陜西省漢中中學高三第十次模擬考試數(shù)學（理科）試卷

2021年陜西省漢中中學高考數(shù)學十模試卷（理科）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜1}，，則A∩B＝（）A． B． C． D．{x|﹣1≤x＜1}2．設復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|的值為（）A．1 B． C． D．23．關于函數(shù)f（x）＝（lnx）2﹣2lnx，下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）有2個零點 B．函數(shù)f（x）有4個零點 C．e是函數(shù)f（x）的一個零點 D．2e是函數(shù)f（x）的一個零點4．每當臨近春節(jié)時，某酒店便會到處掛滿五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴3個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，已知大燈共60個，小燈共205個．若在該酒店的燈球中，隨機選取兩個燈球，則至少有一個燈球是大燈下綴3個小燈的概率為（）A． B． C． D．5．橢圓＝1（m＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，若∠F1AF2＝，則m＝（）A．1 B． C． D．26．若非零向量，滿足且，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或8．關于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四個命題：甲：x＝1是該方程的根；乙：x＝3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；丁：該方程兩根異號．如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．在的展開式中，除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為（）A．32 B．﹣32 C．33 D．﹣3310．在區(qū)間[﹣3，3]上隨機取一個數(shù)x，使得≥0成立的概率為等差數(shù)列{an}的公差，且a2+a6＝﹣4，若an＞0，則n的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1111．連接雙曲線C1：﹣＝1及C2：﹣＝1的4個頂點的四邊形面積為S1，連接4個焦點的四邊形的面積為S2，則當取得最大值時，雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．12．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，則（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知離散型隨機變量，隨機變量η＝2ξ+1，則η的數(shù)學期望E（η）＝．14．命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x2+mx+4≥0”是假命題，則m的取值范圍是．15．一個圓柱和一個圓錐同底等高，若圓錐的側面積是其底面積的2倍，則圓柱的側面積是其底面積的倍．16．已知M是拋物線y2＝2x上一點，N是圓x2+（y﹣2）2＝1關于直線對x﹣y＝0稱的曲線C上任意一點，則|MN|的最小值為．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知D是△ABC邊AC上的一點，△ABD面積是△BCD面積的3倍，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．（1）若∠ABC＝，求的值；（2）若BC＝，AB＝3，求邊AC的長．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E為BC的中點．（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．19．“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展．下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20142015201620172018銷量（萬臺）810132524某機構調查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計男性車主624女性車主2總計30（1）求新能源乘用車的銷量y關于年份x的線性相關系數(shù)r，并判斷y與x是否線性相關；（2）請將上述2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關；（3）若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人，記選到女性車主的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望與方差．參考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，則可判斷y與x線性相關．附表：P（K2≥k0）k020．橢圓C：的離心率是，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P（0，1）的動直線l與橢圓C相交于A，B兩點，在y軸上是否存在異于點P的定點Q，使得直線l變化時，總有∠PQA＝∠PQB？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）設f（x）的兩個不同的零點是x1，x2，求證x1?x2＜．22．過點P（﹣1，0）作傾斜角為α的直線l，且l與曲線C：（θ為參數(shù)）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的普通方程與直線l的參數(shù)方程；（2）求|PM|?|PN|的最小值．23．已知函數(shù)f（x）＝|4x﹣3|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）＜0解集；（2）若關于x的不等式|2m﹣5|≥f（x+1）+5|x+4|有解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜1}，，則A∩B＝（）A． B． C． D．{x|﹣1≤x＜1}解：集合A＝{x|0≤x＜1}，＝{x|﹣1≤x}，則A∩B＝{x|0}．故選：A．2．設復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|的值為（）A．1 B． C． D．2解：∵復數(shù)z＝，∴|z|＝||＝＝，故選：C．3．關于函數(shù)f（x）＝（lnx）2﹣2lnx，下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）有2個零點 B．