2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案：第二講

第二講證明不等式的基本方法

-比較法

考綱定位重難突破

重點：理解和掌握比較法證明不等式的依據(jù).

1.理解和掌握比較法證明不等式的理論依據(jù).

難點：1.掌握利用比較法證明不等式的一般步

2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟.

驟.

3.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思

2.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思

想的理解和應(yīng)用.

想的理解和應(yīng)用.

01謂前自主梳理?------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁

［自主梳理］

一、作差比較法

1.作差比較法的理論依據(jù)。一。>063,a-b<O<^a<b,?！?0?！?6.

2.作差比較法解題的一般步驟：

（1）作差；（2）變形整理，（3）判定符號，（4）得出結(jié)論.

其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定差的符號,常用的手

段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等.

二、作商比較法

1.作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：

若￡>1，貝I若$1則

（2）*0,若表1則a<b；若齊門則a>h.

2.作商比較法解題的一般步驟：（1）判定”，匕符號；（2）作商；（3）變形整理；（4）判定與

1的大小關(guān)系;（5）得出結(jié)論.

［雙基自測］

1.當(dāng)〃<6<0時，下列關(guān)系式中成立的是（）

A.y［ai<-\lbiB.lgfe2<lga2

吟id-(加

解析：法一：取特殊值“=-4,b=~\,則知選項A,C,D不正確，選項B正確，故

選B;

法二：'：a<b<Q,：.a2>b2.

而函數(shù)y=lgx(x>0)為增函數(shù)，.*.lgb2<\g,cr,B項正確.

答案：B

2.設(shè)則4+3〃和2b(a+b)的大小關(guān)系是()

A.a2+3b2>2h(a+h)

B.cr+3b-^2b(a+b)

C.a2+3b2<2h(a+h)

D.cr+3b2^2b(a+b)

解析：(。2+3/)—2伙a+與

=a2—2ab+tr=(a—b')1,

■:a豐b,/.(a—Z>)2>0,

：.a2+3b2>2b(a+b).

答案：A

3.比較大?。簂og11log?1.

23

log.—］,

鏟用2311,11°g+Tl?

斛析：一=log,2-log,3=6J

>0g,弓

3Z

又一log1鏟log交=1,

22

卜。/『>】?

/.logi^^logII.

23

答案：〉

02課堂合作探究e>----------------------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁

［題型探究］探要點?究所然

探究一作差比較法

［例1］若a>b>c,求證：hc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.

［證明］be2+ca2+ab2-(b2c+c2a+db)

2

=(加2—C(j)+(c&2-比)+(加_428)

=d(b—a)+*—6)3+力+血6—a)

=(/>—4)(/—ac-bc+ab)

~g—a)(c—a)(c—b),

a>b>c,

:.b-aVO,c_a<0,c-b<0.

(b—a)(c—a)(c—b)<0.

be2+ca1+ab2<h2c+c2a+a2b.

「方法歸納」

I.作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用

考慮差能否化簡或值是多少.

2.變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有

效的恒等變形的方法.

3.因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為

一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項式時，常用判別式

法判斷符號.有時會遇到結(jié)果符號不能確定，這時要對差式進行分類討論.

學(xué)以致用I?

1.設(shè)x>0,y>0,則七與三47的大小關(guān)系是_______.

”X十1工十〉十1

解析.—也__上

x+y+lx+\

f+xy+x+y—f―7廠x

a+y+i)a+i)

(%+>-+l)(x+l)>0-

x+yx

答案:x+y+^x+T

探究二作商比較法

a+b+c

［例2］已知a,b,c>0,求證：a"b%》(abc)3.

［證明］不妨設(shè)a2b2c,則〃一"b-c,a-cCR,且*p￡都大于等于1,

2a-b-c2b-a-c2c-a-b

=a3b3c3

a+b+c

(abc)

a-ba-cb-ab-cc-ac-b

=a33，b3?b3-c3-c3

a-bih-ca-c

a+-+c

,'.aabb(f^(abc')3.

「方法歸納J

作商比較法證明不等式的一般步驟

(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商.

(2)變形：化簡商式到最簡形式.

(3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.

(4)得出結(jié)論.

學(xué)以致用le

2.已知。>0且

求證：|log,,(l—x)|>|logfl(l+x)|.

