第51講直線與平面平面與平面垂直

第51講直線與平面、平面與平面垂直知識(shí)梳理1.直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是_0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝α,l⊥α))?l⊥α1、【2022年全國(guó)乙卷】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．平面B1EF⊥平面BDD1 C．平面B1EF//平面A1AC 【答案】A【解析】在正方體ABCD?AAC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面所以平面B1EF⊥平面BDD如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則B1C1則EF=?1,1,0,A設(shè)平面B1EF的法向量為則有m?EF=?同理可得平面A1BD的法向量為平面A1AC的法向量為平面A1C1D的法向量為所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗云矫鍮1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樗云矫鍮1EF與平面A1故選：A.2、【2021年新高考2卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.3、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．4、【2022年全國(guó)甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；【解析】(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，BD=D所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA；5、【2022年全國(guó)乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；【解析】由于AD=CD，E是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE.由于AD=CDBD=BD∠ADB=∠CDB，所以所以AB=CB，故AC⊥BD，由于DE∩BD=D，DE,BD?平面BED，所以AC⊥平面BED，由于AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.1、(2022·哈爾濱模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α是平面，m，n不在α內(nèi)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．m⊥α，n∥α，則m⊥nB．m⊥α，n⊥α，則m∥nC．m⊥α，m⊥n，則n∥αD．m⊥n，n∥α，則m⊥α【答案】D【解析】對(duì)于A，∵n∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線n的平面β與平面α的交線l平行于n，∵m⊥α，l?α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正確；對(duì)于B，若m⊥α，n⊥α，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得m∥n，故B正確；對(duì)于C，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n?α，∴n∥α，故C正確；對(duì)于D，若m⊥n，n∥α，則m∥α或m與α相交或m?α，而m?α，則m∥α或m與α相交，故D錯(cuò)誤．2、已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出α⊥β的是()A．m⊥l，m?β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m?αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．l⊥α，m∥l，m∥β【答案】D【解析】對(duì)于A，有可能出現(xiàn)α，β平行這種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，會(huì)出現(xiàn)平面α，β相交但不垂直的情況，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，m∥l，m⊥α，l⊥β?α∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，l⊥α，m∥l?m⊥α，又由m∥β?α⊥β，故D正確．3、.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因?yàn)镈F∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．4、如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC【答案】B【解析】由題意得BC⊥AC，因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因?yàn)锽C?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故選B.5、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)【答案】：DM⊥PC(答案不唯一)【解析】：由定理可知，BD⊥PC．∴當(dāng)DM⊥PC時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．考向一線面垂直的判定與性質(zhì)例1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．【證明】：(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．變式1、如圖，在四棱錐PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．求證：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.【解析】(1)因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因?yàn)锳B∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如圖，取PA的中點(diǎn)M，連接MD，ME.因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME＝eq\f(1,2)AB，ME∥AB.又因?yàn)镈F＝eq\f(1,2)AB，DF∥AB，所以ME＝DF，ME∥DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD.因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA.因?yàn)锳B⊥平面PAD，MD?平面PAD，所以MD⊥AB.因?yàn)镻A∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.變式2、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E，連接DE.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【解析】(1)由題意，知E為B1C的中點(diǎn)．又D為AB1的中點(diǎn)，所以DE∥AC.因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C.因?yàn)锳C?平面B1AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.方法總結(jié)；1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.考向二面面垂直的判定與性質(zhì)例2、如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，DE⊥PA.（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.【證明】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接,因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以有,又因?yàn)樗睦忮FP﹣ABCD的底面為矩形,E是AB的中點(diǎn),所以有，因此有,所以四邊形是平行四邊形，因此有,平面PAD，平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）在矩形中，設(shè)交于點(diǎn)，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),所以，因?yàn)?，所以∽，因此，而，所以，而DE⊥PA，平面PAC，所以平面PAC，而平面PDE，因此平面PAC⊥平面PDE.變式1、如圖，在四棱錐PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.【解析】(1)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.又E為PB的中點(diǎn)，所以EH＝eq\f(1,2)AB，EH∥AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，CD∥AB，所以EH＝CD，EH∥CD，所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可得AB⊥FG.又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.方法總結(jié)：(1)判定兩個(gè)平面垂直的方法：①利用定義：證明二面角是直二面角；②利用判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.(2)面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直的證明有時(shí)需要利用平面解析幾何條件．考向三平行與垂直的探索性問題例3如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【證明】(1)圖1連接AC交BD于O，連接OF，如圖1.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE.證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，圖2∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.變式、如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)在三棱臺(tái)ABCDEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，所以DF∥平面ACE.因?yàn)镈F?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，所以DF∥a.(2)線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f(1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，連接GD，如圖1.因?yàn)镃F＝EF，所以GF⊥CE.因?yàn)樵谌馀_(tái)ABCDEF中，AB⊥BC，所以DE⊥EF.由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE.又CF∩EF＝F，CF?平面CBEF，EF?平面CBEF，所以DE⊥平面CBEF，所以DE⊥GF.因?yàn)镚F⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE＝E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，所以GF⊥平面CDE.又GF?平面DFG，所以平面DFG⊥平面CDE.此時(shí)，平面圖如圖2所示，延長(zhǎng)CB，F(xiàn)G相交于點(diǎn)H.因?yàn)镺為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，所以HB＝BC＝eq\f(1,2)EF.由△HGB∽△FGE可知eq\f(BG,EG)＝eq\f(BH,EF)＝eq\f(1,2)，即BG＝eq\f(1,3)BE.圖1圖2方法總結(jié)：平行與垂直中探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)．1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)∥β【答案】C【分析】對(duì)于A：利用線面垂直的定義和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；對(duì)于B：利用面面平行的定義進(jìn)行證明；對(duì)于C：在正方體中取反例否定結(jié)論；對(duì)于D：利用線面平行的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)線面垂直的定義，若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則這條直線垂直于平面β，又有面面垂直的判定定理，即可證明α⊥β.故A成立.對(duì)于B：若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則直線與平面β沒有公共點(diǎn)，所以平面α與平面β沒有公共點(diǎn)，所以α∥β.故B成立.對(duì)于C：如圖示：在正方體中取面為平面α、面為平面β和直線為直線l，滿足平面α⊥平面β，直線lα，但是l∥β.故C不成立.對(duì)于D：若平面α∥平面β，則平面α與平面β沒有公共點(diǎn)，任取直線lα，則直線l與平面β沒有公共點(diǎn)，所以l∥β.故D成立.故選：C2、（2022·江蘇如東·高三期末）（多選題）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n【答案】CD【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】m//n，nα?xí)r，或，A錯(cuò)；m⊥n，nα，與可能平行，也可能有或相交，不一定垂直，B錯(cuò)；若m⊥α，n⊥α，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；m//α，m//β，α∩β＝n，如圖，過作平面交于直線，由得，同理過作平面與交于直線，得，所以，而，所以，又．，則，所以．D正確．故選：CD．3、（2022·江蘇常州·高三期末）（多選題）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱上的定點(diǎn)，且．點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形B．四棱錐的體積最小值為C．存在點(diǎn)，使得直線平面D．任意點(diǎn)，都有直線平面【答案】AB【分析】由已知計(jì)算利用勾