考點10 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

考點10利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值填空題1.(2018·全國卷I高考理科·T16)已知函數(shù)fx=2sinx+sin2x,則fx的最小值是.

【解題指南】本題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值問題,在求解的過程中,需要明確相關(guān)的函數(shù)的求導(dǎo)公式,需要明白導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,確定出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間,進而求得函數(shù)的最小值點,從而求得相應(yīng)的三角函數(shù)值,代入求得函數(shù)的最小值.【解析】方法一:f′(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)cosx所以當cosx<12時函數(shù)單調(diào)減,當cosx>12從而得到函數(shù)的減區(qū)間為2kπ-5函數(shù)的增區(qū)間為2kπ-π所以當x=2kπ-π3,k∈Z時,函數(shù)f(x)取得最小值此時sinx=-32,sin2x=-3所以f(x)min=2×-32-32方法二:因為f(x)=2sinx+sin2x,所以f(x)最小正周期為T=2π,所以f′(x)=2(cosx+cos2x)=2(2cos2x+cosx-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cosx-1=0,所以cosx=12或cosx=-1所以當cosx=12,為函數(shù)的極小值點,即x=π3或x=當cosx=-1,x=π,所以f53π=-323,fπ3=323,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f答案:-3二、解答題2.(12分)(2018·全國卷I高考文科·T21)已知函數(shù)fx=aex-lnx-1.(1)設(shè)x=2是fx的極值點.求a,并求fx的單調(diào)區(qū)間.(2)證明:當a≥1e時,fx≥0【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=aex-1x由題設(shè)知,f′(2)=0,所以a=12從而f(x)=12e2ex-lnx-1,f′(x)=12e當0<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.(2)當a≥1e時,f(x)≥exe-ln設(shè)g(x)=exe-lnx-1,則g′(x)=ex當0<x<1時,g′(x)<0;當x>1時,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點.故當x>0時,g(x)≥g(1)=0.因此,當時a≥1e時,f(x)≥03.(2018·全國Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函數(shù)fx=2+x+ax(1)若a=0,證明:當-1<x<0時,fx<0;當x>0時,fx>0.(2)若x=0是fx的極大值點,求a.【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).試題難度:難.【解析】(1)當a=0時,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-x1+設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)=ln(1+x)-x1+x,則g′(x)=當-1<x<0時,g′(x)<0;當x>0時,g′(x)>0.故當x>-1時,g(x)≥g(0)=0,當且僅當x=0時,g(x)=0,從而f′(x)≥0,當且僅當x=0時,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增.又f(0)=0,故當-1<x<0時,f(x)<0;當x>0時,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,當x>0時,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.(ii)若a<0,設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)2+x由于當|x|<min1,1|a|時,2+x+ax2>0,故h(x)與f又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點,當且僅當x=0是h(x)的極大值點.h′(x)=11+x=x2如果6a+1>0,則當0<x<-6a且|x|<min1,1|a|時,h′(x)>0,故x=0不是h如果6a+1<0,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故當x∈(x1,0),且|x|<min1,1|a|時,h′(x)<0,所以x=0不是h如果6a+1=0,則h′(x)=x3則當x∈(-1,0)時,h′(x)>0;當x∈(0,1)時,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的極大值點,從而x=0是f(x)的極大值點.綜上,a=-164.(2018·全國Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函數(shù)fx=ax2(1)求曲線y=fx在點0,-1(2)證明:當a≥1時,fx+e≥0.【命題意圖】考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用中的求切線,證明不等式成立問題,意在考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算的掌握情況,培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想,以及運算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】(1)f(x)的定義域為R,f′(x)=-a顯然f(0)=-1,即點(0,-1)在曲線y=f(x)上,所求切線斜率為k=f′(0)=2,所以切線方程為y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一邊為0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,當a≥1時,方程g(x)的判別式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-1a,2,且-1x,f′(x),f(x)的關(guān)系如下x--1-2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-1a=-e1a所以0<1a≤1,1<e1a≤e,-e1a≥-e,f②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,ex>0,所以f(x)=ax2+x-1e綜上,當a≥1時,f(x)+e≥0.方法二(充要條件):①當a=1時,f(x)=x2+x-1ex.顯然ex>0,要證f(x即證h(x)=x2+x-1+e·ex≥0,h′(x)=2x+1+e·ex,觀察發(fā)現(xiàn)h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的關(guān)系如下x(-∞,-1)-1(-1,+∞)h′(x)-0+h(x)↘極小值↗所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②當a>1時,由①知,x2+x-1ex≥-e,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=ax2+x-1ex≥x2+綜上,當a≥1時,f(x)+e≥0.方法三(分離參數(shù)):當x=0時,f(x)+e=-1+e≥0成立.當x≠0時,f(x)+e≥0等價于ax2等價于ax2+x-1≥-e·ex,即ax2≥-e·ex-x+1等價于a≥-e·ex-x+1x2=k(x),k′(x)=(x令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的關(guān)系如下x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,2)2(2,+∞)k′(x)+0-+0-k(x)↗極大值↘↗極大值↘又因為k(-1)=1,k(2)=-1+e所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,綜上,當a≥1時,f(x)+e≥0.5.(本小題13分)(2018·北京高考理科·T18)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程與x軸平行,求a.(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.【命題意圖】考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的切線問題,極值問題,以及參數(shù)取值范圍問題,意在考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算的掌握情況,培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想,以及運算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】(1)因為f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f′(1)=(1-a)e.由題設(shè)知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時f(1)=3e≠0,所以a的值為1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>12,則當x∈1a,2時,當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在x=2處取得極小值.若a≤12,則當x∈(0,2)時,x-2<0,ax-1≤12所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是(12,+∞)6.(本小題13分)(2018·北京高考文科·T19)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為0,求a.(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.【命題意圖】考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的切線問題,極值問題,以及參數(shù)取值范圍問題,意在考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算的掌握情況,培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想,以及運算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】(1)因為f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(2)=(2a-1)e2,由題設(shè)知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex若a>1,則當x∈1a,1時,f′(當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在x=1處取得極小值.若a≤1,則當x∈(0,1)時,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)ex.①當a=0時,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大值↘所以f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.②當a>0時,令f′(x)=0得x1=1a,x2=1(ⅰ)當x1=x2,即a=1時,f′(x)=(x-1)2ex≥0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)無極值,不合題意.(ⅱ)當x1>x2,即0<a<1時,f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,1)1111f′(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.(ⅲ