汽車保險行業(yè)如何轉(zhuǎn)嫁汽車保險

汽車保險行業(yè)如何轉(zhuǎn)嫁汽車保險

0保險市場風(fēng)險轉(zhuǎn)移到證券市場近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的進步和社會的發(fā)展，這種曾經(jīng)的奢侈品如今已經(jīng)進入了普通家庭。對于保險公司來說,在大量獲取汽車保單時,也面臨了諸多問題,如公司的償付能力、保單的監(jiān)管等等,因此再保險被視為保險公司轉(zhuǎn)移風(fēng)險的重要手段之一,諸如李洪靜、宋立新(2007)等學(xué)者都有過深入研究。然而隨著汽車保險業(yè)的迅速發(fā)展,傳統(tǒng)的再保險已經(jīng)不能完全滿足有效分散汽車保險風(fēng)險的要求,于是,保險人將目光投向了證券市場。相對于保險市場而言,證券市場具有資金容量大,風(fēng)險容易分散的優(yōu)點。保險人往往面臨著預(yù)期損失率和實際損失率差額的風(fēng)險,那么,將此風(fēng)險分散到證券市場中去,是一種有效規(guī)避風(fēng)險的形式。例如,在2005年,法國著名汽車保險公司AXA成功賣出了20億張歐式債券,受到了相關(guān)部門的重視,有些學(xué)者也開始逐步深入研究汽車保險市場的期權(quán)、債券等衍生產(chǎn)品。在國外,關(guān)于在證券市場中規(guī)避保單風(fēng)險的研究有很多,其中比較著名的是TaehanBae(2008,2009)等人提出的n年期汽車保險損失率棘輪期權(quán)模型,并且他們給出了當(dāng)索賠額服從指數(shù)分布時,汽車保險損失率期權(quán)定價模型的具體表達式及計算機模擬數(shù)據(jù)分析。然而,我們通過對中國保險公司的索賠額數(shù)據(jù)具體分析后發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)更多時候是服從Γ-分布,因此本文在TaehanBae等人的研究基礎(chǔ)上對其模型進行適當(dāng)改進,給出了當(dāng)索賠額分布服從指數(shù)分布、Γ-分布、混合指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布時的汽車保險損失率期權(quán)的定價公式,其中指數(shù)分布下的汽車保險損失率期權(quán)定價公式與TaehanBae等人的研究成果在表達形式上略有不同。另外,本文以太平洋保險公司沈陽分公司某部2008-2009年某時間段索賠數(shù)據(jù)作為樣本,經(jīng)檢驗其服從Γ-分布,我們依據(jù)Γ-分布下的汽車保險損失率期權(quán)定價公式對樣本數(shù)據(jù)進行擬合,最后得到汽車保險損失率期權(quán)價格的近似解,從而解決了將保險市場風(fēng)險轉(zhuǎn)移到證券市場過程中的定價問題,有效的促進了保險市場和證券市場的發(fā)展,具有很好的現(xiàn)實意義。本文首先介紹TaehanBae等人的汽車保險損失率期權(quán)定價公式,這是一個基于鞅變換和Escher變換下的期權(quán)定價模型,然后在此基礎(chǔ)上我們給出了當(dāng)索賠額分布服從不同分布時的汽車保險損失率期權(quán)定價公式,最后根據(jù)太平洋保險公司沈陽分公司的索賠數(shù)據(jù)進行了實證分析。1兩個概率模型為研究基于不同分布下的汽車保險損失率期權(quán)定價公式,我們首先要介紹TaehanBae等人的汽車保險損失率期權(quán)定價模型。這里假設(shè)聚合索賠服從復(fù)合泊松分布。為了給出累積損失模型,現(xiàn)在考慮累積損失的時間間隔為從發(fā)行日到到期日。假設(shè)Nt是具有參數(shù)為λt的泊松過程,則累積損失分布在概率空間(Ω,F,P)上服從標(biāo)值點過程:其中,Ti為泊松過程Nt的跳躍次數(shù),Xi為正的隨即沖擊,且獨立同分布,具有分布函數(shù)FX(x)。進一步假設(shè)Nt和Xi是i.i.d.的。其中g(shù)(u,x)為在時間u的索賠隨機變量。注意到N(du,dx)是一個泊松隨機測度,意味著測度m(du,dx)=duvu(dx),其中vu(dx)=λud(FX(x))是Levy測度。由于金融市場是一個不完備的市場,要得到保險風(fēng)險的無套利價格,就需要Esscher變換,使得變換后的概率測度是一個鞅。而對于一個幾何Levy過程,Esscher變換是最小鞅測度,同時它也是預(yù)期效用函數(shù)強度最大化的測度。對于任何時間t>0,我們定義一個概率空間Q,其Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為:相當(dāng)于,假設(shè)EP(ehtSt)存在,其中ht是一個滿足鞅條件的非負確定函數(shù)。