2021-2022學(xué)年廣東省江門市恩平第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省江門市恩平第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理

聯(lián)考試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

1.當(dāng)K2>6.635時，認(rèn)為事件A與事件B()

A.有95%的把握有關(guān)B.有99%的把握有關(guān)

C.沒有理由說它們有關(guān)D.不確定

參考答案:

B

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計.

【分析】根據(jù)所給的觀測值同臨界值的比較，得到有1-0.01=99%的把握認(rèn)為事件A與事

件B有關(guān)系，得到結(jié)果.

【解答】解：；心>6.635,

...有1-0.01=99%的把握認(rèn)為兩個事件有關(guān)系，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的作用，本題解題的關(guān)鍵是理解臨界值對應(yīng)的

概率的意義，本題是一個基礎(chǔ)題.

2.如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,平面ABC_L側(cè)面ABBA,且AAFAB=BC=2,則AC與平

面ABC所成角為()

冗冗冗冗

A.VB.4C.3D.2

參考答案：

A

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.

【分析】證明AD，平面ABC,得出NACD即為直線AC與平面ABC所成的角，求出

返

AC=V2,AD=2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，ABiCAB=D,連結(jié)CD,

：AAi=AB,AADIA.B,

?.?平面AIBCJJ則面A.ABBL且平面ABCCl側(cè)面A.ABBFA.B,

AD_L平面ABC,

則CD是AC在平面AiBC內(nèi)的射影，

...ZACD即為直線AC與平面A,BC所成的角，

又BC?平面A.BC,

所以ADLBC,

因?yàn)槿庵鵄BC----ABG是直三棱柱，

則AA」底面ABC,

所以AAnBC.

又AA,nAD=A,從而BC_L側(cè)面A,ABB,,

又AB?側(cè)面AJABBI,故ABLBC

返

；AAi=AB=BC=2,/.AC=V2,AD=2

171

/.sinZACD=2,二NACD=6,

故選A.

3.等比數(shù)列W的各項(xiàng)均為正數(shù)，且生4=9,則

10§3%+log3a2+…+%40的值

為

A.12B.10C.8

D.2+log35

參考答案:

B

略

4.已知直線x+2y=2與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，若動點(diǎn)P(a,b)在線段

AB上，則ab的最大值為

11

A.2B.2C.3D.3

參考答案:

A

5.曲線y二e"y=e，和直線x=l圍成的圖形面積是()

1_111_

A.e+e-2B.e-e+2C.e+eD.e-e-2

參考答案：

A

【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用.

【分析】作出兩個曲線的圖象，求出它們的交點(diǎn)，用定積分計算公式加以運(yùn)算即可得到本

題答案.

1_

【解答】解：?.?曲線y=e*,y=e-“和直線x=l的交點(diǎn)為(1,e),(1,7),

r11

xxx1

...曲線丫=1y=e*和直線x=l圍成的圖形面積S=」0(e-e')dx=(e+e)0=e+e

-1-l=e+e-2,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計

算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.某城市有學(xué)校700所，其中大學(xué)20所，中學(xué)200所，小學(xué)480所，現(xiàn)用分層抽樣的方

法從中抽取一個容量為70的樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，則應(yīng)抽取的中學(xué)數(shù)為()

A.70B.20C.48D.2

參考答案：

B

7若(3x+l)5=。5*$+即；？++的尤+劭，則點(diǎn)2的值為()

A.270B.27。/C.90D.9。/

參考答案：

C

略

8.設(shè)函數(shù)y=f(x),x￡R,"y=|f(x)|是偶函數(shù)"是"y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

參考答案：

B

【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】“y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱”，xER,可得y=If(x)是偶函數(shù).反之不成

立，例如f（x）=x2.

【解答】解："y=f（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱”，XSR,可得y=|f（x）|是偶函數(shù).

反之不成立，例如f（x）=/,滿足y=|f（x）|是偶函數(shù)，xSR.

因此，"y=|f（x）|是偶函數(shù)”是“y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱”的必要不充分條件.

故選：B.

x+y-7<0

x-j+3>0>

9.已知圓（尸”=1jr>0

設(shè)平面區(qū)域-“若圓心

0€￡2,且圓0與￡軸相切，則@2+廿的最大值為（）

A.5B.29C.37D.49

參考答案:

C

10.若函數(shù)=有兩個不同的零點(diǎn)巧，且1＜。＜巧＜3,那么在

fCV（3）兩個函數(shù)值中（）

A.至多有一個小于1B.至少有一個小于1C.都小于1D.都大

于1

參考答案：

B

試題分析：％）=（工一看h一巧），f（i）=Q一區(qū)Xi一巧），芥）=（3-。）（3-巧）所以

,（1）/（3）=（1-力（1-巧）（3—03-巧）=（不一叫一3）（1-巧）（3-根據(jù)基本不等式

卜一城3-6產(chǎn)-。；6-叫=1

L'J同理

&T）（3-6p^^T=l

L2」，即

/（1）/（3）41,所以在fOVG）兩個函數(shù)值中至少有一個小于1.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn)；2.基本不等式.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E為邊AB的中點(diǎn)，將4ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△AQE,

若M為線段AC的中點(diǎn)，則在4ADE翻轉(zhuǎn)過程中，對于下列說法：

①ICAI2ICA".

