2021屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖、表面積和體積學(xué)案理

.第1講空間幾何體的三視圖、外表積和體積高考定位1.三視圖的識別和簡單應(yīng)用；2.簡單幾何體的外表積與體積計算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計算作為其中的一問.真題感悟國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.假設(shè)那么咬合時帶卯如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析由題意知，在咬合時帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.答案A2.(2021·全國Ⅰ卷)圓柱的上、下底面的中得的截面是面積為8的正方形，那么該圓柱的外表積為()22心分別為O，O，過直線OO的平面截該圓柱所1212解析因?yàn)檫^直線OO的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為1222，底面圓的直徑為22.所以S＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.外表積答案B3.(2021·天津卷)正方體ABCD－ABCD的棱長為1，除面ABCD外，該1111正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，那么四棱錐M－EFGH的體積為________.解析連接AD，CD，BA，BC，AC，因?yàn)镋，H分別為AD，CD的中點(diǎn)，11111111點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC.所以EH2所以EH∥AC，EH＝AC.因?yàn)镕，G分別為BA，BC的中211∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGFM到下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.212111平面EHGF的距離為，所以四棱錐M－EFGH的體積為××＝.2322121答案124.(2021·全國Ⅰ卷)三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球OSCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，那么球O的外表積為________.解析如圖，連接OA，OB，因?yàn)镾A＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC.因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA?平面SAC，所以O(shè)A⊥平面SBC.設(shè)球的半徑為r，那么OA＝OB＝r，SC＝2r，1111所以V＝×S×OA＝××2r×r×r＝r3，3323A－SBC△SBC1所以r3＝9?r＝3，所以球的外表積為4πr2＝36π.3答案36π考點(diǎn)整合(1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對正、高平齊、寬相等.(2)由三視圖復(fù)原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體.(1)柱體、錐體、臺體的外表積公式：外表積S＝2πr(r＋l)；外表積S＝πr(r＋l)；外表積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；外表積S＝4πR2.和球的體積公式：①圓柱的②圓錐的③圓臺的④球的(2)柱體、錐體①V＝Sh(S為底面面積，h為高)；柱體1②V＝Sh(S為底面面積，h為高)；錐體34③V＝πR3.球3下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1)(2021·蘭州模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著?九章算術(shù)?中，將底面是直角三角形的直正視圖和俯視圖如下圖，棱柱稱為“塹堵〞.某“塹堵〞的那么該“塹堵〞的側(cè)視圖的面積為()2(2)(2021·全國ⅠM在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱外表上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，那么在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()17B.25C.3解析(1)在俯視圖Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三視圖的意義，那么BH＝6，HC＝3，根據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，∴AH＝32.易知該“塹堵〞的側(cè)視圖是矩形，長為6，寬為AH＝32.故側(cè)視圖的面積S＝6×32＝182.(2)由三視圖可知，該幾何體側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，那么MS＝2，SNM到N的路徑中，度為MS2＋SN2＝22＋42＝25.為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的最短路徑的長答案(1)C(2)B探究提高1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)那么確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練1】(1)如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD－ABCD中，點(diǎn)P是平面1111ABCD內(nèi)一點(diǎn)，那么三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()1111A.1B.2C.3(2)(2021·北京卷)某四棱錐的三視圖如下圖，那么該四棱錐的最長棱的長度為()2B.232解析(1)設(shè)點(diǎn)P在平面AADD的射影為P′，在平面CCDD的射影為1111P″，如下圖.∴三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖因此所求面積S＝S＋S分別為△P′AD與△P″CD，△P′AD△P″CD11＝2×1×2＋2×1×2＝2.(2)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P－ABCDPD，PD＝22＋22＋22＝23.