函數(shù)f（x）有4個零點 C．e是函數(shù)f（x）的一個零點 D．2e是函數(shù)f（x）的一個零點解：令f（x）＝（lnx）2﹣2lnx＝lnx（lnx﹣2）＝0，解得lnx＝0或lnx＝2，即x＝1或e2，所以函數(shù)f（x）有2個零點，選項A正確，B不正確；f（e）＝1﹣2＝﹣1≠0，所以e不是函數(shù)f（x）的一個零點，C不正確；f（2e）＝（ln2e）2﹣2ln2e≠0，所以2e不是函數(shù)f（x）的一個零點，D不正確．故選：A．4．每當臨近春節(jié)時，某酒店便會到處掛滿五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴3個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，已知大燈共60個，小燈共205個．若在該酒店的燈球中，隨機選取兩個燈球，則至少有一個燈球是大燈下綴3個小燈的概率為（）A． B． C． D．解：大燈下綴3個小燈的大燈的x個，可得大燈下綴4個小燈的大燈有60﹣x個，由題意，得3x+4（60﹣x）＝205，解得x＝35，∴大燈下綴3個小燈的大燈有35個，大燈下綴4個小燈的大燈有60﹣35＝25個，在該酒店的燈球中，隨機選取兩個燈球，基本事件總數(shù)n＝＝1770，至少有一個燈球是大燈下綴3個小燈包含的基本事件個數(shù)m＝＝1470，則至少有一個燈球是大燈下綴3個小燈的概率為P＝＝＝．故選：C．5．橢圓＝1（m＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，若∠F1AF2＝，則m＝（）A．1 B． C． D．2解：由題意可得c＝＝1，b＝m，又因為∠F1AF2＝，可得∠F1AO＝，可得tan∠F1AO＝＝，解得m＝．故選：C．6．若非零向量，滿足且，則與的夾角為（）A． B． C． D．解：∵，，∴，∴，且，∴，且，∴．故選：B．7．已知，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或解：因為，所以cosα＝±＝±，則＝或．故選：A．8．關于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四個命題：甲：x＝1是該方程的根；乙：x＝3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄枺绻挥幸粋€假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁解：若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，可得x1＝3，x2＝﹣1，符合題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，可得x1＝1，x2＝1，兩根不異號，不合題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，可得x1＝3，x2＝1，兩根不異號，不合題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，兩根和不為2，不合題意．綜上可知，甲為假命題．故選：A．9．在的展開式中，除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為（）A．32 B．﹣32 C．33 D．﹣33解：在的展開式中，令x＝1．可得它的各項系數(shù)的和為24＝16．由于表示4個因式（x+﹣1）的乘積，故4個因式都取﹣1，可得到常數(shù)項1，或有一個因式取x，另一個因式取，其余的因式取﹣1，可得常數(shù)項為??2＝24，或有2個因式取x，另外2個因式取，可得常數(shù)項為?22＝24，故展開式的常數(shù)項為1+24+24＝49．∴除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為16﹣49＝﹣33，故選：D．10．在區(qū)間[﹣3，3]上隨機取一個數(shù)x，使得≥0成立的概率為等差數(shù)列{an}的公差，且a2+a6＝﹣4，若an＞0，則n的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11解：由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間[﹣3，3]長度為6，使得得≥0成立的x的范圍為（1，3]的區(qū)間長度為2，故使得≥0成立的概率為＝，即差數(shù)列{an}的公差d＝，又a2+a6＝﹣4＝2a4，∴a4＝﹣2，an＝﹣2+（n﹣4）?＝，令an＞0，則有n＞10，故n的最小值為11，故選：D．11．連接雙曲線C1：﹣＝1及C2：﹣＝1的4個頂點的四邊形面積為S1，連接4個焦點的四邊形的面積為S2，則當取得最大值時，雙曲線C1的離心率為（）A． B． C． D．解：四個頂點形成的四邊形的面積S1＝×2a×2b＝2ab，四個焦點連線形成的四邊形的面積S2＝×2c×2c＝2c2，所以＝＝≤＝，當取得最大值時有a＝b，c＝a，離心率e＝＝．故選：D．12．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，則（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c解：根據(jù)題意，設f（x）＝，a＜5且ae5＝5ea，變形可得＝，即f（a）＝f（5），b＜4且be4＝4eb，變形可得＝，即f（b）＝f（4），c＜3且ce3＝3ec，變形可得＝，即f（c）＝f（3），f（x）＝，其導數(shù)f′（x）＝，在區(qū)間（0，1）上，f′（x）＜0，則f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上，f′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)，其草圖如圖：則有0＜a＜b＜c＜1，故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知離散型隨機變量，隨機變量η＝2ξ+1，則η的數(shù)學期望E（η）＝．解：離散型隨機變量，可得E（ξ）＝3×＝，隨機變量η＝2ξ+1，則η的數(shù)學期望E（η）＝2×+1＝．故答案為：．14．命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x2+mx+4≥0”是假命題，則m的取值范圍是（﹣∞，﹣5]．解：∵命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x2+mx+4≥0”是假命題，∴命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x2+mx+4＜0”是真命題，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴f（x）＜f（1）＝5，∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案為：（﹣∞，﹣5]15．