2021-2022學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第三章 圓單元測試試題（含詳細(xì)解析）

北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第三章圓單元測試

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，中，ZAOC=90\則ZABC等于（）

A.35°B.40'C.45°D.50°

2、如圖,在圓內(nèi)接五邊形ABCDE中,NC+NC3E+/E+/E4B=425。，則NCZM的度數(shù)為（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

3、如圖，為。。的直徑，C,〃為。。上兩點，NCD5=30。，BC=3,則48的長度為（）

C.9D.12

4、如圖，點A,B,C在。。上，AQ鉆是等邊三角形，則ZACB的大小為（）

A.60°B.40°C.30°D.20°

5、如圖，有一個弓形的暗礁區(qū)，弓形所含的圓周角NC=5O。，船在航行時，為保證不進(jìn)入暗礁區(qū),

則船到兩個燈塔46的張角NAS3應(yīng)滿足的條件是（）

燈塔4燈塔臺

A.sinZASB>sin25°B.sinZASB>sin50°

C.sinZASB>sin55°D.cosZASB>cos50°

6、下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

7、如圖，AABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。是邊AC上一動點，連接8。，以8為直徑的圓

交BO于點E.若A3長為4,則線段AE長的最小值為（）

A.石-1B.2逐-2C.2M-2丘D.近

8、已知。。的半徑為5,若點。在。。內(nèi)，則好的長可以是（）

A.4B.5C.6D.7

9、如圖，內(nèi)接于ZBAC=30°,BC=6,則。。的直徑等于（）

A.10B.6應(yīng)C.6逐D.12

10、小明設(shè)計了如圖所示的樹型圖案，它是由4個正方形、8個等邊三角形和5個扇形組成，其中正

方形的邊長、等邊三角形的邊長和扇形的半徑均為3,則圖中扇形的弧長總和為（）

A.8nB.六C.；〃D.12Ji

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，正六邊形A3CD砂的邊長為2,以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC，連接AC,

AE,則圖中陰影部分的面積為.

2、已知某扇形的半徑為5cm,圓心角為120。，那么這個扇形的弧長為____cm.

3、如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若制作一個圓心角為160°的圓弧形窗

簾軌道（如圖2）需用此材料800萬mm,則此圓弧所在圓的半徑為mm.

4、在R/AABC中，NA4C=9()。，AC=AB=4,D,￡分別是45,AC的中點，若等腰RfAADE繞點力

逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰記直線8。與C片的交點為夕，則點。到48所在直線的距離的最大

值為_______.

5、如圖，五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，則/8C的度數(shù)是

三、解答題(5小題，每小題10分，共計50分)

1、已知：如圖，A48C中，AB^AC,以AB為直徑的交8c于點P,P￡>J_AC于點。.

c

(1)求證：PO是。。的切線；

(2)若NC43=120。，43=6,求8C的值.

2、如圖，為。。的切線，6為切點，過點6作6＜門_勿，垂足為點區(qū)交。。于點C,連接8并延

長CO與15的延長線交于點D,連接AC.

(1)求證：力。為。。的切線；

(2)若。。半徑為2,⑺=4.求線段的長.

3、已知：如圖，△46。為銳角三角形，AB=AC

求作：一點R使得N4PC=NB4C

作法：①以點/為圓心，46長為半徑畫圓;

②以點6為圓心，6c長為半徑畫弧，交。力于點C,〃兩點;

③連接DA并延長交。力于點P

點P即為所求

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明

證明：連接AGBD

,：AB^AC,

...點C在。1上

'：BC=BD,

N________=N_________

：.ZBAC=^ZCA/)

,:點D,夕在。［上，

/.ZCPD=\^CAD()(填推理的依據(jù))

AAPC=ABAC

4、如圖，在。4仇力中，ZZ7=6O°,對角線6G。。經(jīng)過點4、點6,與4c交于點M,連接40并

延長與。。交于點先與第的延長線交于點￡,AB=EB.

(1)求證：比1是。。的切線；

(2)若AD=2氐求。。的半徑.

5、如圖，在a'中，NC=90°,點0為邊比1上一點.以。為圓心，0C為半徑的。。與邊4?相切

于點D.

(1)尺規(guī)作圖：畫出。0,并標(biāo)出點〃(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)所作的圖中，連接切，若C4BD,且4C=6.求劣弧CO的長.

-參考答案-

一、單選題

1、C

【分析】

由題意直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行分析即可得出答案.

【詳解】

解：和N40C是弧然所對的圓周角和圓心角，ZAOC=90°,

故選：C.

【點睛】

本題考查圓周角定理，注意掌握同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角是圓心角的一半.

2、B

【分析】

先利用多邊的內(nèi)角和得到/EAB+ZB+NC+NCDE+NE=540。，可計算出N8=115。，然后根據(jù)圓內(nèi)接

四邊形的性質(zhì)求出ZCDA的度數(shù)即可.