答案(1)B(2)B熱點(diǎn)二幾何體的外表積與體積考法1空間幾何體的外表積【例2－1】(1)(2021·全國Ⅰ卷)某多面體的三視圖如下圖，其中正視下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有假設(shè)干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10C.14B.12(2)(2021·西安模擬)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為()A.20πB.24πC.28π解析(1)由三視圖可畫出直觀圖，該直1的面，S＝×(2＋4)×2＝6，S＝6×2＝12.全梯(2)由三視圖知，該幾何體由一圓錐和一個圓柱構(gòu)成的組合體，∵S＝π×3×32＋42＝15π，S＝2π×1×2＝4π，S＝π×32圓錐側(cè)圓柱側(cè)圓錐底＝9π.故幾何體的外表積S＝15π＋4π＋9π＝28π.答案(1)B(2)C探究提高1.由幾何體的三視圖：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大??；(2)復(fù)原幾何體的直外表積是各個面的面積之和；組合體的求其外表積觀圖，套用相應(yīng)的面積公式.2.(1)多面體的外表積注意銜接局部的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的外表積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.28π【訓(xùn)練2】(1)(2021·全國Ⅰ，那么它的外表積是()3下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.A.17πB.18πC.20π(2)(2021·煙臺二模)某幾何體的三視圖如下圖，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，那么幾何體的外表積為()A.3π＋42－2B.3π＋22－23πC.2＋22－23πD.2＋22＋2解析(1)由題知，該幾何體的直觀圖如下圖，它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面)切掉左上角的后得到的組合體，其外表積是球18717易得球的半徑為2，那么得S＝8×4π×22面面積的8和三個4圓面積之和，1＋3×4π×22＝17π.(2)由三視圖，該幾何體是一個半圓柱挖去一直三棱柱，由對稱性，幾何體的底面面積S底＝π×12－(2)2＝π－2.1∴幾何體外表積S＝2(2×2)＋(2π×1×2)＋S2底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2.答案(1)A(2)A考法2空間幾何體的體積【例2－2】(1)(2021·河北衡水中學(xué)調(diào)研)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.22C.320D.3A.6B.41(2)由一個長方體和兩個圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，那么該幾何體的體積為4________.1解析(1)V＝23－×2×2×1＝6.2(2)該幾何體由一個長、寬、高分別為2，1，1的長方體和兩個底面半徑1為1，高為1的圓柱體構(gòu)成.41π2所以V＝2×1×1＋2××π×1×1＝2＋.24π答案(1)A(2)2＋2探究提高1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原那么是其高易求，底面放在幾何體的某一面上.2.求不規(guī)那么幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)那么幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)那么幾何體以易于求解.【訓(xùn)練3】(1)(2021·江蘇卷)如下圖，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________.下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.(2)(2021·北京燕博園質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為()16A.8π－316B.4π－38D.4π＋3C.8π－4解析(1)正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面14體的所有棱長都是2.那么該正八面體的體積為×(2)2×1×2＝3.3111(2)該圖形為一個半圓柱中間挖去一個四面體，∴體積V＝2π×22×4－3×2×2×4×4＝8π16－3.4答案(1)3(2)A熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問題【例3】(2021·全國Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－ABC內(nèi)有一個體積為VAB⊥BC，AB＝6，111BC＝8，AA＝3，那么V的最大值是()19πB.232π3A.4πC.6πD.解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.那么球與直三棱柱的局部面相切，假設(shè)球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面11那么2×6×8＝2×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.3493由2R＝3，即R＝2.故球的最大體積V＝πR＝π.32答案B【遷移探究1】假設(shè)本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC－ABC的6個頂點(diǎn)都在球O的球面111上〞，假設(shè)AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA＝12，求球O的外表積.1解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC－ABEC，1111那么球O是長方體ABEC－ABEC的外接球.1111∴體對角線BC的長為球O的直徑.1因此2R＝32＋42＋122＝13.故S＝4πR2＝169π.球【遷移探究2】假設(shè)將題目的條件變?yōu)椤叭缦聢D是一個幾何體的三視圖〞試求該幾何體外接球的體積.解該幾何體為四棱錐，如下圖，設(shè)正方形ABCD的中心為O，連接OP.由三視圖，PH＝OH＝1，那么OP＝OH2＋PH2＝2.又OB＝OC＝OD＝OA＝2.