②若點(diǎn)Ai在平面ABCD的射影為0,則點(diǎn)0在NBAD的平分線上.

③一定存在某個位置，使DE_LAG

④若|CAi|=如，則平面AJ)E,平面ABCD

其中正確的說法是.

參考答案:

①②④

【考點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】解：①由將aADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△ADE,可得|CA|2CA,,正確.

②若點(diǎn)兒在平面ABCD的射影為0,作AFLDE,連接AF,0F,則AF_LDE,0FLDE,則點(diǎn)0

在DE的高線上，點(diǎn)0在NBAD的平分線上，正確.

③在平面ABCD中的射影為0C,0C與DE不垂直，

存在某個位置，使DE_LA￡不正確，故③不正確；

④若|CA/=我，則；|AF|=孚，Ie"吟-2X2X率嚕熊,

...|A1F|2+|CF|2=|CA1|2,

，AF_LCF,；AF_LDE,...AF_L平面ABCD,；.平面ADE_L平面ABCD,正確.

故答案為①②④.

AI

J

AEB

2222

J+匕=i（w>o）^-2L=i（?>o）

12.已知橢圓步16和雙曲線/9有相同的焦點(diǎn)叫、F2,點(diǎn)

P為橢圓和雙曲線的一個交點(diǎn)，則PFi|?IPF2I的值是

參考答案：

25

13.設(shè)aWR,若函數(shù)y=e"+ax,xWR有大于零的極值點(diǎn)，則（）

A.a<—1B.a>一1"

C.a>--D.a<-

ee

參考答案：

A

略

14.下列命題中正確的序號是

①平面向量l與石的夾角為60。，1（2,0）,b|=l,則贏E上的投影為

②有一底面積半徑為1,高為2的圓柱，點(diǎn)0為這個圓柱底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)

2

抽取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到0點(diǎn)的距離大于1的概率為豆

1

③命題：“？x￡（0,+8）,不等式cosx>l-2x“恒成立”是真命題.

X41

《2ab

④在約束條件x+y>l下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為6,貝！j2a+b的最

2

大值等于至

參考答案：

②③

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用.

專題：綜合題.

分析：①根據(jù)投影公式代入求出即可判斷；②根據(jù)球和圓柱的體積公式求出即可；③構(gòu)造

函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論；④畫出平面區(qū)域，結(jié)合基本

不等式的性質(zhì)從而求出代數(shù)式的最大值.

___1

解答：解：①則W在Eh的投影為：a|cos600=2X2=1,故①錯誤；

②???到點(diǎn)0的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成一個球面，如圖，

則點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離大于1的概率為:

271

半球外的體積圓柱的體積-半球的體積2

p=圓柱的體積=圓柱的體積=一g一=百,

故②正確;

1

③構(gòu)造函數(shù)h(x)=cosx-l+2x\h'(x)=-sinx+x,h"(x)-cosx+120,Ah7

(x)在(0,+8)上單調(diào)增

.,.h,(x)>h'(0)=0,.?.函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調(diào)增,Ah(x)>0,

工

.".cosx>l-2x",即不等式恒成立，

故③正確；

④：約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖

3個頂點(diǎn)是(1,0),(1,2),(-1,2),

由圖易得目標(biāo)函數(shù)在(1，2)取最大值6,

此時a+2b=6,

Va>0,b>0,.?.由不等式知識可得：a+2b=6^2Va?2b,

93

，abW2,當(dāng)且僅當(dāng)：a=2b即：a=3,b=2時成立，

ab2a+b

要求2a+b的最大值轉(zhuǎn)化為求ab的最小值即可,

2a+b2121294

而ab=b+a>2Vba=2Vab^212=3,

ab4

...五瓦的最大值等于百，

故④錯誤，

故答案為：②③.

點(diǎn)評：本題考查了向量的運(yùn)算，考查概率問題，考查函數(shù)恒成立問題，基本不等式性質(zhì)的

應(yīng)用以及線性規(guī)劃問題，是一道綜合題.

15,已知而卜2,|5卜4,Q+5)J_2,則歷-2b|=

參考答案：

2M

略

16.命題：若a>2,則a2>4的逆否命題

為。

參考答案：

若a+4,則a?2

略

17.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集為(-1,2),則a+b的值是

參考答案：

1

【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.

【分析】根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，解之即可.

【解答】解：不等式(x-a)(x-b)<0的解集為(-1,2),

可得(x-a)(x-b)=0的解Xi=-1,X2=2,

即a=-l,b=2,或者a=2,b=-1,

a+b的值等于1.

故答案為1.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱PD_L底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF_LPB交PB于點(diǎn)F.求證：

(1)PA〃平面EDB；

(2)PB_L平面EFD.

(3)求三棱錐E-BCD的體積.

參考答案：

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定；皿：直線與平面垂

直的判定.

