七年級數(shù)學(xué)上冊專題1.3 絕對值的綜合運用（強化）（解析版）

/專題1.3絕對值的綜合運用【例題精講】已知，，且，求的值．【解答】解：，，或10，或4，，，或4，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，．綜上所述，的值為0或．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，或0；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則．【解答】解：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，①，，；②，，；③、異號，．故或0；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，①，，，；②，，，；③、、兩負一正，；④、、兩正一負，．故或；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則，，，、、兩正一負，則．故答案為：或0；或；．同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．請你借助數(shù)軸進行以下探索：（1）數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是7，（2）數(shù)軸上表示與2的兩點之間的距離可以表示為．（3）如果，則．（4）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到和1所對應(yīng)的點的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（5）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，說明理由．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是，故答案為：7；（2）數(shù)軸上表示與2的兩點之間的距離可以表示為，故答案為：；（3），或，解得：或，故答案為：7或；（4）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到和1所對應(yīng)的點的距離之和，，這樣的整數(shù)有、、、0、1，故答案為：、、、0、1；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當(dāng)時，有最小值是3．【題組訓(xùn)練】1．若，那么的值是多少？【解答】解：由題意得，，，解得，，所以，，答：的值是2．2．已知：，，且，求的值．【解答】解：，，，，，或，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．故的值為4或14．3．若，1；若，；①若，則；②若，則．【解答】解：，，；，，，故答案為：1，；①，，，，故答案為：1；②，、、中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)和三個負數(shù)兩種情況，當(dāng)、、中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)時，，當(dāng)、、中有三個負數(shù)時，，故答案為：1或．4．若，且，求的值．【解答】解：，，，解得：，，，，原式．5．已知與互為相反數(shù)，求的值．【解答】解：根據(jù)題意得，，，，，，，原式．6．已知與互為相反數(shù)，求式子的值．【解答】解：與互為相反數(shù)，，又，，，，解得：，，．7．已知與互為相反數(shù)，求的值．【解答】解：與互為相反數(shù)，、，又，，，，解得，，．8．若．計算：（1），，的值．（2）求的值．【解答】解：（1）由題意，得，解得．即，，；（2）當(dāng)，，時，，即的值是0．9．計算：已知，，且，求的值．【解答】解：，，且，，，．10．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的（探究）．（提出問題）兩個有理數(shù)、滿足、同號，求的值．解：①若、都是正數(shù)，即，，，，則；②若、都是負數(shù)，即，，有，，則，所以的值為2或．（探究）請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）兩個有理數(shù)、滿足、異號，求的值；（2）已知，，，且，求的值．【解答】解：（1）由、異號，可知：①，；②，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．綜上，的值為0；（2）、、，，，．，，，或，，．當(dāng)，，時，；當(dāng)，，時，綜上，的值為或．11．同學(xué)們都知道表示5與之差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求7．（2）找出所有符合條件的整數(shù)，使得成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【解答】解：（1）原式故答案為：7；（2）令或時，則或當(dāng)時，，，（范圍內(nèi)不成立）當(dāng)時，，，，，，，，0，1當(dāng)時，，，，，（范圍內(nèi)不成立）綜上所述，符合條件的整數(shù)有：，，，，，0，1，2；故答案為：，，，，，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數(shù)，有最小值為3．12．已知，，且，求的值．【解答】解：因為，，所以或，或．又因為，所以或，①當(dāng)，時，．②當(dāng)，時，．綜上所述：的值為或1．13．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【解答】解：由題意知：，，（1），，或4（2），，或，，，14．閱讀下列材料完成相關(guān)問題：已知，、是有理數(shù)（1）當(dāng)，時，求的值；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)，，的值．【解答】解：（1），，，；（2）當(dāng)、、同正時，；當(dāng)、、兩正一負時，；當(dāng)、、一正兩負時，；當(dāng)、、同負時，；（3），，，又，當(dāng)，，時，原式；當(dāng)，，時，原式；當(dāng)，，時，原式．15．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是3；表示和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點之間的距離是3，那么．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與2之間，則的值為；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點，使得，這些點表示的數(shù)的和是．（4）當(dāng)時，的值最小，最小值是．【解答】解：（1），，，所以，或，解得或；（2）表示數(shù)的點位于與2之間，，，；（3）使得的整數(shù)點有，，0，1，2，3，4，5，．故這些點表示的數(shù)的和是12；（4）有最小值，最小值．故答案為：3，5，或2；6；12；1；7．16．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是3；表示和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．（2）如果，那么；（3）若，，且數(shù)、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點、點，則、兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與2之間，則．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：；表示和2兩點之間的距離是：，故答案為：3，5；（2），或，或．故答案為：2或；（3），，或1，或，當(dāng)，時，則、兩點間的最大距離是8，當(dāng)，時，則、兩點間的最小距離是2，則、兩點間的最大距離是8，最小距離是2；故答案為：8，2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與2之間，．故答案為：6．17．?dāng)?shù)學(xué)實驗室：點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是．②數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為．?dāng)?shù)軸上表示和5的兩點之間的距離表示為．