。&(一無)八

FFJ1111|1Og(1+l)(1-X)|

證明：|lo&((l+A-)r-

Vl+x>l,O<l-x<l,

/.log(i+x)(l—x)<0,

)

，|log(l+x)(l—x)|=-log(i+,￥)(l—X

11+x

=log(i+k)7==+

2

=1—log(i+jt)(l—X).

vo<l-x2<l,l+x>l,

**.log(i+.t)(l—^)<0,

???1—log(］+x)(l—f)>l,

|log〃(Lx)!］

|logfl(l+x)|

/.|logo(l—x)|>|log?(l+x)］.

探究三比較法的實際應(yīng)用

［例3］甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度機行走，

另一半以速度〃行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度〃行走.如果，

問甲、乙二人誰先到達指定地點？

［解析］設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s,甲、乙二人走完這段路程所用的時間分

別為人，⑵依題意有:

t\,t\

十g〃=S,

S,5__

而十五=’2，

2ss(m+〃)

?"京，々=FT-

._2ss(m+n)

,?"t2~~m+n2nm

s14/w7—(/w+")2］s(，〃-a)?

2wn(n?+w)2mn{m-\-n)'

其中s,m,〃都是正數(shù)，且，

.?.fl—f2Vo.即t\<t2.

從而知甲比乙先到達指定地點.

「方法歸綱」

應(yīng)用不等式解決實際問題的方法

應(yīng)用不等式解決實際問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題

來解決.也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解.在實際應(yīng)用不

等關(guān)系問題時，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判

斷.

學(xué)以致用le

3.某人乘出租車從4地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價為10元.每千

米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價為8元，每千米1.4元的出租車.按出租車管理

條例，在起步價內(nèi).不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從A地到B地選擇哪

一種方案比較合適？

解析：設(shè)A地到8地距離為〃？千米.起步價內(nèi)行駛的路程為a千米.

顯然當(dāng)初<a時，選起步價為8元的出租車比較便宜.

當(dāng)機時，設(shè)"?=a+x(x>0),乘坐起步價為10元的出租車費用為尸(x)元.乘坐起步

價為8元的出租車費用為Q(x)元，則尸(x)=10+1.2x,

Q(x)=8+1.4x

???P(x)-Q(x)=2—0.2x=0.2(10-x)

當(dāng)x>10時，尸(x)<Q(x),此時選擇起步價為10元的出租車較為合適.

當(dāng)x<10時，P(x)>Q(x),此時選起步價為8元的出租車較為合適.

當(dāng)x=10時，P(x)=Q(x),兩種出租車任選，費用相同.

［思想方法］歪方法?會應(yīng)用

比較法的變形技巧

［典例］己知府)=2^+1,p,q>0,p+q=\,對任意實數(shù)a,b,則〃a)+如S)與加a

+*)的大小關(guān)系是()

A.pj(a)+(if(b)>fipa+qb)

B.pj(a)+qf(h)<fipa+qb)

C.pf(.ci)+qf(b)^fipa+qb)

D.PM+如b)Wflpa+qb)

［解析］pj［a}+qfib')—fipa+qb)

=p(2a2+l)+^(2Z>2+l)—［2(po+qb)2+l］

=2p(l—p)a1+2q(1—q')b2—4pqab+p+q—l(*'),

,.,p+q=l,p,q>0.

，(*)式=2pqcr+2pqb2—4pqab

=2pq(a-b?,■:p,q>0,(a~b)2^0,

；.(*)式20,

pfia)+qf(b)2ys4+qb).

［答案］C

［規(guī)律探究］(1)比較法主要用于比較大小和證明不等式，一般來說整式、分式型常用作

差變形，無理式即含根號時先通過乘方去掉根號后再作差變形，指數(shù)式及對數(shù)式較復(fù)雜，但

符號確定的代數(shù)式常用作商變形.

(2)作差變形時，是選擇配方法，還是因式分解法，要視表達式的結(jié)構(gòu)而定，因式分解

時要以每個因式都有明確的正負(fù)號為目標(biāo)，對不能直接判定符號的情況應(yīng)采用分類討論的方

法.

(3)作商變形時，指數(shù)式型的要正確運用指數(shù)運算法則及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)式型的要

正確運用對數(shù)運算法則，換底公式及對數(shù)函數(shù)性質(zhì).