一個圓柱和一個圓錐同底等高，若圓錐的側面積是其底面積的2倍，則圓柱的側面積是其底面積的2倍．解：∵一個圓柱和一個圓錐同底等高∴設底面半徑為r，高為h，∵圓錐的側面積是其底面積的2倍，∴πrl＝2πr2，l＝2rh＝r∴圓柱的側面積＝2πrh＝2πr2，其底面積＝πr2∴圓柱的側面積是其底面積的2倍，故答案為：．16．已知M是拋物線y2＝2x上一點，N是圓x2+（y﹣2）2＝1關于直線對x﹣y＝0稱的曲線C上任意一點，則|MN|的最小值為﹣1．解：設圓心為C，則|MN|＝|CM|﹣|CN|＝|CM|﹣1，C點坐標（2，0），由于M在y2＝2x上，設M的坐標為（x，y），∴|CM|＝＝，∵圓半徑為1，所以|MN|最小值為：﹣1．故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知D是△ABC邊AC上的一點，△ABD面積是△BCD面積的3倍，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．（1）若∠ABC＝，求的值；（2）若BC＝，AB＝3，求邊AC的長．解：（1）因為∠ABC＝，∠ABD＝2∠CBD＝2θ．所以θ+2θ＝，即θ＝．又△ABD面積是△BCD面積的3倍，所以AB?BDsin＝3×BC?BDsin，所以＝＝．（2）由已知：AB?BDsin2θ＝3×BC?BDsinθ，即2ABcosθ＝3BC，∵BC＝，AB＝3，∴cosθ＝，則θ＝，即∠ABC＝3θ＝，所以AC2＝9+2﹣2×3××（﹣）＝17，故AC＝．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，O是邊長為4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E為BC的中點．（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【解答】（I）證明：由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．又PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD，AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：取AB的中點O，連接OM，OE．建立如圖所示的空間直角坐標系．OP＝＝．O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（﹣2，﹣2，0），P（0，0，），＝（2，4，0），＝（2，2，），設平面DPE的法向量為＝（x，y，z），則?＝?＝0，∴2x+4y＝0，2x+2y+z＝0，?。剑ī?，，2）．同理可得平面PEB的法向量＝（0，，2）．cos＜，＞＝＝＝．由圖可知：二面角D﹣PE﹣B的平面角為鈍角．∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值為﹣．19．“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展．下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表：年份20142015201620172018銷量（萬臺）810132524某機構調查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計男性車主624女性車主2總計30（1）求新能源乘用車的銷量y關于年份x的線性相關系數(shù)r，并判斷y與x是否線性相關；（2）請將上述2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關；（3）若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人，記選到女性車主的人數(shù)為X，求X的數(shù)學期望與方差．參考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，則可判斷y與x線性相關．附表：P（K2≥k0）k0解：（1）＝（2014+2015+2016+2017+2018）＝2016，＝（8+10+13+25+24）＝16，∴＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，∴r＝＝≈0.94＞0.9，∴y與x線性相關．（2）依題意，完善表格如下：購置傳統(tǒng)燃油車購置新能源車總計男性車主18624女性車主246總計201030K2＝＝，∴有90%的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關．（3）依題意，該地區(qū)購置新能源車的車主中女性車主的概率為，則X～B（50，），∴E（X）＝50×＝20，D（X）＝＝12．20．橢圓C：的離心率是，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P（0，1）的動直線l與橢圓C相交于A，B兩點，在y軸上是否存在異于點P的定點Q，使得直線l變化時，總有∠PQA＝∠PQB？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可得＝2，＝，又a2＝b2+c2，解得b2＝4，a2＝8，所以橢圓C的方程為+＝1．（2）當直線l斜率存在時，設直線l方程：y＝kx+1，由，得（2k2+1）x2+4kx﹣6＝0，△＝16k2+24（2k2+1）＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，假設存在定點Q（0，t）符合題意，∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝﹣kQB，∴kQA+kQB＝+＝＝＝＝2k+（1﹣t）＝＝0，∵上式對任意實數(shù)k恒等于零，∴4﹣t＝0，即t＝4，∴Q（0，4）．當直線l斜率不存在時，A，B兩點分別為橢圓的上下頂點（0，﹣2），（0，2），顯然此時∠PQA＝∠PQB．綜上，存在定點Q（0，4）滿足題意．21．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）設f（x）的兩個不同的零點是x1，x2，求證x1?x2＜．解：（Ⅰ）f′（x）＝a﹣＝（x＞0），①當a≤0時，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞），②當a＞0時，由f'（x）＝0，得x＝，在區(qū)間（0，）上，f'（x）＜0，在區(qū)間（，+∞）上，f'（x）＞0．所以，函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，），單調遞增區(qū)間為（，+∞），綜上，當a≤0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，），單調遞增區(qū)間為（，+∞）．（Ⅱ）∵f（x）有2個不同的零點，∴f（x）min＝f（）＜0，解得：0＜a＜，∴，兩式相減得a（x1﹣x2）+ln＝0，解