③若表示一個有理數(shù)，則的最小值．④若表示一個有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)的是．⑤若表示一個有理數(shù)，當(dāng)為，式子有最小值為．【解答】解：①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是，故答案為：3，4；②數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為，數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離表示為，故答案為：，；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在數(shù)軸上的幾何意義是：表示有理數(shù)的點到及到1的距離之和，所以當(dāng)時，它的最小值為4，故答案為：4；④當(dāng)時，，解得：，此時不符合，舍去；當(dāng)時，，此時或或0或1或2；當(dāng)時，，解得：，此時不符合，舍去；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故答案為：或或或0或1或2；⑤設(shè)，、當(dāng)時，，當(dāng)時，最小為：；、當(dāng)時，，當(dāng)時，最小為7；、當(dāng)時，，此時最小接近7；、當(dāng)時，，此時最小接近12；的最小值為7．故答案為：3，7．18．已知，，且，求的值．【解答】解：，，或10，或4，，，或4，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，．綜上所述，的值為0或．19．若，且，試求的值．【解答】解：因為，，所以或7，，又，所以當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．20．若，，且，求的值．【解答】解：，，，，，，，，或，所以，的值為或．21．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．現(xiàn)在我們可以用這個結(jié)論來解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，或0；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則．【解答】解：（1）已知，是有理數(shù)，當(dāng)時，①，，；②，，；③、異號，．故或0；（2）已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時，①，，，；②，，，；③、、兩負一正，；④、、兩正一負，．故或；（3）已知，，是有理數(shù)，，，則，，，、、兩正一負，則．故答案為：或0；或；．22．如果、、是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為0．【解答】解：、、為非零有理數(shù)，且、、只能為兩正一負或一正兩負．①當(dāng)、、為兩正一負時，設(shè)、為正，為負，原式，②當(dāng)、、為一正兩負時，設(shè)為正，、為負原式，綜上，的值為0，故答案為：0．23．同學(xué)們都知道：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．請你借助數(shù)軸進行以下探索：（1）數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是7，（2）數(shù)軸上表示與2的兩點之間的距離可以表示為．（3）如果，則．（4）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到和1所對應(yīng)的點的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（5）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，說明理由．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是，故答案為：7；（2）數(shù)軸上表示與2的兩點之間的距離可以表示為，故答案為：；（3），或，解得：或，故答案為：7或；（4）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到和1所對應(yīng)的點的距離之和，，這樣的整數(shù)有、、、0、1，故答案為：、、、0、1；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當(dāng)時，有最小值是3．24．我們知道，在數(shù)軸上，表示數(shù)到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上兩個點、，分別用，表示，那么、兩點之間的距離為：．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點的距離是3，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示15和的兩點之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和的兩點，之間的距離是，如果，那么是．（3）式子的最小值是．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是．?dāng)?shù)軸上表示15和的兩點之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是，如果，那么為1或．（3）表示：數(shù)軸上一點到，2和3距離的和，當(dāng)在和3之間的2時有最小值是4．故答案為：3，15，45；，1或；4．25．同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；同理也可理解為與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．試探索：（1）求6．（2）若，則（3）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到4和所對應(yīng)的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．【解答】解：（1）與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是6，．（2）表示與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是5，或7與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是5，若，則或7．（3）與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離是6，使得成立的整數(shù)是和4之間的所有整數(shù)（包括和，這樣的整數(shù)是、、0、1、2、3、4．故答案為：6；或7；、、0、1、2、3、4．26．觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點之間的距離：4與，3與5，與，與3．并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)、兩點之間的距離表示為與，在數(shù)軸上、兩點之間的距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：．（2）若數(shù)軸上的點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則與兩點間的距離可以表示為．（3）結(jié)合數(shù)軸探求的最小值是．【解答】解：（1）4與的距離：，3與5的距離：，與的距離：，與3的距離：，；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）表示數(shù)到2和兩點的距離之和，如果求最小值，則一定在2和之間，則最小值為8；故答案為：8．27．閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，．現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得，（稱，2分別為與的零點值）．在實數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體實數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：①；②；③．從而化簡代數(shù)式可分以下3種情況：（1）當(dāng)時，原式；（2）當(dāng)時，原式；（3）當(dāng)時，原式．