赫爾默特方差分量估計

赫爾默特方差分量估計我們懂得，平差前觀測值向量的方差陣一般是未知的，因此平差時隨機模型都是使用觀測值向量的權陣。而權確實定往往都是采用經(jīng)驗定權，也稱為隨機模型的驗前估計，對于同類觀測值可按第一章簡介的常用定權措施定權；對于不一樣類的觀測值，就很難合理地確定各類觀測值的權。為了合理地確定不一樣類觀測值的權，可以根據(jù)驗前估計權進行預平差，用平差后得到的觀測值改正數(shù)來估計觀測值的方差，根據(jù)方差的估計值重新進行定權，以改善第一次平差時權的初始值，再根據(jù)重新確定的觀測值的權再次進行平差，如此反復，直到不一樣類觀測值的權趨于合理，這種平差措施稱為驗后方差分量估計。此概念最早由赫爾默特（）在1924年提出，因此又稱為赫爾默特方差分量估計。一、赫爾默特方差分量估計公式為推導公式簡便起見，設觀測值由兩類不一樣的觀測量構成，不一樣類觀測值之間認為互不有關，按間接平差時的數(shù)學模型為（函數(shù)模型） （8-4-1）（隨機模型） （8-4-2）其誤差方程為權陣 （8-4-3）權陣 （8-4-4）作整體平差時，法方程為 （8-4-5）式中一般狀況下，由于第一次給定的權、是不恰當?shù)?，或者說它們對應的單位權方差是不相等的，設為和，則有 （8-4-6）但只有才認為定權合理。方差分量估計的目的就是根據(jù)事先初定的權、進行預平差，然后運用平差后兩類觀測值的、來求估計量，再根據(jù)（8-4-6）式求出，由這個方差估值再重新定權，再平差，直到為止。為此需要建立、與估計量之間的關系式。由數(shù)理記錄知識可知，若有服從任一分布的q維隨機變量，已知其數(shù)學期望為，方差陣為，則向量的任一二次型的數(shù)學期望可以體現(xiàn)為： （8-4-7）式中為任意q階的對稱可逆陣?，F(xiàn)用向量替代上式中的向量，則其中的應換為，應換為，陣可以換成權陣，于是有 （8-4-8）前面已經(jīng)證明，于是有： （8-4-9）而對上式應用協(xié)因數(shù)傳播律得將代入上式，整頓后得將上式代入（8-4-9）式，得顧及矩陣跡的性質，上式可寫為同理可得去掉上面兩式的期望符號，對應的單位權方差也改用估值符號表達，整頓次序后得 （8-4-10） （8-4-11）其矩陣形式可寫為 （8-4-12） （8-4-13）式中（8-4-12）、（8-4-13）兩式即為赫爾默特方差分量估計的嚴密公式。由此式可以求得兩類觀測值的單位權方差估值，從而可以根據(jù)（8-4-6）式求得觀測值方差的估值，以此方差估值再次定權，再次平差，直至滿足規(guī)定為止?，F(xiàn)將以上推導擴展至m組觀測值。誤差方程為令則得參數(shù)的估值為按照上述類似的推導，則有去掉期望符號，對應的單位權方差也改為用估值符號，則有 （8-4-14）式中二、計算環(huán)節(jié)1.將觀測值分類，并進行驗前權估計，即確定各類觀測值的權的初值；2.進行第一次平差，求得；3.按（8-4-14）式求各類觀測值單位權方差估值；4.按（8-4-6）式計算各類觀測值方差的估值；5.根據(jù)定權公式再次定權，再次平差，如此反復，直到各類單位權方差的估值相等或靠近相等為止。秩虧自由網(wǎng)平差在前面簡介的經(jīng)典平差中，都是以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎，將控制網(wǎng)固定在已知數(shù)據(jù)上。如水準網(wǎng)必須至少已知網(wǎng)中某一點的高程，平面網(wǎng)至少要已知一點的坐標、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時，我們稱其為自由網(wǎng)，本節(jié)將簡介網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)時的平差措施，即自由網(wǎng)平差。在經(jīng)典間接平差中，網(wǎng)中具有必要的起算數(shù)據(jù)，誤差方程為 （8-2-1）式中系數(shù)陣為列滿秩矩陣，其秩為。在最小二乘準則下得到的法方程為 （8-2-2）由于其系數(shù)陣的秩為，所認為滿秩矩陣，即為非奇異陣，具有凱利逆，因此具有唯一解，即 （8-2-3）當網(wǎng)中無起算數(shù)據(jù)時，網(wǎng)中所有點均為待定點，設未知參數(shù)的個數(shù)為u，誤差方程為 （8-2-4）式中為必要的起算數(shù)據(jù)個數(shù)。盡管增長了個參數(shù)，但的秩仍為必要觀測個數(shù)，即其中為不滿秩矩陣，稱為秩虧陣，其秩虧數(shù)為。