03課后鞏固提升碘------------------------------------------------------檢測學(xué)習(xí)效果，體相成功快樂

［隨堂訓(xùn)練］對應(yīng)學(xué)生用書第18頁

1.下列關(guān)系中對任意“◎<()的實數(shù)都成立的是()

A.a2VbiB.lgh2<\ga2

哈1D.(加>(加

解析：???〃<*(),

/.—a>-b>0.

(—iz)2>(—fe)2>0.

即片>房>0.

又1g從一lga2=lg1=0.

/.Igb2<\g庶.

答案：B

2.已知。=屆+：+］，。=片一。+1,那么P、。的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.P<Q

C.P2QD.PWQ

解析：法一：§=(/—。+1)(〃2+。+1)

=(/+l)2—a2=a4+a2+121,

又..72+a+i>0恒成立，

'土一D71-(/-?4+1)52+4+1)-(/+/)

法一：PQ-a2+a+\~~?2+?+1)

?.Z2+“+i>o恒成立且4+序20,

；.P-Q<0,即Q>P.

答案：D

3.若一l<a<6<0,則］，/，a2,從中值最小的是

解析：依題意，知務(wù),4?>從，

故只需比較應(yīng)與序的大小.

因為力>0,1<0,

答案:馬

4.若x<y<0,M=(x2+y2)(x—y),N=(1一VXr+y),則M,N的大小關(guān)系為

解析：M—N=(『+y2)a—y)—(x2—y2)(x+y)

=(工—>)［(/+y2)-(x+y尸］=-2xy(x-y).

Vx<><0,??.孫>0,x—y<0,

—2xy(x—y)>0,

：.M-N>0,即M>N.

答案：M>N

-綜合法與分析法

考綱定位重難突破

1.理解綜合法、分析法證明不等式的原理和思重點：對用綜合法、分析法證明不等式的原

維特點.理和思維特點的理解.

2.掌握綜合法、分析法證明簡單不等式的方法難點：1.對用綜合法、分析法證明簡單不等式

和步驟.的方法和步驟的掌握.

3.能綜合運用綜合法、分析法證明不等式.2.能綜合運用綜合法、分析法證明不等式.

01課前自主梳理<3）----------------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第18頁

［自主梳理］

一、綜合法

一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證

而得出命題成立，這種證明方法叫作綜合法,乂叫順推證法或由因?qū)Ч?

二、分析法

證明命題時，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需

條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要

證的命題成立，這種證明方法叫作分析法,這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.

［雙基自測］

1.若則下列不等式中成立的是（）

A另B.

_,1.1cb〃+1

C.bf+->a+rD.一<「77

abaa+\

解析：：a<b<0,；.丹,故選項A,B錯誤，而選項C正確.選項D中，取％=—1,

則空?=（）,而”0,故選項D錯誤.

a+1a

答案:c

2.當(dāng)x>l時，不等式x+占2a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(一8,2]B.[2,+8)

C.[3,+8)D.(-8,3]

解析：要使犬+一與》〃恒成立，只需=x+—彳的最小值大于等于〃即可，而AH

X—1JX—1

=xT+±+122yJGT)?占+1=3.

的最小值為3,...“W3.

答案：D

3.下面對命題“函數(shù)式x)=x+：是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是()

A.VxCR且xWO有人-x)=(-x)+±=-(x+：)=—/(x),則是奇函數(shù)

B.VxeR且xWO=0,.?.式功=_K_工),則於)

是奇函數(shù)

1

fl-\~X-x

C.Vx￡R且xWO,..Twro,rx2=------7-=-h：.f(-x)=-^x),則|x)是奇

八Mx+-

函數(shù)

D.取x=-1,犬-1)=一l+±=一2,又直1)=1+；=2次-1)=一式1),則兀v)是奇函

數(shù)

解析：D選項中采用特殊值驗證，而不是綜合法，選D.

答案：D

4.若a>0,b>0,則下列兩式的大小關(guān)系為lg(l+月目|[lg(l+a)+lg(l+b)].

111

解析：￡[Ig(1+a)+lg(1+力]=]lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+創(chuàng)2

又???ig(i+T?=ig(-2―)且"°，力>0?

