天津市高考理科數(shù)真題及詳細解答(解析生精校)

PAGEPAGE62014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分） 1．（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i 2．（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5 3．（5分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為（）A．15 B．105 C．245 D．945 4．（5分）函數(shù)f（x）=log（x2﹣4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 7．（5分）設(shè)a，b∈R，則“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 8．（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，則λ+μ=（）A． B． C． D． 二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9．（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行20．（14分）設(shè)f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函數(shù)y=f（x）有兩個零點x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）證明：隨著a的減小而增大；（Ⅲ）證明x1+x2隨著a的減小而增大．

2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分）1．（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i 【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】將復(fù)數(shù)的分子與分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)3﹣4i，即求出值．【解答】解：復(fù)數(shù)==，故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當直線y=﹣經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=﹣的截距最小，此時z最?。藭rz的最小值為z=1+2×1=3，故選：B．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．3．（5分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為（）A．15 B．105 C．245 D．945 【考點】EF：程序框圖．【專題】5K：算法和程序框圖．【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值，計算輸出S的值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循環(huán)的i值為4，∴輸出S=1×3×5×7=105．故選：B．【點評】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵．4．（5分）函數(shù)f（x）=log（x2﹣4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【考點】3G：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函數(shù)f（x）=g（t）=logt．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求函數(shù)t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的減區(qū)間．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），當x∈（﹣∞，﹣2）時，t隨x的增大而減小，y=logt隨t的減小而增大，所以y=log（x2﹣4）隨x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增．故選：D．【點評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【考點】KB：雙曲線的標準方程．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先求出焦點坐標，利用雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得=2，結(jié)合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程．【解答】解：∵雙曲線的一個焦點在直線l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦點坐標為（﹣5，0），∴c=5，∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴雙曲線的方程為﹣=1．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．6．（5分）如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】5B：直線與圓．【分析】本題利用角與弧的關(guān)系，得到角相等，再利用角相等推導(dǎo)出三角形相似，得到邊成比例，即可選出本題的選項．【解答】解：∵圓周角∠DBC對應(yīng)劣弧CD，圓周角∠DAC對應(yīng)劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD對應(yīng)劣弧BD，圓周角∠BAD對應(yīng)劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即結(jié)論①正確．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，F(xiàn)B2=FD?FA．即結(jié)論②成立．由，得AF?BD=AB?BF．即結(jié)論④成立．正確結(jié)論有①②④．故選：D．【點評】本題考查了弦切角、圓周角與弧的關(guān)系，還考查了三角形相似的知識，本題總體難度不大，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)a，b∈R，則“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】5L：簡易邏輯．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等價為a?a＞b?b，此時成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等價為﹣a?a＞﹣b?b，即a2＜b2，此時成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等價為a?a＞﹣b?b，即a2＞﹣b2，此時成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①當a＞0，b＞0時，a|a|＞b|b|去掉絕對值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因為a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②當a＞0，b＜0時，a＞b．③當a＜0，b＜0時，a|a|＞b|b|去掉絕對值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因為a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，綜上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要條件，故選：C．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合分類討論是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E、F分別在邊BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，則λ+μ=（）A． B． C． D． 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義由?=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3①；再由?=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．結(jié)合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由題意可得若?=（+）?（+）=+++=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3①．?=﹣?（﹣）==（1﹣λ）?（1﹣μ）=（1﹣λ）?（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故選：C．【點評】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9．（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取60名學(xué)生．【考點】B3：分層抽樣方法．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】先求出一年級本科生人數(shù)所占總本科生人數(shù)的比例，再用樣本容量乘以該比列，即為所求．【解答】解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，一年級本科生人數(shù)所占的比例為=，故應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生數(shù)為300×=60，故答案為：60．【點評】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中對應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3．【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5Q：立體幾何．【分析】幾何體是圓錐與圓柱的組合體，判斷圓柱與圓錐的高及底面半徑，代入圓錐與圓柱的體積公式計算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，其中圓柱的高為4，底面直徑為2，圓錐的高為2，底面直徑為4，∴幾何體的體積V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案為：．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵．11．（5分）設(shè){an}是首項為a1，公差為﹣1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為﹣．【考點】87：等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由條件求得，Sn=，再根據(jù)S1，S2，S4成等比數(shù)列，可得=S1?S4，由此求得a1的值．【解答】解：由題意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，再根據(jù)若S1，S2，S4成等比數(shù)列，可得=S1?S4，即=a1?（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．12．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，則cosA的值為﹣．【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】由條件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c=a①，2sinB=3sinC，∴2b=3c②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案為：﹣．【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（5分）在以O(shè)為極點的極坐標系中，圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A、B兩點，若△AOB是等邊三角形，則a的值為3．