四年級下冊數(shù)學(xué)講義競賽專題：第二講數(shù)列與數(shù)表人教版

數(shù)列與數(shù)表數(shù)列與數(shù)表知識概述知識概述1、數(shù)列：主要包括⑴遞增數(shù)列(等差數(shù)列，等比數(shù)列)，等差數(shù)列為重點(diǎn)考察對象。⑵周期數(shù)列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶復(fù)合數(shù)列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊數(shù)列；例如：斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差數(shù)列通用公式：通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)–1）×公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)–首項(xiàng)）÷公差+1求和公式：總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷23、中項(xiàng)定理：對于任意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。4、數(shù)表規(guī)律給出幾個具體的、特殊的圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論。具體方法和步驟是：⑴通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；⑵猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；⑶驗(yàn)證或證明結(jié)論是否正確。在杯賽考試中主要將圖形規(guī)律與等差數(shù)列結(jié)合到一起來考察。經(jīng)過觀察與歸納找出數(shù)與圖的規(guī)律。觀察是尋找規(guī)律不可少的手段，是發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、歸納規(guī)律的先導(dǎo)，有些問題解答不出來，究其原因，與其說是經(jīng)過觀察與歸納找出數(shù)與圖的規(guī)律。觀察是尋找規(guī)律不可少的手段，是發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、歸納規(guī)律的先導(dǎo)，有些問題解答不出來，究其原因，與其說是“想不出”，不如說是“看不出”。在尋找規(guī)律的過程中，必須要高度重視對數(shù)、形、式等現(xiàn)象的觀察，善于抓住問題的本質(zhì)特征進(jìn)行歸納，從而得出規(guī)律。只有經(jīng)過觀察、思考和試算，發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)、圖形與圖形相互之間的關(guān)系，才能得到題目的答案。同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)，希望你在平時多積累，多歸納，善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一些規(guī)律，因?yàn)閷W(xué)會發(fā)現(xiàn)往往比學(xué)會幾道題目重要得多。名師點(diǎn)題例例1（1）在數(shù)列3、6、9……，201中共有多少數(shù)？（2）在數(shù)列3、6、9……，201和是多少？（3）如果繼續(xù)寫下去，第201個數(shù)是多少？【解析】（1）因?yàn)樵谶@個等差數(shù)列中，首項(xiàng)=3，末項(xiàng)=201，公差=3，所以根據(jù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1,便可求出。項(xiàng)數(shù)=（201-3）3+1=67（2）求和公式=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=（3+201）×67÷2=102×67=6834（3）根據(jù)公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)-1）末項(xiàng)=3+3（201-1）=603，第201個數(shù)是603例例2添在圖中的三個正方形內(nèi)的數(shù)具有相同的規(guī)律，請你根據(jù)這個規(guī)律，確定出A=B=C=；9912320234A3BC【解析】第一組（1+2）×3=9

第二組（2+3）×4=20

第三組（3+4）×5=35

由分析得：A=35，B=4，C=5.例例3用相同的立方體擺成下圖的形式，如果共擺了10層，那么最下面一層有多少個立方體？【解析】第一層：1第二層：1+2第三層：1+2+3第四層：1+2+3+4...第十層：1+2+3+4+…+10=55（1+10）×10÷2