/.6r+1>0,/?+1>0,

,-a+i+h+\a+h+2

???[(〃+1)(1+份]2<---------------=---

.,.lg(^l+^y^^lg[(l+a)(l+b)]2,

即lg(l+g^)》g[lg(l+“)+lg(l+6)].

答案：》

02課堂合作探究@------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁

［題型探究］探耍點?究所然

探究一用綜合法證明不等式

[151]11已知a,6GR+,且“+b=l,

[證明]法一：左邊=(“+款+(匕+辦

=，+/+4+6+點)

，工小工伍+32(a+6)2

—4+tr+Zr+宮+—/

=4+/+匕2+1+"+與+，+號+1

aa，b，b

=4+面+為+2+2e+9+侍+9

》4+咿

125

=4+2+24-4+2=—

??G+AG+滬苧.

法二：'：a,匕GR+且“+b=l,

一a+b,\

‘1-2加斗^2^16.

?G+3+(計分=4+征+為+6+*)

=4+[(。+仔一2間+y

=4+(1-2")+4汨

\>4+

「方法歸納」

1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求

證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是

證明的關(guān)鍵.

2.綜合法證明不等式中所依賴的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下幾

個：(l)a2^O(aGR).(2)(。一b)220(a,R),其變形有：a2+b2^2ab,^ab.cr+b2^

;(a+6)2.(3)若“，8為正實數(shù)，^-^-^,\[ah.^^']~+^^2.(4)a2+b2+c2,^ab+hc+ca.

學(xué)以致用le

1.已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：h~宣\~c—」ci+c+%二4—b+巴ci~\節(jié)~b-」c>3.

證明:左邊=(對)+(}+§)+?+§-3.

比>0,O0,

.b.c.a?

?9+聲2,//2,-+->2,

?：a,b,c,為不全相等正數(shù)，

.?.上述三式中的等號不能同時成立.

，左邊>6—3=3,

即原不等式獲證.

探究二分析法證明不等式

I.乙小一(〃一匕)2a+b?-(a—h)2

[例2]已知a>h>0,求證：一京-<-^-y[ah<~~^7—.

OUZQU

[證明]要證原不等式成立，

公(a—b)2]—(a-b)2

只需證4a<"+人―4b'

即證件一$)4宗K

,：a>b>09

,<1<^成立.

ab

.??原不等式成立.

「方法歸納」

1.當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系或很難發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論

之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑.

2.像本例這樣條件簡單、結(jié)論較復(fù)雜的題目，往往采用分析法.另外，對于無理不等

式的證明，常采用分析法通過平方將其有理化，但在乘方的過程中，要注意其變形的等價性.

3.分析法證題的本質(zhì)是從被證的不等式出發(fā)尋求使結(jié)論成立的充分條件，證明的關(guān)鍵

是推理的每一步都必須可逆.

2.a,b￡R+,H2c>a+b.

求證：c-yfc2-ab<a<cc2-ab.

證明：要證：c—yj—ab<a<c+yj(r-abf

只需證一yja-abva-c<y[^—ab,

即證：\a—c\<^](r—ab,

兩邊平方得〃2—2〃c+，<，一〃〃，

也即證a1+ab<2ac,即a(a+b)<2ac.

R+,且a+h<2c,顯然成立.

?,?原不等式成立.

探究三綜合法與分析法的綜合應(yīng)用

[例3]設(shè)a>0,b>3且。+。=1,求證：5+1+[8+1W加.

[證明]要證：1+國〃+1W#只需證([〃+1+y]b+lpW6,

即證(a+。)+2+2\/ab+a+b+1W6.

由a+h=1得只需證\]ab+2W^,

即［正：

由b>0,a+b=l9

得即成立.

，原不等式成立.

「方法歸納」

綜合法與分析法在證明不等式時的綜合應(yīng)用

(1)通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原

不等式易于證明.

(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”

法，如本例，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯

證統(tǒng)一關(guān)系.

學(xué)以致用I?

3.在某兩個正數(shù)x,y之間，若插入一個數(shù)m使羽my成等差數(shù)列；若插入兩個數(shù)

b,c,使x,b,c,y成等比數(shù)列,求證：(a+1)2^(/?+l)(c+1).

2a=x+yf

證明：由條件，得<〃=cx,

^=by,

b2c2

消去x,y,即得2a■+不，且有”>0,b>0,c>0.

