安徽省合肥市廬巢八校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期第二次集中練習(xí)高二數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二項分布的方差公式可求得的值.【詳解】，因此.故選：C.【點睛】本題考查二項分布的方差的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．若在內(nèi)取值的概率為0.4，則在內(nèi)取值的概率為A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】【分析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，得到曲線關(guān)于對稱，根據(jù)曲線的對稱性得到和的概率是相等的，從而做出內(nèi)取值的概率，得到結(jié)果．【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，曲線關(guān)于對稱，，，故選：A3.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有3條，另一組有4條，且這兩組平行線相交，可以構(gòu)成不同的平行四邊形個數(shù)為（）A.10 B.12 C.16 D.18【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件，從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，由分步乘法計數(shù)原理，即可得出結(jié)果.【詳解】因為平面內(nèi)有兩組平行線，一組有3條，另一組有4條，且這兩組平行線相交，因此從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，所以構(gòu)成不同的平行四邊形個數(shù)為.故選：D.4.已知事件A，B，且則P(B)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合條件概率公式，由，再由得到，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意，，易知,所以，所以.故選：B.5.把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，則試驗成功的概率為（）A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64【答案】A【解析】【分析】【詳解】設(shè)A＝“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球”，B＝“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是紅球”，則容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝，P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59.6.若，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用賦值法構(gòu)造關(guān)于的方程，解之即可取得的值.【詳解】令，由可得即故選：C7.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)，，為整數(shù)，若和被除所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是（）A.2011 B.2012 C.2013 D.2014【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知中和對模同余的定義，結(jié)合二項式定理，可以求出，結(jié)合，對照四個選項中的數(shù)字，可得出答案.【詳解】由題意可得：，由二項式定理可得：，即除以的余數(shù)為，因為，所以的值除以的余數(shù)也為，觀察選項，只有2011除以的余數(shù)為，則的值可以是2011.故選：A8.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入元與年產(chǎn)量的關(guān)系是，則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是（）A.150 B.200C.250 D.300【答案】D【解析】【分析】利用分段函數(shù)模型表示出總利潤元與年產(chǎn)量的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求解總利潤最大時，年產(chǎn)量的值即可.【詳解】解：設(shè)總利潤為元，則，則令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)時有極大值，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)，綜上，當(dāng)時，取極大值，也是最大值.故選：D.二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9.若的展開式中各項系數(shù)和為32，則下列說法正確的是（）A. B.展開式中的系數(shù)為15C.展開式中的系數(shù)為5 D.展開式中常數(shù)項為2【答案】ACD【解析】【分析】由題可得，可得，然后根據(jù)的展開式的通項公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可得，所以，故A正確；所以，又的展開式的通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為，故B錯誤，C正確；所以展開式中常數(shù)項為，故D正確.故選：ACD.10.在4件產(chǎn)品中，有一等品2件，二等品1件（一等品與二等品都是正品），次品1件，現(xiàn)從中任取2件，則下列說法正確的是（）A.兩件都是一等品的概率是B.兩件中有1件是次品的概率是C.兩件都是正品的概率是D.兩件中至少有1件是一等品的概率是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計算，逐項驗證即可.【詳解】解：兩件都是一等品的概率為，兩件中有一件次品的概率為，兩件都是正品的概率為，兩件中至少有1件是一等品的概率為：．故選：ABD．11.某校高二年級進(jìn)行選課走班，已知語文、數(shù)學(xué)、英語是必選學(xué)科，另外需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科中任選3門進(jìn)行學(xué)習(xí).現(xiàn)有甲、乙、丙三人，若同學(xué)甲必選物理，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲的不同的選法種數(shù)為10B.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對立事件C.乙同學(xué)在選物理的條件下選化學(xué)的概率是D.乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是【答案】AD【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)從剩下5門課中選兩門判斷出A正確，然后根據(jù)甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全不選化學(xué)是對立事件判斷出B錯誤，再然后根據(jù)條件概率的計算判斷出C錯誤，最后根據(jù)乙、丙兩名同學(xué)各自選物理的概率判斷出D正確.【詳解】A項：由于甲必選物理，故只需從剩下5門課中選兩門即可，即種選法，故A正確；B項：甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全不選化學(xué)是對立事件，故B錯誤；C項：由于乙同學(xué)選了物理，乙同學(xué)選化學(xué)的概率是，故C錯誤；D項：因為乙、丙兩名同學(xué)各自選物理的概率，所以乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是，D正確，故選：AD.【點睛】本題考查古典概型的概率的相關(guān)計算，考查組合的應(yīng)用以及組合數(shù)的運(yùn)算，考查對立事件的判定以及條件概率的計算，考查運(yùn)算求解能力，考查推理能力，是中檔題.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，的圖象位于軸下方B.有且僅有一個極值點C.有且僅有兩個極值點D.存在，使得【答案】AB【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與極值、最值的關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)時，，，所以，故A正確；由題意知，，令，在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，使得，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有且僅有一個極值點.故B正確，C錯誤；所以，故D錯誤，故選:AB.三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13.