7-5判定直線和平面垂直

第7模塊第5節(jié)[知能演練]一、選擇題1．給定空間中的直線l及平面α.條件“直線l與平面α內無數條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的()A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件解析：若直線l與平面α垂直，由線面垂直的定義知，直線l垂直于平面α內的任意直線，所以直線l與平面α內無數條直線都垂直；但當直線l與平面α內無數條直線都垂直時，卻不能得出直線l與平面α垂直，所以“直線l與平面α內無數條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的必要非充分條件．答案：C2．設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β解析：選項A中，若a⊥α，b∥β，α⊥β，則有a⊥b或a∥b(b⊥α時)，故A錯誤；選項B中，若a⊥α，α∥β，則有a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，因此B錯誤；選項C中，因為a?α，α∥β，所以a∥β，又因為b⊥β，所以a⊥b.反之，若a⊥b，則不一定有a?α，b⊥β，α∥β，所以C正確；選項D中，當b∥β，且b與α，β的交線平行或b?α時，a與b有垂直關系也有不垂直關系，當b∥β且b與α，β的交線垂直時，有a⊥b，所以D也不對．答案：C3．設α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線，給出下列四個命題：①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；③若l上有兩點到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β.其中正確命題的序號是()A．①② B．①④C．②④ D．③④解析：①若α⊥β，l⊥β，則l∥α或l?α，故①不正確；②l∥β，則過l作一平面γ使平面β與γ相交，交線設為l′，那么l∥l′，∵l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，又l′?β，∴α⊥β.故②正確；③不正確．如l與平面α相交；④正確．答案：C4．若兩個平面α，β相交但不垂直，直線m在平面α內，則在平面β內()A．一定存在與直線m平行的直線B．一定不存在與直線m平行的直線C．一定存在與直線m垂直的直線D．一定不存在與直線m垂直的直線答案：C二、填空題5．如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長是1，過A點作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下列三個命題：①點H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方體，所以A－A1BD是一個正三棱錐，因此A點在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正確；又因為平面CB1D1與平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正確；從而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1與B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③三、解答題7．如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，點E、F分別是AB、BD的中點，求證：(1)直線EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.證明：(1)在△ABD中，因為E、F分別是AB、BD的中點，所以EF∥AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，所以直線EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因為AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因為CD＝CB，F為BD的中點，所以CF⊥BD.因為EF?平面EFC，CF?平面EFC，EF與CF交于點F，所以BD⊥平面EFC.又因為BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.8．如圖所示，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，分別交AC、SC于D、E，且SA＝AB＝a，BC＝eq\r(2)a.(1)求證：SC⊥平面BDE；(2)求平面BDE與平面BDC所成二面角的大?。猓?1)∵SA⊥平面ABC，又AB、AC、BD?平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD.∴SB＝eq\r(SA2＋AB2)＝eq\r(2)a.∵BC＝eq\r(2)a，∴SB＝BC.∵E為SC的中點，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE.(2)由(1)的結論及BD?平面BDE得BD⊥SC，又由(1)知BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC.∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠CDE為平面BDE與平面BDC所成二面角的平面角．∵AB⊥BC，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(3)a.在Rt△SAC中，tan∠SCA＝eq\f(SA,AC)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠SCA＝30°，∴∠CDE＝90°－∠SCA＝60°.[高考·模擬·預測]1．(2009·山東高考)已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當α⊥β時，平面α內的直線m不一定和平面β垂直，但當平面α內的直線垂直于平面β時，根據面面垂直的判定定理，兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．答案：B2．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：過A作AE⊥BC于點E，則易知AE⊥面BB1C1C，則∠ADE即為所求，又tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\r(3)，故∠ADE＝60°.故選C.答案：C3．(2009·江蘇高考)設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：(1)若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β(2)若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；(3)設α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則α和β垂直；(4)直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直．上面命題中，真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號)．解析：(1)α內兩條相交直線分別平行于平面β，則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β，正確．(2)平面α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l平行于α，正確．(3)如圖，α∩β＝l，a?α，a⊥l，但不一定有α⊥β，錯誤．(4)直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條相交直線垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故為假命題．綜上所述，真命題的序號為(1)(2)．答案：(1)(2)4．(2009·山東高考)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點．(Ⅰ)設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1，(Ⅱ)證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.(Ⅰ)證法一：取A1B1的中點為F1，連接FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連接A1D，F1C.由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，所以EE1∥F1C.而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.證法二：因為F為AB的中點，CD＝2，AB＝4，AB∥CD.所以CD綊AF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(Ⅱ)證明：連接AC.在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F為AB的中點，所以AF＝FC＝FB，因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC?平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.[備選精題]5．(2009·浙江高考)如右圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設G是OC的中點，證明FG∥平面BOE；(2)證明在△ABO內存在一點M，使FM⊥平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．(1)證明：如右圖，取PE的中點為H，連結HG，HF.因為點E，O，G，H分別是PA，AC，OC，PE的中點，所以HG∥OE，HF∥EB.因此平面FGH∥平面BOE.因為FG在平面FGH內，所以FG∥平面BOE.(2)解：在平面OAP內，過點P作PN⊥OE，交OA于點N，交OE于點Q.連結BN，過點F作FM∥PN，交BN于點M.下證FM⊥平面BOE.由題意，得OB⊥平面PAC，所以OB⊥PN.又因為PN⊥OE，所以PN⊥平面BOE.因此F