∴點(diǎn)O為幾何體外接球的球心，482那么R＝2，V＝3πR＝3π.3球探究提高1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)〞、“接點(diǎn)〞作出截面圖，把空間問題化歸為面平問題.P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練4】(2021·廣州三模)三棱錐P－ABC中，面平PAC⊥面平ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，那么三棱錐P－ABC的外接球的外表積為()下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.23B.4π64D.3πA.23πC.64π解析如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為ACPAC⊥平面ABC.那么O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，那么交22323OP，又O′P＝PH＝××2＝，332點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接3416OO′＝DH＝12AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.3364故幾何體外接球的外表積S＝4πR2＝π3.答案D(1)對于規(guī)那么幾何體，可直接利用公式計算.(2)對于不規(guī)那么幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(3)求解旋轉(zhuǎn)體的外表積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.(4)求解幾何體的外表積時要注意S＝S＋S表側(cè)底.關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球2.球的簡單組合體中幾何體度量之間的、內(nèi)切球、棱切3a2球的半徑分別為a，，a.22211體體積中，不能漏掉3.V＝Sh，在求解錐3一、選擇題1.“牟合方蓋〞是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全一樣的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其過程中構(gòu)造的直觀圖如圖，圖中四邊形是為表達(dá)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全一樣時，它的俯視圖可能是()下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.解析由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半局部相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線，因此，選項B可以是幾何體的俯視圖.答案B2.(2021·北京卷)某四棱錐的三視圖如下圖，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A.1B.2C.3解析在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P－ABCD，如圖，四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為3，是△PAD，由圖可知在此△PCD，△PAB.答案C3.(2021·湖南師大附中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A.8(π＋4)C.16(π＋4)B.8(π＋8)D.16(π＋8)解析由三視圖復(fù)原原幾何體如右圖：該幾何體為兩個空心半圓柱相切，半圓柱的半徑為2，母線長為4，左右為邊長是4的正方形.∴該幾何體的外表積為2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.答案B4.(2021·全國Ⅲ卷)圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，那么該圓柱的體積為()3πB.4πC.2πD.4A.π1為OM＝2.233∴底面圓半徑r＝OA2－OM2＝2，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·23π×1＝4.答案B5.(2021·北京燕博園押題)某幾何體的三視圖如下圖，三個視圖中的曲線都是圓弧，那么該幾何體的體積為()4πA.35πB.37πC.611π6D.11解析由三視圖可知，該幾何體是由半個圓柱與8個球組成的組合體，其體積為2×π×12×314π5π＋××13＝3.83答案B6.(2021·全國Ⅲ卷)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.角形且其面積為93，那么三棱錐D－ABC體積的最大值為()3B.183331解析設(shè)等邊△ABC的邊長為x，那么x2sin60°＝93，得x△ABC的外接圓半徑為r，那26么2r＝，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝42－〔23〕2＝2，sin60°那么點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d＝d111D－ABC體積的最大值V＝S×6＝×93×6＝183.33max△ABC答案B二、填空題7.(2021·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如下圖(單位：cm)，那么該幾何體的體積(單位：cm3)為________.解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V1＝2×(1＋2)×2×2＝6.答案68.(2021·鄭州質(zhì)檢)長方體ABCD－ABCD內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E1111為AA的中點(diǎn)，OA⊥平面BDE，那么球O的外表積為________.1解析取BD的中點(diǎn)為O，連接OO，OE，OE，OA，1111那么四邊形OOAE為矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO，即四邊形OOAE為正方形，那么球111O的半徑R＝OA＝2，∴球O的外表積S＝4π×22＝16π.答案16π9.(2021·武漢模擬)某幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖的輪廓是底邊為23，高為1的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，側(cè)視圖是個半圓.那么該幾何體的體積為________.下載后可自行編輯修改，頁腳下載后可刪除。.解析由三視圖知，幾何體是由兩個大小一樣的半圓錐的組合體.其中r＝1，高h(yuǎn)＝3.131×3＝π.23故幾何體的體積V＝π×33答案π3三、解答題10.在三棱柱ABC－ABC中，側(cè)面AACC⊥底面ABC，AA＝AC1111111＝AC＝AB＝BC＝2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn).(1)證明：AO⊥平面