的展開式中含項的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】由展開式的通項和展開式的通項確定含項的系數(shù).【詳解】展開式的通項為.令，則，展開式的通項為，令，則的展開式中含項的系數(shù)為.故答案：14.將一顆公正六面骰子拋擲1次，記事件為“擲得的點數(shù)為2”，事件為“擲得的點數(shù)為偶數(shù)”.則_________.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，計算與，利用條件概率公式求解即可.詳解】由題，，，則，故答案為：15.盒中有形狀大小都相同的黑色小球3個和紅色小球2個，從中不放回的摸3次，每摸1個小球，設(shè)摸到的紅色小球的個數(shù)為，則______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)摸到紅色小球的個數(shù)為，取值可能為：0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，可求得的分布列，從而可求出.【詳解】設(shè)摸到的紅色小球的個數(shù)為，取值可能為：0，1，2，則，，．∴的分布列為：012∴．故答案為：16.已知函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知在內(nèi)能成立，利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，則將問題轉(zhuǎn)化為，從而得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)，∴在上能成立，∴，令，即為，∵的最大值為，∴，∴實數(shù)的取值范圍為，故選答案為．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)存在減區(qū)間，經(jīng)常會運(yùn)用分離變量，轉(zhuǎn)化為求最值．屬于中檔題．四、解答題（第17題10分，其余均為12分，共6小題70分）17.現(xiàn)有如下定義：除最高數(shù)位上的數(shù)字外，其余每一個數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)叫“幸福數(shù)”（如3467和1579都是四位“幸福數(shù)”）．（1）求四位“幸福數(shù)”的個數(shù)；（2）如果把所有的四位“幸福數(shù)”按照從小到大的順序排列，求第125個四位“幸福數(shù)”．【答案】（1）個；（2）5789【解析】【分析】（1）由幸福數(shù)的定義結(jié)合組合公式求解即可；（2）分類討論最高位數(shù)字，由組合公式結(jié)合分類加法計數(shù)原理得出第125個四位“幸福數(shù)”.【小問1詳解】根據(jù)題意，四位“幸福數(shù)”中不能有0，故只需在數(shù)字1，2，3，…，9中任取4個，將其從小到大排列，即可得到一個四位“幸福數(shù)”，每種取法對應(yīng)1個“幸福數(shù)”，則四位“幸福數(shù)”共有個.【小問2詳解】對于所有的四位“幸福數(shù)”，1在最高數(shù)位上的有個，2在最高數(shù)位上的有個，3在最高數(shù)位上的有個，4在最高數(shù)位上的有個，5在最高數(shù)位上的有個.因為，所以第125個四位“幸福數(shù)”是最高數(shù)位為5的最大的四位“幸福數(shù)”，為5789.18.（1）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少？（2）有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占，二廠生產(chǎn)的占35%，三廠生產(chǎn)的占，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用條件概率的計算公式算出即可；（2）設(shè)事件為“任取一件為次品”，事件為“任取一件為廠的產(chǎn)品”，，任何利用算出即可.【詳解】設(shè)表示“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，設(shè)表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，由題意得所以已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是設(shè)事件為“任取一件為次品”，事件為“任取一件為廠的產(chǎn)品”，，兩兩互斥，且，由全概率公式得因為故所以從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是19.在下列三個條件中任選一個條件，補(bǔ)充在問題中的橫線上，并解答．條件①：展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為22；條件②：展開式中所有項的二項式系數(shù)之和減去展開式中所有項的系數(shù)之和等于64；條件③：展開式中常數(shù)項為第三項．問題：已知二項式，若______，求：（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）展開式中所有的有理項；（3）展開式中所有項的系數(shù)之和．【答案】（1）；（2），，，（3）.【解析】【分析】（1）利用二項展開式的性質(zhì)求出，再求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）設(shè)第項為有理項，，求出即得解；（3）利用賦值法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】解：選①，由，得（負(fù)值舍去）．選②，令，可得展開式中所有項的系數(shù)之和為0．由得．選③，設(shè)第項為常數(shù)項，，由，得．由得展開式的二項式系數(shù)最大為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為．【小問2詳解】解：設(shè)第項為有理項，，因為，，，所以，則有理項為，，，．【小問3詳解】在中，令，即，所以展開式中所有項的系數(shù)之和為.20.在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某張券中有一等獎券張，可獲價值元的獎品；有二等獎券張，每張可獲價值元的獎品；其余張沒有獎．某顧客從此張券中任抽張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值(元)的概率分布列和期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為：．【解析】【分析】（1）利用對立事件公式可得該顧客中獎的概率為（2）由超幾何分布求得分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望可得期望值為.【小問1詳解】解法一：，即該顧客中獎的概率為．解法二：，即該顧客中獎的概率為．【小問2詳解】的所有可能值為：，，，，(元)．，，的分布列為：從而期望.數(shù)學(xué)期望為:.21.2021年3月5日李克強(qiáng)總即在政府作報告中特別指出：扎實做好碳達(dá)峰，碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達(dá)峰行動方案，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)．某環(huán)保機(jī)器制造商為響應(yīng)號召，對一次購買2臺機(jī)器的客戶推出了兩種超過機(jī)器保修期后5年內(nèi)的延保維修方案：方案一；交納延保金5000元，在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)1000元；方案二：交納延保金6230元，在延保的5和內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)t元；制造商為制定的收取標(biāo)準(zhǔn)，為此搜集并整理了200臺這種機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計得到下表維修次數(shù)0123機(jī)器臺數(shù)20408060以這200臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金與維修費(fèi)用之和的均值為決策依據(jù)，為使選擇方案二對客戶更合算，應(yīng)把t定在什么范圍？【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表，維修0、1、2、3次的機(jī)器的比例分別為、、、，而2臺機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)共需維修的次數(shù)可能有，對應(yīng)的基本事件為、、、、、、，進(jìn)而可求各可能值的概率，寫出分布列即可.（2）根據(jù)兩個方案的描述，結(jié)合（1）所得的分布列，分別寫出方案一、方案二所需費(fèi)用的分布列，進(jìn)而求它們的期望，要使選擇方案二對客戶更合算有，即可求的范圍.【詳解】（1）由題意得，，，，，，，，∴X的分布列為X0123456P（2）選擇方案一：所需費(fèi)用元，則時，，時，；時，；時，，時，，∴的分布列為50006000700080009000，選擇方案二：所需費(fèi)用為元，則時，；時，；時，，則的分布列為62