=11×10÷2

=110÷2

=55(個)【鞏固拓展】1、3＋7＋11＋…＋99＝？【解析】3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。2、求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。【解析】末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。3、添在圖中的三個五邊形內(nèi)的數(shù)具有相同的規(guī)律，請你根據(jù)這個規(guī)律，確定出A=B=C=D=；1124375BADC3348521【解析】多線找規(guī)律①中出現(xiàn)123，②出現(xiàn)345，③應(yīng)該為567，所以B=6D=7①中1+3=4，②中3+5=8，③5+D=A，D=7，A=12①中1×7=7②中3×7=21③5×7=35C=354、全部三位數(shù)的和是多少？【解析】所有的三位數(shù)就是從100~999共900個數(shù)，觀察100、101、102、……、998、999這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個公差為1的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公式來解答。（100+999）9002=10999002=494550例1例1圖中是一個堆放鉛筆的V形架,如果最上面一層放60支鉛筆.問一共有多少支鉛筆?【解析】從最底層到最上層每一層堆放的鉛筆支數(shù)組成一個等差數(shù)列,所以一共放鉛筆.(1+60)×60÷2=61×60÷2=3660÷2=1830(支).【鞏固拓展】建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示),求這堆鋼管一共有多少根?！窘馕觥扛鶕?jù)圖可以知道，這是一個以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求鋼管一共有多少根其實(shí)是求這列數(shù)的和。求鋼管一共有多少根,其實(shí)就是求3+4+5+…+9+10的和。項(xiàng)數(shù)=(10-3)÷1+1=8,根據(jù)公式求和為:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。例例2計(jì)算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70=【解析】這是一個綜合數(shù)列求和，我們把原數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開來看奇數(shù)項(xiàng)：偶數(shù)項(xiàng)：把奇數(shù)項(xiàng)的和求出來，偶數(shù)項(xiàng)的和求出來，兩個和相加即為原數(shù)列的和。偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是：，那么奇數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)就是。奇數(shù)項(xiàng)的和：，偶數(shù)項(xiàng)的和：，原數(shù)列的和：?！眷柟掏卣埂坑袃蓚€數(shù)列對應(yīng)關(guān)系如下表所示：

