浙江省金華市東陽市外國語學(xué)校東陽中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

東陽外國語高一下數(shù)學(xué)五月檢測(cè)卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再求并集.【詳解】因?yàn)?所以.故選：B2.某校高一年級(jí)有180名男生，150名女生，學(xué)校想了解高一學(xué)生對(duì)文史類課程的看法，用分層抽樣的方式，從高一年級(jí)學(xué)生中抽取若干人進(jìn)行訪談.已知在女生中抽取了30人，則在男生中抽取了（）A.18人 B.36人 C.45人 D.60人【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出抽樣比，即可計(jì)算出男生中抽取了多少人.【詳解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽樣比為：，抽取男生人數(shù)為：.故選：B.3.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且=，則B=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)正弦定理可得,由已知可得,整理可得,,在中.故C正確.考點(diǎn)：1正弦定理;2余弦定理.4.已知不重合的直線和平面，，，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【詳解】a⊥b可得兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直α⊥β，平面垂直α⊥β可得兩平面的法向量垂直a⊥b，故選C．5.若均為正數(shù)，且，則的最小值等于（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值等于.故選：B6.如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h(yuǎn)為（）A.3 B.4 C. D.6【答案】A【解析】【分析】利用兩個(gè)圖形裝水的體積相等即可求解.【詳解】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.7.某校高三年級(jí)在迎新春趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上設(shè)置了一個(gè)三分線外定點(diǎn)投籃比賽項(xiàng)目，規(guī)則是：每人投球5次，投中一次得1分，沒投中得0分，且連續(xù)投中2次額外加1分，連續(xù)投中3次額外加2分，連續(xù)投中4次額外加3分，全部投中額外加5分．某同學(xué)投籃命中概率為，則該同學(xué)投籃比賽得3分的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】討論得3分的情況，結(jié)合條件概率乘法公式與互斥事件的加法公式即可求解．【詳解】該同學(xué)投籃比賽得3分的情況有為：①第一、三、五次分別投中，第二、四次都沒有投中，概率為；②第一、二次連續(xù)兩次投中，其它三次都沒有投中，概率為：；③第二、三次連續(xù)兩次投中，其它三次都沒有投中，概率為：；④第三、四次連續(xù)兩次投中，其它三次都沒有投中，概率為：；⑤第四、五次連續(xù)兩次投中，其它三次都沒有投中，概率為：．該同學(xué)投籃比賽得3分的概率為：．故選：C．8.在中，點(diǎn)滿足，且所在直線交邊于點(diǎn)，有，，，則的值為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量和角平分線的概念分析可得點(diǎn)為三角形內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是的角平分線，又因?yàn)樗谥本€交邊于點(diǎn)，且，所以是的角平分線，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，由可得，由題意作圖，如圖所示，分別為圓與三角形三邊的切點(diǎn)，由三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分）9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的實(shí)部為1C.的共輒復(fù)數(shù)是 D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】AB【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的求法可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷C；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.詳解】，；的實(shí)部為；的共輒復(fù)數(shù)為；在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限.故A、B正確，C、D不正確.故選：AB.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】AC【解析】【分析】利用的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可求出的值，從而得出的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得，，因?yàn)?，所以，所以，?duì)于A：，所以為奇函數(shù)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：時(shí)，，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)；故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，又因?yàn)椋缘淖钚≈禐榘雮€(gè)周期，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC11.正方體ABCD的棱長(zhǎng)為a，E在棱上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，則（）A.側(cè)面中不存在直線與DE垂直B.平面與平面ABCD所成二面角為C.E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，上存在點(diǎn)P，使BC∥平面AEPD.P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積不變【答案】BCD【解析】【分析】由線垂直于面，則線垂直于面內(nèi)的任意一條線，可判斷A選項(xiàng)，由二面角的定義找到平面與平面ABCD所成二面角，可判斷B選項(xiàng)，由線面平行的判定定理可以找到點(diǎn)P，可判斷C選項(xiàng)，由線面平行的判定定理可得E到平面的距離為定值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，E棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE平面，連接，，則⊥平面，∴，A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，平面A1DE與平面ABCD所成二面角即為，B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，BC∥AD，∴BC∥面AED，∴當(dāng)P是A1C與平面AED的交點(diǎn)時(shí)，BC//平面AEP，C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，連接BC1與B1C交于O，連接PO，則在中，PO∥A1B1，又∵PO?平面，平面PBC1，∴A1B1∥平面，∴E到平面的距離為定值.三棱錐體積不變，D正確.故選：BCD12.