全等三角形常見(jiàn)的幾何模型

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全等三角形常見(jiàn)的幾何模型（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）1、繞點(diǎn)型（手拉手模型）（1）自旋轉(zhuǎn)：（2）共旋轉(zhuǎn)（典型的手拉手模型）例1、在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60?！鰽GB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC變式練習(xí)1、如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC變式練習(xí)2、如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC（1）如圖1，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在AB的同側(cè)作等邊△ACM和△CBN，連接AN，BM．分別取BM，AN的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，EF．觀察并猜想△CEF的形狀，并說(shuō)明理由．

（2）若將（1）中的“以AC，BC為邊作等邊△ACM和△CBN”改為“以AC，BC為腰在AB的同側(cè)作等腰△ACM和△CBN，”如圖2，其他條件不變，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例4、例題講解：1.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊作菱形ADEF(按A,D,E,F逆時(shí)針排列），使∠DAF=60°,連接CF.(1)

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①

BD=CF

?

②AC=CF+CD.(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系。2、半角模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。例1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB,AD上各存在一點(diǎn)P、Q，若△APQ的周長(zhǎng)為2，求的度數(shù)。例2、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足MN=BM+DN，求證：①∠MAN=45°；②△CMN的周長(zhǎng)=2AB；③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM。例3、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)：①試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；②求證：AB=AH.例4、在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD且上，滿足EF=BE+DF.求證：。1、截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明三角形全等例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE練習(xí)1如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE3如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．4在△ABC中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.6.如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由例2已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.圖1-1求證：∠BAD+∠BCD=180°.圖1-1練習(xí)已知，如圖3-1，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.圖3-1求證：∠BAP+∠BCP=180°.圖3-1倍長(zhǎng)中線法證三角形全等例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。練習(xí)1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍例2.已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE練習(xí)2已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF例3已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分練習(xí)3已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE作業(yè)1、已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE3、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論4、已知：如圖，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.5：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF6：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE7、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論第十一章全等三角形復(fù)習(xí)一、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性質(zhì)（1）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。（2）：全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。（3）：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。3、全等三角形的判定（1）邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SSS”)（2）邊角邊:兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“SAS”)（3）角邊角:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“ASA”)（4）角角邊:兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“AAS”)（5）斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“HL”)4、證明兩個(gè)三角形全等的基本思路：二、角的平分線：1、（定義）從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)的一條射線，如果把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。2、（性質(zhì)）①角平分線分得的兩個(gè)角相等，并且等于所分角的一半②角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.3、（判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1)要正確區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)邊”，“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)角”的不同含義；（2表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；（3）“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等；（4）時(shí)刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角”、“公共邊”、“對(duì)頂角”第十二章軸對(duì)稱一、軸對(duì)稱圖形1.把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。這條直線就是它的對(duì)稱軸。這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱點(diǎn)3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系4.軸對(duì)稱的性質(zhì)①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。二、線段的垂直平分線1、（定義）經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。2、（性質(zhì)）①垂直平分線垂直于線段②垂直平分線平分線段③線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等3.（判定）與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)：

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.四、（等腰三角形)知識(shí)點(diǎn)回顧1、等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊；兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角2、等腰三角形的性質(zhì)①、等腰三角形的兩腰相等②、等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）③、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）3、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（等角對(duì)等邊）五、（等邊三角形）知識(shí)點(diǎn)回顧1、等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形2、等邊三角形的性質(zhì)：①、等邊三角形的三邊都相等②、等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于6002、等邊三角形的判定：①、三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）②、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。③、有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。常見(jiàn)圖形一、軸對(duì)稱型：二、相交線型三、旋轉(zhuǎn)型１．三角形全等的判定一（SSS）1．如圖，AB＝AD，CB＝CD．△ABC與△ADC全等嗎？為什么？2．如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求證∠A=∠D．２．三角形全等的判定二（SAS）1．如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD．求證DC∥AB．2．已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB．AAEBCFD3．22ACBHED14．已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．5.已知：如圖，正方形ABCD，BE=CF，求證：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF.３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）1．已知，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。AADBCFE2．已知：如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB５．三角形全等的判定五（HL）1．如圖，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求證：∠ABD＝∠ACD．2．已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，B