(1)當(dāng)B=37時，A=_________．(2)當(dāng)A=1995時，B=______．【解析】（1）B=37代入項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)–首項(xiàng)）÷公差+1求出為第12項(xiàng)A的第12項(xiàng)：3+（12-1）×2=25（2）當(dāng)A=1995項(xiàng)數(shù)=（1995-3）÷2+1求出為第997項(xiàng)B的第997項(xiàng)：4+（997-1）×3=2992例例3在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列?！窘馕觥浚?）最大三角形面積為（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。(2）火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成?！眷柟掏卣埂坑?根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形,用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個大的等邊三角形,如果這個大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒,那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒?【解析】如果把圖中最上端的一個三角形看做第一層,與第一層緊相連的3個三角形(2個向上的三角形,一個向下的三角形)看做第二層,那么這個圖中一共有10層三角形。不難看出,這10層三角形每層所需火柴棒根數(shù),自上而下依次為:3,6,9,…,3×10。它們成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為3,公差為3,項(xiàng)數(shù)為10。求火柴的總根數(shù),也就是求這個等差數(shù)列各項(xiàng)的和。即:3+6+9+…+30=(3+30)×10÷2=33×5=165(根)這個大的等邊三角形中一共要放165根火柴棒。例例4有50把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多要試多少次?【解析】提示：開第一把鎖時，如果不湊巧，試了49把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開，即開第一把鎖至多需要試49次，同理，開第二把鎖至多需要48次，開第三把鎖至多需試47次，…，等打開第49把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開。解：根據(jù)以上分析,可以把本題轉(zhuǎn)化為求一個等差數(shù)列的和，即49+48+47+…+2+1=(49+1)×49÷2=1225(次)答：至多要試1225次?！眷柟掏卣埂?、有60把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多試多少次?【解析】59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)2、有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知至多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了?【解析】答:一共有8把鎖的鑰匙搞亂了。例1例1（小機(jī)靈杯初賽）有許多等式：2＋4＋6＝1＋3＋5＋38＋10＋12＋14＝7＋9＋11＋13＋416＋18＋20＋22＋24＝15＋17＋19＋21＋23＋5…第十個等式的右邊的和是多少？【解析】前九個等式左邊的數(shù)共有3+4+5+…+11=(3+11)×9÷2=63個數(shù)那么第十個等式左邊的第一個數(shù)就是第64個：根據(jù)通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)–1）×公差2+（64-1）×2=128.所以第十個等式右邊的數(shù)的和：128+130+132+…+150=(128+150)×12÷2=1668例例2（第九屆小機(jī)靈杯五年級復(fù)賽）有若干個根長度相等的火柴棒，把這些火柴棒擺成下面的圖形，找這樣下去，第10個圖中共用了多少根火柴？【解析】把最后一排封底用的火柴分開看。第一個圖，上面用3個，封底用1個第二個圖，上面用3＋7個，封底用3個第三個圖，上面用3＋7＋11個，封底用5個……第十個圖，上面用3＋7＋11＋15＋……＋=210，封底用19個。所以一共用了229根火柴。例例3將一些半徑相同的小圓按如下所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個小圈，第2個圖形中有10個小圈，第3個圖形中有16個小圈，第4個圖形中有24個小圈，…，依此規(guī)律，第6個圖形有___________個小圈?！窘馕觥砍車?個小圓外，中間小圓的規(guī)律是1×2，2×3，3×4，……，第6個圖有6×7＋4＝46個小圓。例例4(第七屆“中環(huán)杯”四年級決賽)有一串這樣的數(shù)字：2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6，2，0，0，6，0，6….共2022個數(shù)。其中共有()個0，()個2，()個6。【解析】經(jīng)過觀察，這個數(shù)列以“2，0，0，6，0，6”為一周期循環(huán)；因?yàn)?022÷6=334……2；所以共有334×3＋1＝1003個0，334×1＋1=335個2，334×2＝668個6。例例5(第六屆“中環(huán)杯”四年級初賽)有一串?dāng)?shù)9286…，從第三個數(shù)字起，每一個數(shù)碼都是它前面兩個數(shù)碼積的個位數(shù)，那么前100個數(shù)碼的和是_______?！窘馕觥恳?yàn)?＋2＝18，2×8＝16，8×6＝48，6×8＝48，8×8＝64，8×4＝32，4×2＝8，…所以這串?dāng)?shù)從第二個開始以“286884”的規(guī)律不斷循環(huán)；因?yàn)?100－1)÷6＝16……3；前100個數(shù)碼的和是9＋(2＋8＋6＋8＋8＋4)×16＋(2×8＋6)＝601。例例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。1、（第9屆中環(huán)杯四年級初賽）計(jì)算：1+11+21+…+1991+2022+2022=【解析】等差數(shù)列求和，項(xiàng)數(shù)：（2022-1）÷10+1=202和：（1+2022）×202÷2=2032122、四（1）班45位同學(xué)舉行一次同學(xué)聯(lián)歡會，同學(xué)們在一起一一握手，且每兩個人只能握一次手，同學(xué)們共握了多少次手？【解析】假設(shè)45位同學(xué)排成一隊(duì)，第1位同學(xué)一次與其他同學(xué)握手，一共握了44次，第2位同學(xué)因與第1位同學(xué)已握手，只需要與另外43位同學(xué)握手，一共握了43次，這樣第3位同學(xué)只需與另外的42位同學(xué)握手，…，依次類推。握手的次數(shù)分別為：44,43,42，…，3,2,1，這樣應(yīng)用等差數(shù)列求和公式即可解答。解：根據(jù)以上分析，可以把本題轉(zhuǎn)化為求一個等差數(shù)列的和即44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）答：同學(xué)們共握了990次手。3、有一堆粗細(xì)均勻的圓木，堆成如下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加1根，最下面一層有95根，問：這堆圓木一共有多少根？【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（層）102892=4539（根）答：這堆圓木一共有4539根。4、（第9屆中環(huán)杯初賽）如圖所示，白色和黑色的三角形按順序排列。當(dāng)兩種三角形的數(shù)量相差12個時，白色三角形有_______個?！窘馕觥棵總€圖形兩種三角形的個數(shù)相差依次成為數(shù)列1，2，3，4，5，第12個圖形黑白三角形相差12，那么白色三角形的個數(shù)1+2+3+…+11=66（個）5、標(biāo)有A,B,C,D,E,F,G,H記號的八盞燈，順次排列一行，每盞燈裝有一個開關(guān)，現(xiàn)在A,C,E,G開著，其余四盞是滅的，小明從燈A開始順次拉開關(guān)，從A到H，再從A開始順次拉動開關(guān)，他這樣拉動次后，滅的燈是