【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【專題】5S：坐標系和參數(shù)方程．【分析】把極坐標方程化為直角坐標方程，求出B的坐標的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直線ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲線ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，∵△AOB是等邊三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案為：3．【點評】本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，求出B的坐標是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（9，+∞）．【考點】53：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x﹣1|的圖象利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的圖象，當a≤0，兩個函數(shù)的圖象不可能有4個交點，不滿足條件，則a＞0，此時g（x）=a|x﹣1|=，當﹣3＜x＜0時，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），當直線和拋物線相切時，有三個零點，此時﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，則由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，當a=9時，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此時不成立，∴此時a=1，要使兩個函數(shù)有四個零點，則此時0＜a＜1，若a＞1，此時g（x）=﹣a（x﹣1）與f（x），有兩個交點，此時只需要當x＞1時，f（x）=g（x）有兩個不同的零點即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，則由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，則4=0不成立，故x≠1，則方程等價為a===||=|x﹣1++5|，設(shè)g（x）=x﹣1++5，當x＞1時，g（x）=x﹣1++5≥，當且僅當x﹣1=，即x=3時取等號，當x＜1時，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，當且僅當﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1時取等號，則|g（x）|的圖象如圖：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則滿足a＞9或0＜a＜1，故答案為：（0，1）∪（9，+∞）【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．三、解答題（共6小題，共80分）15．（13分）已知函數(shù)f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H1：三角函數(shù)的周期性．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式、倍角公式對解析式進行化簡，再由復(fù)合三角函數(shù)的周期公式求出此函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡的函數(shù)解析式和條件中x的范圍，求出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出再已知區(qū)間上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=cosx?（sinxcosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，則∈[，]，∴當=﹣時，即=﹣1時，函數(shù)f（x）取到最小值是：，當=時，即=時，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值為，最小值為．【點評】本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合三角函數(shù)的周期公式應(yīng)用，考查了整體思想和化簡計算能力，屬于中檔題．16．（13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．（Ⅰ）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；（Ⅱ）設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【考點】CB：古典概型及其概率計算公式；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）利用排列組合求出所有基本事件個數(shù)及選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出隨機變量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院”為事件A，則，所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為．（Ⅱ）解：隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以隨機變量X的分布列是X0123P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．【點評】本題考查古典概型及其概率公式，互斥事件，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查應(yīng)用概率解決實際問題的能力．17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．（Ⅰ）證明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【考點】MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角；5H：空間向量及應(yīng)用；5Q：立體幾何．【分析】（I）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出BE，DC的方向向量，根據(jù)?=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根據(jù)BF⊥AC，求出向量的坐標，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵?=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），設(shè)平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，則=（2，1，1），則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：sinθ===，故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F點在棱PC上，設(shè)=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得?=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），設(shè)平面FBA的法向量為=（a，b，c），由，得令c=1，則=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為：【點評】本題考查的知識點是空間二面角的平面角，建立空間坐標系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．18．（13分）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點為F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可設(shè)橢圓方程為，設(shè)P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圓的性質(zhì)可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于點P在橢圓上，可得．聯(lián)立可得=0，解得P．設(shè)圓心為T（x1，y1），利用中點坐標公式可得T，利用兩點間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線l的方程為：y=kx．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點為F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化為a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此橢圓方程為．設(shè)P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵點P在橢圓上，∴．聯(lián)立，化為=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．設(shè)圓心為T（x1，y1），則=﹣，=．∴T，∴圓的半徑r==．設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=kx．∵直線l與圓相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直線l的斜率為．【點評】本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．19．（14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；（Ⅱ）設(shè)s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．證明：若an＜bn，則s＜t．【考點】8E：數(shù)列的求和；8K：數(shù)列與不等式的綜合．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；55：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（Ⅰ）當q=2，n=3時，M={0，1}，A={x|x=x1+x2?2+x3?22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．a(chǎn)n＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．由題意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：當q=2，n=3時，M={0，1}，A={x|x=x1+x2?2+x3?22，xi∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）證明：由設(shè)s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．a(chǎn)n＜bn，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1=（q﹣1）（1+q+…+qn﹣2）﹣qn﹣1=﹣qn﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【點評】本題考查了考查了集合的運算及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．20．（14分）設(shè)f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函數(shù)y=f（x）有兩個零點x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）證明：隨著a的減小而增大；（Ⅲ）證明x1+x2隨著a的減小而增大．【考點】52：函數(shù)零點的判定定理；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)，討論f′（x）的正負以及對應(yīng)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，設(shè)g（x）=，判定g（x）的單調(diào)性即得證；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，則x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，故得到x1+x2隨著t