通過Fourier變換得到:對于每個t,于是,可得到帶有自留額d的停止損失保費的無套利價格,即由Dufresneetal(2006)中定理3.4得到:其中PV是柯西數(shù)值積實際損失率定義為在[0,t]上實際聚合損失除以總的毛保費。在實踐中,固定損失率由歷史索賠數(shù)據(jù)決定。并且經(jīng)常由模擬未來損失完成,其中未來損失可由保險公司得到。定義在[0,t]上毛聚合保費為其中Lt=Stert是到時間t的聚合損失,和是連續(xù)型支付年金的現(xiàn)值和累積值。那么,對于每一個觸發(fā)點,我們定義如下門限:其中,π>-1為提前給定的門限值,如果保險公司想規(guī)避高于歷史損失的預(yù)期損失,那么其會選擇較大的π。在每一個觸發(fā)點,保險人就會支付高于門限的超出損失率的保費,TaehanBae等(2009)給出一個n年棘輪期權(quán)的無套利定價公式如下:關(guān)于棘輪期權(quán),它最早用于法國CAC40種股票指數(shù)交易,其敲定價格在各個獨立子期限內(nèi)使不同的,并且可隨市場價格的波動而變化,棘輪期權(quán)內(nèi)含一系列預(yù)先設(shè)定的敲定價重訂日,其通常為下一子期限的開始日,該子期限上的期權(quán)的敲定常為該開始日標(biāo)的物的市場價格。2基于不同分布下汽車保險賠償?shù)氖跈?quán)率評價模型常見的索賠額分布有指數(shù)分布、Γ-分布、混合指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布,下面依次研究在各自的索賠額分布下,汽車保險損失率期權(quán)的定價公式。2.1汽車保險損失率特權(quán)的定價公式關(guān)于指數(shù)分布下汽車保險期權(quán)定價方面的研究,我們在TaehanBae等人的研究成果上,通過改變相關(guān)參數(shù),得到如下結(jié)論。定理1假設(shè)索賠額X服從指數(shù)分布,索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布,且X與N相互獨立,于是得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式:證明指數(shù)分布的矩母函數(shù):。依據(jù)(TaehanBae等,2009)的相關(guān)結(jié)果有:我們得到ht的顯式表達:St分布的Fourier變換為:其中將上述公式代入(1)式,最終得到帶有自留額d的停止損失保費的無套利價格:該汽車保險損失率期權(quán)定價公式與TaehanBae等人的研究成果在表現(xiàn)形式上略有不同。接下來我們重點研究基于混合指數(shù)分布、Γ-分布和對數(shù)正態(tài)分布時的汽車保險損失率期權(quán)的定價公式。2.2索賠額x服從混合分布有些情況下,用指數(shù)分布擬合索賠額的效果不理想,可以考慮用幾個指數(shù)分布的加權(quán)平均來擬合樣本數(shù)據(jù),這就用到了混合指數(shù)分布。定理2假設(shè)索賠額X服從混合分布,參數(shù)為(a1,a2,…,am,β1,β2,…,βm)。,其中,索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布,且X與N相互獨立,于是得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式:證明混合指數(shù)分布的Fourier變換為:在Q下的索賠期望為:我們得到ht的隱式表達:St分布的Fourier變換為:進而,我們得到如下公式:那么,根據(jù)(5),令最終得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式(4)。2.3汽車保險損失率長期目標(biāo)Γ-分布較上述指數(shù)分布及混合指數(shù)分布在描述索賠額數(shù)據(jù)時更為貼切,不但其具有雙參,比較靈活多樣,而且符合金融市場中的證券產(chǎn)品都具有尖峰厚尾的特征,這不是一般分布所能達到的,所以在實際數(shù)據(jù)擬合時,Γ-分布能在調(diào)整雙參的情況下,得到令人滿意的結(jié)果。定理3假設(shè)索賠額X服從Γ-分布,其密度函數(shù)為其中α>0為形狀參數(shù),β>0為尺度參數(shù),索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布,且X與N相互獨立,于是得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式:證明Γ-分布的矩母函數(shù):X的Fourier變換為:在Q下索賠的期望為:我們得到ht的隱式表達:利用線性插值法,得到ht的一個近似值:。