要證(a+l)223+l)(c+l)

只需證a+［X(b+l)(c+l)

.Rs+D(c+D*+I”(c'+1)

〃02

只需證2a26+c,而2。=：+了，

fjrd

只需證5+萬》/〉+g

即b^+c^^hc(h+c),〃+/一歷》歷，

(b-c)220,

?.?上式顯然成立，

.?.(a+l)22S+l)(c+l)得證.

［規(guī)范解答］練規(guī)范?汨滿分

靈活運用分析、綜合法證明不等式

［典例］(本題滿分12分)已知〃,b,c￡R+,且H+A+c〃=l.

求證：(1)〃+/?+

⑵出+狀+金》小(W+或+M

［證明］(1)要證a+b+c,2小，由于a,b,c￡R+,因此只需證(a+b+c)223,即證/

+b2+cr+2(ab+bc+ca)^3,根據(jù)條件，只需證cr+^+c1^1=ab+bc+ca.........3

分

/+〃廬+廿/+片、/5

而這是可以由ab+bc+ca^-5―+~5―+-5―-=/+〃+，(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3

時取等號)證得的.所以原不等式成立.6分

jca+h+c

(2)因為

言+acVabyjabc

在(1)中已證小，

所以原不等式只需證jt2/+的+加，

也就是只要證cn/互+Zr\lZ，+cM^Wa/?+/?c+ca.9分

?-I-----ab+ac1-ab+bc,-ac+bc

而a\］hc=ylah-ac^——,b\jacW——,c\jab^——,

八

所以cr\/^+W^+c/^Wab+8c+c。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時取等號)成立.所以原

不等式成立.

......................................................12分

［規(guī)律探究］(1)用分析法將待證不等式轉(zhuǎn)化為證明/+序+。22必+反+點.

(2)用綜合法證明轉(zhuǎn)化得到的不等式.

(3)用分析法及(1)的結(jié)論將待證不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式6/應(yīng)+R%+c\@WH+

bc+ac.

(4)結(jié)合基本不等式用綜合法證明得到的不等式.

03謠后鞏固提升@------------------------------------------檢測學(xué)習(xí)效果，體驗成功快樂

［隨堂訓(xùn)練］對應(yīng)學(xué)生用書第21頁

1.要證/+/—1-”2匕2<0,只要證()

A.24-1一4/WO

,,,/+/

B.a2+h2-\~——《0

3+6)2

C4_]_4yW0

D.(a2-l)(fe2-l)^O

解析:?.?(層—1)("-1)=一次一從+1+a2+》0,

/.a2+b2—l—a2b2W0.

答案：D

2.已知a,b,c滿足c<8<a且ac<0,那么下列選項中一定成立的是()

A.ab>acB.c(b—a)<0

C,h2<ah2D.(〃-c)>0

\ac<QM>0,

解析：=八

[c<alc<0.

又b>c,ab>ac,故A正確.

V/?—a<0,?0,Ac(b-a)>09

故B錯誤.

由"=o,可驗證C不正確，

而ac<Ofa-c>0,

/.ac{a-c)<0,故D錯誤.

答案：A

3.若a>c泌>0,則寧+與上+石工的值的符號為.

(。一c)+(c—。)-C111,11

解析:—=(?-c)(--p+(c-/;)(---)

(〃-c)(6_c)+(c-b)(a-c)

heac

一c)(c-b)(b-a)

abc

Va>c>h>09

/.a-c>0,c-/?>0,b—a<0,abc>0,

.(a-c)(ci)(6—初g

abc

答案：負(fù)號

三反證法與放縮法

考綱定位重難突破

1.理解反證法在證明不等式中的作用，掌握用重點：1.理解反證法在證明不等式中的應(yīng)用.

反證法證明不等式的方法.2.掌握反證法證明不等式的方法.

2.掌握放縮法證明不等式的原理，并會用其證難點：掌握放縮法證明不等式的原理，并會

明不等式.用其證明不等式.

?|D

liHRU自主梳理?------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第21頁

［自主梳理］

一、反證法

先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性

質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等）丞

直的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立，我們稱這種證明問題的方法為反證法.

二、放縮法

證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或維3簡化不等式，從而達到證

明的目的.我們把這種方法稱為放縮法.

