)，我們能夠得到兩個(gè)主要不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z123/493.三角表示法能夠用復(fù)數(shù)模與輻角來(lái)表示非零復(fù)數(shù)z4.指數(shù)表示法yox24/49例1例2例325/49例1解：26/49例2解：27/49例2解：28/49例3證實(shí)：29/49例3證實(shí)：30/49§3復(fù)數(shù)乘冪與方根1.復(fù)數(shù)乘積與商利用復(fù)數(shù)三角表示，我們能夠更簡(jiǎn)單表示復(fù)數(shù)乘法與除法集合相等定理：31/49對(duì)除法，有將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法幾何意義32/49例1解：33/4934/492.復(fù)數(shù)乘冪則有：——德摩弗(DeMoivre)公式35/493.復(fù)數(shù)方根36/49而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。37/49例2例338/49例239/49例340/4941/49幾何上，n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周正n邊形n個(gè)頂點(diǎn)。xyo42/49ONzP4.復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)球極平面射影法取一個(gè)在原點(diǎn)O與z平面相切球面，過(guò)O點(diǎn)作z平面垂線(xiàn)與球面交于N點(diǎn)（稱(chēng)為北極或者球極）。對(duì)于平面上任一點(diǎn)z，用一條空間直線(xiàn)把它和球極連接起來(lái)，交球面于P。43/49從幾何上能夠看出：z平面上每個(gè)以原點(diǎn)為圓心圓周對(duì)應(yīng)于球面上某一個(gè)緯圈;N這個(gè)圓周以外點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)緯圈以北點(diǎn)，而且若點(diǎn)