【詳解】

解：???五邊形ABCDE的內(nèi)角和為（5-2）x180。=540。，

Z.ZEAB+ZB+ZC+ZCDE+=540°,

ZEAB+ZC+ZCDE+NE=425°,

...ZS=540°-425°=115°,

???四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZB+ZCZM=180°,

/.ZCm=180°-115o=65°.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

3,A

【分析】

連接4G利用直角三角形30°的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：如圖，連接力C

,.36是直徑，,

.：NCA爐NCDB=3G°,

廬2於6,

故選：A.

【點睛】

本題考查圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直

角三角形解決問題.

4、C

【分析】

由△。由為等邊三角形，得：//仍與0。，再根據(jù)圓周角定理，即可求解.

【詳解】

解：???△。出為等邊三角形，

：.ZAO&-600,

AZACH=-ZAOB=-XQ0°=30°.

22

故選C.

【點晴】

本題主要考查圓周角定理，掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

5、D

【分析】

本題利用了三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相

等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

【詳解】

如圖，4S交圓于點￡,連接團(tuán)，

燈塔4燈

由圓周角定理知，ZAEB=Z（=50°,而/力原是△澗的一個外角，由N4旗〉NS,即當(dāng)NS<50°時

船不進(jìn)入暗礁區(qū).

所以，兩個燈塔的張角N/防應(yīng)滿足的條件是//S6<50°.

.".cosZ.ASB>cos500,

故選：D.

【點睛】

本題考查三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決

問題.

6、A

【分析】

根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項排查即可.

【詳解】

解：A.同弧或等弧所對的圓周角相等，所以4選項正確；

6.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以6選項錯誤;

G在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以。選項錯誤；

〃圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以〃選項錯誤.

故選A.

【點睛】

本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識點.靈活運用相

關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】

如圖，連接CE,由C￡＞為直徑，證明E在以8c的中點。為圓心，8c為直徑的。。上運動，連接A0,

交于點瓦則此時=最小，再利用銳角的正弦與勾股定理分別求解4。,即可得到

答案.

【詳解】

解：如圖，連接CE,由8為直徑，

\?CED90??BEC,

二E在以8c的中點。為圓心，8C為直徑的。。上運動,

連接AO,交。。于點瓦則此時AE=AO-OE最小，

???ZACB=90°,AC=BC,AB=4,

ZABC=ABAC=45°,

\AC=BC=ABg;in45?2^2,OB=OC=OE=41,

\40=^2^）:+（可二河

\AE^y/]Q-y/2.

故選D

【點睛】

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓外一點與圓的最短距離的理解，銳角的正弦的應(yīng)用，掌握“圓外一

點與圓的最短距離求解線段的最小值”是解本題的關(guān)鍵.

8、A

【分析】

根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得。尸<5,由此即可得出答案.

【詳解】

解：的半徑為5,點P在。。內(nèi)，

:.OP<5,

觀察四個選項可知，只有選項A符合，

故選：A.

【點睛】

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系（圓內(nèi)、圓上、圓外）是解題關(guān)鍵.

9、D

【分析】

連接08,0C,根據(jù)圓周角定理求出/60C的度數(shù)，再由彼=〃判斷出△06C是等邊三角形，由此可得

出結(jié)論.

【詳解】

解：連接。6,0C,

VZ2S40300,

：.ABOC=^°.

?：OB=OC,小6,

...△〃冗是等邊三角形，

0±BO6.

的直徑等于12.

故選：D.

【點睛】

本題考查的圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】

如圖(見解析)，先分別求出扇形①、②、③、④和⑤的圓心角的度數(shù)，再利用弧長公式即可得.

【詳解】

解：如圖，扇形①、③和⑤的圓心角的度數(shù)均為360。-90。-60。-60。=150。，

扇形②和④的圓心角的度數(shù)均為180。-60。-60。=60。，

則圖中扇形的弧長總和絲誓巨、3+需^*2=字+2萬=券乃，

18()18()22

故選：C.

③

④

【點睛】

本題考查了求弧長，熟記弧長公式（/=黑，其中/為弧長，〃。為圓心角的度數(shù)，「為扇形的半徑）

是解題關(guān)鍵.

二、填空題

1、2萬

【分析】

由正六邊形/⑥屹卯的邊長為2,可得45=6信2,N48俏NB4戶120°,進(jìn)而求出/劭俏30°,

后60°,過6作6414c于〃，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到力小加

B/f=l,在股掰中，由勾股定理求得1年6，得到力年2百，根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部

分的面積

【詳解】

解：?.?正六邊形4式頗的邊長為2,

62xl8

AB=BC=2,ZABC=ZBAF=（-）°=12o°=120°,

VZABOZBAC+ZBCA=180°,

A(180°-AABC^Jx(180°-120°)=30°,

過B作BHLAC于H,

：.AH=CH,X2=l,

在Rt/XABH中,

AH=^AB2-BH2=百一『=6,

：.A(=2^3,

同理可證，/必戶30°,

:.NCA夕NBA戶/BAC-NEA的120°-30°-30°=60°,

..S扇形CA￡==27

360

圖中陰影部分的面積為2口,

故答案為：2n.

【點睛】

本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握扇形面積公式

是解題的關(guān)鍵.