［雙基自測］

1.否定“自然數(shù)4,b,C中恰有一個偶數(shù)”時，正確的假設(shè)為（）

A.a,b,c都是奇數(shù)

B.a,b,c都是偶數(shù)

C.a,6,c中至少有兩個偶數(shù)

D.a,h,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)

解析：恰有一個的否定是至少有兩個或都是，故選D.

答案：D

2.用反證法證明”一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：

①NA+ZB+ZC=90°+90°+ZOI800,這與三角形內(nèi)角和為180。矛盾，故假設(shè)錯誤.

②所以一個三角形不能有兩個直角.

③假設(shè)△4BC中有兩個直角，不妨設(shè)N4=90。，NB=90。.上述步驟的正確順序為

解析：由反證法的證明過程知正確順序為③①②.

答案：③①②

3.A=l+-^+~^H--1■+與W（〃6N+）的大小關(guān)系是

解析:4甘+右+力

答案:方+3+方+…+京

02懦堂合作探究?---------------------------------------------洞悉學(xué)習(xí)方向，把脈核心問題

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第22頁

［題型探究］探丁點?究所」

探究一反證法的應(yīng)用

［例1］已知於)=f+px+q,

求證：(1求1)+43)—2穴2)=2；

(2)伏1)［,火2)|,貝3)|中至少有一個不小于右

［證明］(1MD+A3)-2A2)

=(1+p+g)+(9+3p+q)—2(4+2p+q)=2.

(2)假設(shè)附)|,|八2)|,次3)|都小于去

則附)|+2萬2)|+質(zhì)3)|<2,

而貝1)|+2貝2)|+|/(3)|宓1)+八3)—軟2)=2矛盾，

.?.陽)|,歐|,直3)|中至少有一個不小于;.

I■方法歸納」

利用反證法證明不等式的方法步驟

(1)反證法必須從否定結(jié)論進行推理，且必須根據(jù)這一條件進行論證；否則，僅否定結(jié)

論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行論證，就不是反證法.

(2)當(dāng)證明的結(jié)論中含有“不是”“不都”“不存在”等詞語時，適于應(yīng)用反證法，因

為此類問題的反面比較具體.

(3)用反證法證明不等式時，推出的矛盾有三種表現(xiàn)形式：①與已知矛盾；②與假設(shè)矛

盾；③與顯然成立的事實相矛盾.

學(xué)以致用le

11+x

1.已知QO,y>0,且x+y>2,求證：一曾與一廣中至少有一個小于2.

xy

假設(shè)士》2且也》2.

證明:

xy

Vx>0,)>0,

/.1+y22x,

①

1+x22y,

②

①+②得2+(x+y)N2(x+y),

即x+yW2與x+y>2矛盾.

］+v1+JV

二假設(shè)不成立，故一T―^中至少有一個小于2.

xy

探究二利用放縮法證明不等式

［例2］設(shè)5?=VTx2+V2X3+-+^n(n+l).

求證：不等式吟D<s“駕空對所有的正整數(shù)"都成立.

［證明］VS,,>A/P+V?H—

n(n+1)

=1+2H----\-n=~~2.

門1+22+3.n+n+\

且s?<—^~

35+

-2/7

一22

一35+5+

--

<2222

.〃(〃+1)5+1)

:.-2—<S,,<

2

「方法歸納」

I.用放縮法證明不等式的過程中，往往采用添項“添舍”放縮、分項放縮、函數(shù)的單

調(diào)性放縮、重要不等式收縮等，放縮時要注意適度，否則不能同向傳遞.

2.利用常用結(jié)論：

⑴廣島>出+浙=2?一#)，

127___

#=標(biāo)丙拜FT=2(gg)/GN+,3);

(2出舟rVi.為舟rA露(程度大”

⑶會昌=7-1)h+1)=3(吉—南(程度小)?

學(xué)以致用le

2.對于任意"GN+,求證：1+/+/+/H-----l-A<^.

證明：?.」='1_^_1(心2),

nn-nn(n-1)n-1>

?，?1------bj

234/n~

<1+22+3X2+4X3+",+n(n-l)

11111

+-+---+-

-33-4-

+■?+〃

4九

［規(guī)范解答］練規(guī).?得滿分

放縮法在綜合問題中的應(yīng)用

［典例］(本小題滿分13分)已知函數(shù)兀r)=xcosx—si