關(guān)于范氏氣體熱力學(xué)性質(zhì)的討論

關(guān)于范氏氣體熱力學(xué)性質(zhì)的討論

一般來說，《熱學(xué)》教科書只是對理想氣體的性質(zhì)進(jìn)行了深入研究，而對范氏氣體沒有給予相同的探討。在這項工作中，我們討論了每個熱態(tài)氣體的熱容量、多方指數(shù)、過程方程和能量轉(zhuǎn)化。我們知道,所謂范氏氣體,就是對理想氣體作了一定修正后的實際氣體.它滿足的物態(tài)方程為[Ρ+(ν2a/V2)](V-νb)=νRΤ[P+(ν2a/V2)](V?νb)=νRT,與理想氣體的物態(tài)方程PV=νRT相比,它進(jìn)行了兩項修正.為使下面的推導(dǎo)過程簡單,我們僅考慮1摩爾的范氏氣體的情況.1范氣體的各種力學(xué)過程1.1范氏氣體m值的計算對于1摩爾的范氏氣體,其狀態(tài)方程為(Ρ+av2)(v-b)=RΤ.(1)(P+av2)(v?b)=RT.(1)由熱力學(xué)第一定律的微分形式dU=dQ+dA,其中dQ=CdT(C為摩爾熱容),dA=-Pdv,所以dU=CdT-Pdv.而范氏氣體的內(nèi)能為U=CvΤ-av.(2)U=CvT?av.(2)dU=CvdΤ+av2dv.故CvdT+(a/v2)dv=CdT-Pdv,即(Ρ+av2)dv+(Cv-C)dΤ=0.(3)將式(1)代入式(3)[RT/(v-b)]dv+(Cv-C)dT=0,dvv-b+Cv-CRdΤΤ=0.設(shè)C、Cv與溫度無關(guān),積分得ln(v-b)+Cv-CRlnΤ=常數(shù).即T(Cv-C)/R(v-b)=常數(shù)或Τ(v-b)RCv-C=常數(shù).(4)再將式(4)代入式(1)得1R(Ρ+av2)(v-b)1+RCv-C=常數(shù).令n=1+RCv-C=1-RC-Cv.(5)得(Ρ+av2)(v-b)n=常數(shù).(6)這樣,我們便得到了在多方過程中范氏氣體的P、v關(guān)系.其中n為多方指數(shù).同樣,我們還可得到范氏氣體多方過程方程的T、v關(guān)系.將式(5)代入式(4)得Τ(v-b)n-1=常數(shù).(7)1.2范氏氣體cv與cp的關(guān)系由熱容量的定義C=dQ/dT知,不論是理想氣體還是范氏氣體,各熱力學(xué)過程的摩爾熱容量為C=Cv(等容過程);C=Cp(等壓過程);C=∞(等溫過程);C=0(絕熱過程).對理想氣體Cv與Cp之間滿足邁耳公式Cp-Cv=R,而對范氏氣體而言,它滿足下面的關(guān)系.由Cp-Cv=Τ(?Ρ?Τ)v(?v?Τ)p=[Ρ+(?U?v)Τ](?v?Τ)p.(8)而(?U?v)Τ=av2.(9)把式(1)展開f(P,v,T)=Pv+(a/v)-Pb-(ab/v2)-RT=0.故(?f?Τ)p=Ρ(?v?Τ)p-av2(?v?Τ)p+2abv3(?v?Τ)p-R=0.得(?v?Τ)p=RΡ-av2+2abv3=RΡ+av2-2av2+2abv3=RRΤv-b-2a(v-b)v3.(10)將式(9)、(10)代入式(8)得Cp-Cv=(Ρ+av2)?RRΤv-b-2a(v-b)v3=(RΤv-b)RRΤv-b-2a(v-b)v3=R1-2a(v-b)2RΤv3.(11)式(11)即為范氏氣體Cv與Cp之間的關(guān)系.1.3范氏氣體等溫v-b的動力學(xué)方程由式(5),C=Cv(等容過程)得n=∞;C=Cp(等壓過程)得n=1-RCp-Cv=2a(v-b)2RΤv3;C=∞(等溫過程)得n=1;C=0(絕熱過程)得n=Cv+RCv.當(dāng)是理想氣體時,等壓過程的n=0,絕熱過程的n=Cp/Cv=γ,這些結(jié)論與理想氣體的多方指數(shù)相吻合.而范氏氣體在各熱力學(xué)過程的過程方程為v-b=常數(shù)(等容過程);P=常數(shù)(等壓過程);[P+(a/v2)](v-b)=常數(shù)(等溫過程);[P+(a/v2)](v-b)(Cv+R)/Cv=常數(shù)(絕熱過程).2范氣體在不同加熱過程中的能量轉(zhuǎn)化2.1等載過程外界對系統(tǒng)作的功A=0.內(nèi)能增量[由式(2)]ΔU=Cv(T2-T1).吸收的熱量Q=ΔU=Cv(T2-T1).2.2吸收的熱量q=cpt1,把控以cpt1-cpt1-b2.內(nèi)能增量[由式(2)]ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].吸收的熱量Q=Cp(T2-T1).外界作的功A=ΔU-Q=-Cp(T2-T1)+Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)]=-(Cp-Cv)(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].2.3系統(tǒng)作的功能內(nèi)能增量[由式(2)]ΔU=-a[(1/v2)-(1/v1)].外界對系統(tǒng)作的功A=-∫v2v1Ρdv=-∫v2v1(RΤv-b-av2)dv=-RΤlnv2-bv1-b-a(1v2-1v1).吸收的熱量Q=ΔU-A=RTln(v2-b)/(v1-b).2.4dva系統(tǒng)環(huán)境吸收的熱量Q=0.內(nèi)能增量[由式(2)]ΔU=∫21dU=∫21(CvdΤ+av2dv)=∫Τ2Τ1CvdΤ+∫Τ2Τ1av2dv=Cv(Τ2-Τ1)-a(1v2-1v1).外界對系統(tǒng)作的功A=ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].2.5范德瓦爾氣體的力學(xué)特性由多方過程方程(Ρ+av2)(v-b)n=(Ρ1+av12)(v1-b)n=(Ρ2+av22)(v2-b)n.則外界對系統(tǒng)作的功A=-∫v2v1Ρdv=-∫v2v1[(Ρ1+av12)(v1-b)n1(v-b)n-av2)dv=-(Ρ1+av12)(v1-b)n11-n[(v2-b)1-n-(v1-b)1-n]-a(1v2-1v1)=Rn-1(Τ2-Τ1)-a(1v2-1v1).內(nèi)能的增量ΔU=Cv(T2-T1)-a[(1/v2)-(1/v1)].吸收的熱