已知分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點(diǎn)得到點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)可判斷A、B選項(xiàng)；結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)可以判斷C選項(xiàng)；利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，分別是函數(shù)，的零點(diǎn)，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，點(diǎn)，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對(duì)稱，的圖像也關(guān)于的圖像對(duì)稱，所以點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，故AB正確；由反函數(shù)的性質(zhì)可得，因?yàn)閱握{(diào)遞增，，所以，所以，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，因?yàn)椋?，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則=______，=_______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值定義和齊次式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，.故答案為：2；4.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值定義，齊次式求值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14.已知，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式，即可求解.【詳解】，，向量在方向上的投影向量為，所以投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.15.如圖，在四面體ABCD中，和都是等腰直角三角形，，，平面，則四面體ABCD外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn),連接，通過已知條件可以判斷出N為四面體ABCD外接球的球心，進(jìn)而可求四面體ABCD外接球的表面積.【詳解】如下圖所示，取中點(diǎn),連接.在等腰直角中，，，，在等腰直角中，，,又平面，,即N為四面體ABCD外接球的球心，，則四面體ABCD外接球的表面積為.故答案為：16.如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個(gè)三角形的綠化區(qū)域，其三個(gè)頂點(diǎn)為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點(diǎn)，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．【答案】①.##②.【解析】【分析】在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】在中，由余弦定理得，則根據(jù)正弦定理有所以，；設(shè)則在中，由正弦定理得在中，由正弦定理得則；令則則易知分母且是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，則是一個(gè)單調(diào)遞減的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，．故答案為：；.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】【分析】分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.18.在中，，，，D是邊BC上一點(diǎn)，，設(shè)，．（1）試用，表示；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【小問1詳解】∵D是邊BC上一點(diǎn)，，∴，又∵，，得，∴．【小問2詳解】∵，，，∴，．19.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面積；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）方法一：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得，的面積；（2）[方法一]：多角換一角，，，.[方法二]：正弦角化邊由正弦定理及得．故．由，得．又由余弦定理得，所以，解得．所以．【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.20.為了選擇奧賽培訓(xùn)對(duì)象，今年月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參加競(jìng)賽的同學(xué)中，選取名同學(xué)將其成績(jī)分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）利用組中值估計(jì)本次考試成績(jī)的平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第百分位數(shù)是多少；（3）已知學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀?良好?一般三個(gè)等級(jí)，其中成績(jī)不小于分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第組和第組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取人，求所抽取的人中至少人成績(jī)優(yōu)秀的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法直接計(jì)算可得結(jié)果；（2）首先確定第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，由可求得結(jié)果；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出第五組和第六組的人數(shù)，利用列舉法列舉出所有可能的基本事件，并確定滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知平均數(shù).【小問2詳解】成績(jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，第百分位數(shù)為.【小問3詳解】第組的人數(shù)為：人，可記為；第組的人數(shù)為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中至少人成績(jī)優(yōu)秀的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；至少人成績(jī)優(yōu)秀的概率.21.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.（1）求證：；（2）若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到；（2）幾何法：通過面面垂直作過二面角的平面角，通過幾何計(jì)算求解；空間向量法：建立坐標(biāo)系用空間向量求解.【小問1詳解】底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.【小問2詳解】解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，則面，又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.作，因平面平面，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，所以，因?yàn)?，所以，所?所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，如圖，建立直角坐標(biāo)系：為原點(diǎn)，為軸方向，軸.因?yàn)槠矫妫缘降酌娴木嚯x也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，在空間直角坐標(biāo)系中：，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，，取設(shè)平面的法向量