St分布的Fourier變換為:令m1=(iu+ht)β-1,m2=htβ-1,那么,上式可化為令,則有:將m1=(iu+ht)β-1,m2=htβ-1代入前述公式,得到帶有自留額d=(1+π)EQ(St)的停止損失保費無套利價格:那么,根據(jù)(1),令最終得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式(6)。2.4汽車保險損失率長期目標(biāo)對數(shù)正態(tài)分布在技術(shù)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域有重要作用。例如,在醫(yī)學(xué)、生物學(xué)中它用于分析不同藥物或毒品的作用;在技術(shù)中,對數(shù)正態(tài)分布廣泛應(yīng)用于疲勞試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析;在金融學(xué)中,對數(shù)正態(tài)分布可用來描述有價證券的收益等,是一個很重要的分布形式,其基本統(tǒng)計特征如下:密度函數(shù):分布函數(shù):期望:矩母函數(shù):根據(jù)概率論基礎(chǔ),該分布的矩母函數(shù)雖然存在,但是形式復(fù)雜,所以很難有很好的表達式,這里我用到函數(shù)的Tayor展開,得到該分布的矩母函數(shù)的一個級數(shù)表達。將在零點進行Taylor展開,得到如下級數(shù)表達式:令Y=InX,因為X服從參數(shù)為(μ,σ2)的對數(shù)正態(tài)分布,所以Y服從參數(shù)為(μ,σ2)的正態(tài)分布。所以,定理4假設(shè)索賠額X服從對數(shù)正態(tài)分布,索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布,且X與N相互獨立,于是得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式:證明X的Fourier變換為:在Q下的索賠期望為:我們得到ht的隱式表達:。St分布的Fourier變換為:進而得到帶有自留額d=(1+π)EQ(St)的停止損失保費無套利價格:那么,根據(jù)(1),令最終得到n年期汽車保險損失率期權(quán)的定價公式(8)。3索賠次數(shù)、索賠額的擬合分析上一節(jié)中,我們在TaehanBae等人的研究基礎(chǔ)上,給出了當(dāng)索賠額分布服從指數(shù)分布、Γ分布、混合指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布時的汽車保險損失率期權(quán)的定價公式。接下來我們以太平洋保險公司沈陽分公司某部2008-2009年某時間段索賠數(shù)據(jù)作為樣本進行實證分析(數(shù)據(jù)計算過程均使用SPSS17.0軟件)。經(jīng)檢驗該樣本數(shù)據(jù)索賠次數(shù)服從泊松分布,索賠額服從Gamma分布,我們依據(jù)Γ-分布下的汽車保險損失率期權(quán)定價公式對樣本數(shù)據(jù)進行擬合,最后得到汽車保險損失率期權(quán)價格的近似解,對于將保險市場風(fēng)險轉(zhuǎn)移到證券市場過程中的定價問題,具有一定的參考價值。索賠次數(shù)的擬合根據(jù)該汽車保險公司索賠次數(shù)的樣本數(shù)據(jù),由計算可知樣本原點矩,運用參數(shù)λ=1.76的泊松分布對索賠次數(shù)進行擬合,擬合結(jié)果如下表1-2。于是,根據(jù)上述χ2檢驗的結(jié)果,顯著性水平為0.999,故可認為該數(shù)據(jù)的擬合分布為參數(shù)為λ=1.76的泊松分布。索賠額分布的擬合根據(jù)該保險公司索賠額的樣本數(shù)據(jù),得到該數(shù)據(jù)的一些主要統(tǒng)計量,如表3。根據(jù)直方圖及Q-Q圖(見圖5-8)可知,Gamma分布的擬合優(yōu)度較好。接下來,進一步對于索賠額數(shù)據(jù)關(guān)于Gamma分布做χ2檢驗,結(jié)論見表4。那么,根據(jù)上述的檢驗結(jié)果知,在顯著性水平為0.05的情況下,索賠額是服從Γ(α,β)分布的。那么利用矩估計方法,得到Γ(α,β)分布的兩個參數(shù)值:α=0.3534,β=0.0004435。這里,假設(shè)n=2,利率r=0.05,π=0.1。于是,利用線性插值的方法,可以得到h1=0.0002,h2=0.0003,那么d1=3001。最后,根據(jù)Γ-分布下汽車保險損失率期權(quán)定價公式(6),得到2年期汽車保險損失率期權(quán)定價為:V(0.1;0)=16.17。從上述實證分析來看,汽車保險公司可以花費少量的費用來規(guī)避風(fēng)險,但在具體操作時尚需要根據(jù)實際情況進行適當(dāng)調(diào)整。期權(quán)發(fā)行公司發(fā)行汽車保險損失率期權(quán),依據(jù)觸發(fā)條件(即