10萬

2、亍

【分析】

根據(jù)弧長公式代入求解即可.

【詳解】

解：二扇形的半徑為5cli1,圓心角為12的，

12O°x^x5104

???扇形的弧長=

180°

104

故答案為:

【點睛】

此題考查了扇形的弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式：黑，其中〃是扇形圓心角的

18()

度數(shù)，r是扇形的半徑.

3、900

【分析】

由弧長公式上噂得到〃的方程，解方程即可.

lot)

【詳解】

解：根據(jù)題意得，800%=幽土，解得，廬900(mm).

180

答：這段圓弧所在圓的半徑力是900mm.

故答案是：900.

【點睛】

本題考查了弧長的計算公式：片噤，其中/表示弧長，〃表示弧所對的圓心角的度數(shù).

1oO

4、1+5/3##

【分析】

首先作外交所在直線于點G,則〃，后在以/為圓心，49為半徑的圓上，當(dāng)初所在直線

與。/相切時，直線能與死;的交點尸到直線力6的距離最大，此時四邊形是正方形，進(jìn)而求

出所的長.

【詳解】

解：如圖，作交46所在直線于點G,

?：R,￡在以力為圓心，4?為半徑的圓上，

當(dāng)做所在直線與。力相切時，直線BD、與CE、的交點P到直線4?的距離最大,

此時四邊形/〃陽是正方形，

'：ZCA&=90°,A(=AB=4,D,"分別是46,4C的中點，

:.AD=AEFA3P2=2,

貝U初="2-22=2百，

故N4第=30°,

則陽=2+2百，

：.PG=^PB=\+y[3,

故點。到46所在直線的距離的最大值為：W1+6.

故答案為：I+6.

【點睛】

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題

意得出PC的最長時。點的位置是解題關(guān)鍵.

5、54°

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形的定義求出利用三角形內(nèi)角和求出答案.

【詳解】

解：?.?五邊形43a乃是。。的內(nèi)接正五邊形，

OC=OD,

：.Z.ODC=g(180。-ZCOD)=54°,

故答案為：54。.

【點睛】

此題考查了圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，同圓的半徑相等的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接正五邊

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)見解析；(2)BC=6y/3.

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得NOPB=NC,進(jìn)而證得勿為”；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定

即可證得結(jié)論；

(2)連接AP,根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得NAPB=90。，BP=CP,4=30。，再根據(jù)

含30°角的直角三角形性質(zhì)求出征即可求解.

【詳解】

(1)證明：-：AB=AC,

/.ZB=ZC,

?；OP=OB,

:.ZB=NOPB,

NOPB=NC,

：.OP//AC,

?：PDLAC,

s.OPLPD,又⑺走半徑，

.??也＞是。。的切線；

(2)解：連接AP,如圖，

QA5為直徑，

.?.ZAPB=90°,

?:AB=AC,ZCAB=^120°,

1.BP=CP,ZB=(180°-120)4-2=30°,

在RtZ\/l陽中，AB=6,ZB=30°,

/.AP=-AB=3

2f

BP=y/3AP=3s/3,

二.BC=2BP=66.

C

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、含30°角的直角三

角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

2、(1)見解析；(2)46

【分析】

(1)連接如，證明的△/①(SSS),可得N4W=90°,即可證明/C為。。的切線;

(2)在RtZX6勿中，勾股定理求得6〃根據(jù)sing黑=槊，代入數(shù)值即可求得答案

ODAD

【詳解】

解：(1)連接OB,

?.38是。。的切線,

J.OBLAB,

即/4笈2=90°,

?.?比是弦，OAVBC,

：.CE=BE,

:.AC=AB,

在△力如和中,

AB=AC

<AO=AO,

BO=CO

:.XAO監(jiān)>A0C(SSS),

：.ZACO=ZABO=9Qa,

即ACLOC,

.?/。是00的切線；

(2)在RtZ\80〃中，由勾股定理得，

BD=^OD2-OB'=2+,

???sin〃=^=*,。。半徑為2,0D=\.

.2AC

"4~AC+2y[3'

解得1￡26，

:.AD=BaAB=4￡.

【點晴】

本題考查了切線的性質(zhì)與判定，正弦的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

3、(1)見解析；(2)BAOBAD,圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

【分析】

(1)根據(jù)按步驟作圖即可；

(2)根據(jù)圓周角定理進(jìn)行證明即可

【詳解】

（2）證明：連接AC,BD

?：AB=AC,

...點。在。4上

"：BC=BD,

：.NBA用NBAD

:./BAC=%/CAD

?:點D,夕在。力上，

:.乙CPD=三乙CAD（圓周角定理）（填推理的依據(jù)）

4Ape=Z.BAC

故答案為：BAC=BAD,圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

4、(1)見詳解；(2)4.

【分析】

(1)連接仍，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到乙4於/分60°,求得N%年30°,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到N460N勿廬30°,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到除力慶2月，過。作勿讓4"于"則四邊形0BCH是矩形，解直角

三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：連接OB,

?.?四邊形45切是平行四邊形，

,：ACVBC,

：.ZACB=90°,