綜上討論，原式通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1）分別求出和的零點值；（2）化簡代數(shù)式；（3）求代數(shù)式的最小值．【解答】（1）令，，解得：和，故和的零點值分別為5和4；（2）當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式．綜上討論，原式．（3）當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式．故代數(shù)式的最小值是1．28．已知非零有理數(shù)，，滿足，．（1）求的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1），，，，或，，，，；（2），，，，，．29．（1）當(dāng)時，求的值．（寫出解答過程）（2）若，，且，則的值為．（3）若，則的值為．【解答】解：（1）當(dāng)時，，則原式；當(dāng)時，，則原式；（2），，且，與異號，即，，則原式；（3），與同號，當(dāng)，時，原式；當(dāng)，時，原式．故答案為：（2）；（3）3或30．已知：有理數(shù)，，滿足，當(dāng)時，求的值．【解答】解：有理數(shù)，，滿足，，，中有一個負數(shù)或三個負數(shù)，當(dāng)，，中有一個負數(shù)時，；當(dāng)，，中有三個負數(shù)時，．31．（1）三個有理數(shù)、、滿足，求的值；（2）若、、三個不為0的有理數(shù)，且，求的值；【解答】解：（1），，，都是正數(shù)或兩個為負數(shù)，①當(dāng)，，都是正數(shù)，即，，時，則；②，，有一個為正數(shù)數(shù)，另兩個為負數(shù)時，設(shè)，，，則．故的值為3或；（2）、、為三個不為0的有理數(shù)，且，、、中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，，．32．閱讀下面材料：點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，在數(shù)軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和1兩點之間的距離是4，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示和1的兩點之間的距離為6，則表示的數(shù)為；（3）若表示一個有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【解答】解：（1）；；故答案為：4，；（2），或，即或，故答案為：7或；（3）有最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，它的最小值為6．33．我們知道：點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上兩點之間的距離，請回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和3的兩點之間的距離是4．（2）數(shù)軸上表示和2的兩點之間的距離為3，則有理數(shù)是．（3）若表示一個有理數(shù)，且，則．（4）式子的最小值為．【解答】解：（1）和3兩點之間的距離是：；故答案為：4；（2）和2的兩點之間的距離為：，，解得或；故答案為：5或；（3），，，；故答案為：7；（4）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；故答案為：4．34．已知點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為．（1）數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是5；（2）數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是；（3）若數(shù)軸上三個有理數(shù)、、滿足，，則的值為；（4）當(dāng)時，的值最小，最小值是．【解答】解：（1），故答案為：5；（2），故答案為：；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；點在，兩點之間時不符合題意，綜上的值為6或8，故答案為：6或8；（4）當(dāng)時，的最小值為7，只需要的值最小即可，此時，，當(dāng)時，的值最小，最小值是7．故答案為：1；7．35．點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是．（2）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為．（3）若表示一個有理數(shù)，且，則．（4）若，利用數(shù)軸求出的整數(shù)值為．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是；故答案為：3，5；（2）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為，故答案為：；（3）若表示一個有理數(shù)，且，則；故答案為：6；（4），，畫數(shù)軸如下：為整數(shù)，，，，0，1，2，3，4，5．故答案為：，，，0，1，2，3，4，5．36．同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對值，實際上也可理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；同理也可理解為與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．試探索：（1）求6．（2）若，則．（3）同理表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應(yīng)的點到4和所對應(yīng)的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是．（4）求：的最小值，并求出此時的值．【解答】解：（1）；故答案為：6；（2），或，或；故答案為：7或；（3），，整數(shù)是、、0、1、2、3、4；故答案為：、、0、1、2、3、4；（4）當(dāng)時，原式；當(dāng)時，；當(dāng)時，原式．所以當(dāng)時，有最小值是8．此時．37．在學(xué)習(xí)絕對值后，我們知道，表示數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點與原點的距離．如：表示5在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離，而，即表示5、0在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離．類似的有表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離：，所以表示5、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離．一般地，點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么、兩點之間的距離可表示為．請根據(jù)絕對值的意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離是5；數(shù)軸上、兩點之間的距離為3，若點表示的數(shù)是，則點表示的數(shù)是．（2）點、、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、、3，那么到的距離是；到的距離．（用含絕對值的式子表示）（3）若，則的值為．（4）若，則的取值范圍值為．【解答】解：（1），設(shè)點所表示的數(shù)為，由題意得，，或，解得或，即點所表示的數(shù)為1或，故答案為：5，1或；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的計算方法可知，到的距離是，到的距離是，故答案為：，；（3）所表示的意義為：數(shù)軸上表示數(shù)的點，到表示數(shù)3和兩點距離之和，而時，當(dāng)時，有，解得，當(dāng)時，有，解得，故答案為：5或；（4），即數(shù)軸上表示數(shù)的點，到表示數(shù)3和兩點距離之和為7，而3與之間的距離為7，所以數(shù)軸上表示的點，在數(shù)軸上表示3和之間即可，的取值范圍為：，故答案為：．38．如圖，點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上、兩點之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和5兩點之間的距離是