【分析】(1)連接AC交BD于點(diǎn)0,連接0E,利用中位線定理得出0E〃PA,故PA〃平面

EDB；

(2)由PD_L平面ABCD得PD1,BC,結(jié)合BC_LCD得BC_L平面PCD,于是BCJ_DE,結(jié)合

DE_LPC得DE_L平面PBC,故而DEJ_PB,結(jié)合PB_LEF即可得出PB_L平面DEF；

11

(3)依題意，可得V|i-BCD=2V|,.BCD=6SABCD?PD.

【解答】證明：(1)連接AC交BD于點(diǎn)0,連接0E.

?.?底面ABCD是正方形,

點(diǎn)0是AC的中點(diǎn).又E為PC的中點(diǎn),

，0E〃PA.

又E0?平面BDE,PA?平面BDE

??.PA〃平面BDE.

(2)：PD_L底面ABCD,BC?平面ABCD,

APD1BC.

:底面ABCD是正方形，.-.BC1CD.

又PDC1DC=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,

平面PCD.又DE?平面PCD,

.\BC±DE.

VPD=DC,E是PC的中點(diǎn)，ADE±PC.

又PC?平面PBC,BC?平面PBC,PCABC=C,

.?.DEJ_平面PBC.而PB?平面PBC,

ADEIPB.又EF_LPB,且PDADC=D,

，PB_L平面DEF.

(3)YE是PC的中點(diǎn),

x=4cos6

19.在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，圓C的參數(shù)方程為Iy('為參數(shù))

直線/經(jīng)過

點(diǎn)式Z2),傾斜角a一虧.

(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線/的參數(shù)方程；

(2)設(shè)直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，求I叫-|口1的值.

參考答案：

x=2+—/

⑴<+/=16,"一2+了晨￡為參數(shù)）⑵&

（1）方程消去參數(shù)3得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為V+V=16,由直線方程的意義可直接寫出直線I的

參數(shù)；（2）把直線？的參數(shù)方程代入=16,由直線？的參數(shù)方程中￡

的幾何意義得幽-明的值.

解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為^+丁=16……2分

yrI

x=2+/txjs—工=24?不上

{2?:（2君

jr=2+Zsn—JF=2+—/

直線r的參數(shù)方程為3,即2（工為參數(shù)）5分

（2）把直線的方程,一2?5’代入3+丁=16,

得（2+抄+（2+堂廳=16戶+貼+巾-8=0&分

所以他=-8,即I叫叫=?……io分.

/（x）=x+-/（2）=2+衛(wèi)

20.已知函數(shù)x的定義域?yàn)椋ā?丑@,且'2,設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖

象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線卜=》和7軸的垂線，垂足分別為M,N。

（1）求《的值；

（2）判斷忸加1」尸M是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理

（3）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OWN面積的最小值。

參考答案:

f(2)=2+-=2+—,:.a=、歷

解析：(1)22

也

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則有b=a+a,a>0

I(Ik一司1

由點(diǎn)到直線的距離公式可知：尸初一年一％“|=”,故有畫?網(wǎng)=1

(3)設(shè)M(t,t)可知N(0,b)又PM垂直直線y=x，所以爪加=一1，

T=-l/=^(?+A)

即解得2又

a+旦

2a

142a2^212之內(nèi)

g、?=SxQPM+區(qū)底)PM-(a+4)+&1+

所以，212222

僅當(dāng)a=l時取等.此時四邊形面積最小值為1+、回.

21.(14分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax在x=l處取得極小值，其中a是實(shí)數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

空3

(2)用反證法證明：當(dāng)x>0時，x2^一中至少有一個不小于君.

參考答案:

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；反證法與放縮法.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)F(1)=0,求出a的值即可；

-2,G)—(x)

(2)假設(shè)x2,一x—都小于得到關(guān)于x的不等式組，得出矛盾，證出結(jié)論

即可.

【解答】解：(1)Vf(x)=x3.ax,

f(x)=3x2-a,...(2分)

:函數(shù)f(x)=x3-ax在x=l處取得極小值,

Af(1)=0,...

叩3-a=0,

a=3....(7

分)

-2,(X)F(x)

證明：(2)假設(shè)x2,一x—都小于

即(9分)

-2x+y<V3

3X-7<V3

...(一2X+9+(3XY)<班⑴分)

即x—〈姐，

X+2

當(dāng)x>0時，7>2^X-=-V3；當(dāng)且僅當(dāng)xq,即時等號成立，

假設(shè)不成立，

-2,G)F(x)

/.X2,—x―中至少有一個不小于遮…(14分)

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，是一

道中檔題.

22.已知矩形ABCD中，AB=2&,BC=1.以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系xoy.

(1)求以A,B為焦點(diǎn)，且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線1與(1)中的橢圓交于M,N兩點(diǎn)，是否存在直線1,使得以

線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線1的方程；若不存在，說明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的一般式方程；直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓錐曲線的

綜合問題.

【專題】計算題；壓軸題.

【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知

2a=AC+BC,求得a,進(jìn)而根據(jù)b,a和c的關(guān)系求得b,則