構成法方程 （8-2-5）式中，且，因此也為秩虧陣，秩虧數(shù)為： （8-2-6）由上式知，不一樣類型控制網(wǎng)的秩虧數(shù)就是經(jīng)典平差時必要的起算數(shù)據(jù)的個數(shù)。即有：在控制網(wǎng)秩虧的狀況下，法方程有解但不唯一。也就是說僅滿足最小二乘準則，仍無法求得的唯一解，這就是秩虧網(wǎng)平差與經(jīng)典平差的主線區(qū)別。為求得唯一解，還必須增長新的約束條件，來到達求唯一解的目的。秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差措施。下面將推導自由網(wǎng)平差常用兩種解法的有關計算公式。一、直接解法根據(jù)廣義逆理論，相容方程組雖然具有無窮多組解，但它有唯一的最小范數(shù)解，即： （8-2-7）式中，稱為矩陣的最小范數(shù)g逆。稱為矩陣的g逆。代入（8-2-7）式得 （8-2-8）上式就是根據(jù)廣義逆理論直接求解參數(shù)的唯一最小范數(shù)解的公式。由于廣義逆計算較為復雜，下面將公式做深入改化：令 （8-2-9） （8-2-10）式中行滿秩，即，于是有 （8-2-11）而，所認為滿秩方陣，按照降階法求矩陣廣義逆的措施，即：假如有矩陣其中存在凱利逆，則有的g逆 （8-2-12）根據(jù)上式可得 （8-2-13）代入（8-2-8）式，得 （8-2-14）或寫成 （8-2-15）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為： （8-2-16）二、附加條件法（偽觀測值法）前面已提及，秩虧自由網(wǎng)平差就是在滿足最小二乘和最小范數(shù)的條件下，求參數(shù)一組最佳估值的平差措施，實際上就是求相容方程組的最小范數(shù)解。附加條件法的基本思想：由于網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)，平差時多選了d個未知參數(shù)，因此在u個參數(shù)之間必然滿足d個附加條件式，即在原平差函數(shù)模型中需要加入d個未知參數(shù)間的限制條件方程，從而可以按附有條件的間接平差法求解。問題的關鍵是怎樣導出等價于的限制條件方程的詳細形式。為論述以便，我們先給出該限制條件方程，然后再推導平差計算公式，最終證明，在給定的限制條件方程下所求得的解，就是相容方程組的最小范數(shù)解。設等價于約束條件的限制條件方程為 （8-2-17）式中且滿足稱為附加陣。故秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為權陣為按照附有條件的間接平差可得法方程 （8-2-18）式中，且，唯一不一樣的是這里為秩虧陣。為處理秩虧問題，將（8-2-18）中的第二式左乘矩陣后，再加到第一組中得： （8-2-19）式中，且根據(jù)附有條件的間接平差原理，上式的解為 （8-2-20） （8-2-21）由于上述解是通過增長未知參數(shù)間滿足的d個附加條件，按照附有條件的間接平差法而實現(xiàn)的，因此人們把此法稱為附加條件法。但它又不一樣于經(jīng)典的附有條件的間接平差法，其重要體現(xiàn)為：當陣滿足時，必然有下式成立（證明從略） （8-2-22）將（8-2-22）式代入（8-2-21）式，可得參數(shù)的解為 （8-2-23）目前只需證明，按（8-2-23）式求得的解就是法方程的最小范數(shù)解。為此只需證明是的最小范數(shù)g逆中的一種即可，即只需證明滿足如下兩式： （8-2-24）現(xiàn)證明如下：由于，因此有右乘陣并展開，則有而，因此有 （8-2-25）由于，存在逆陣，則有 （8-2-26）因此有 （8-2-27） （8-2-28）因此（8-2-24）第一式得到驗證。由（8-2-27）式得考慮到（8-2-26）式，則上式為 （8-2-29）（8-2-28）、（8-2-29）兩式闡明是的最小范數(shù)g逆中的一種，因此按（8-2-23）式求得的一定是相容方程組的最小范數(shù)解。三、精度評估單位權中誤差估值的計算 （8-2-30）式中可以直接計算，也可以按下式求得 （8-2-31）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為 （8-2-32）實際計算時，一般要對進行原則化，設原則化后的陣用表達，即不僅規(guī)定滿足，還規(guī)定滿足，此時（8-2-26）式變成，轉置后有，因此（8-2-32）式將變成如下形式 （8-2-33）四、兩點闡明=1*GB3①若將代入法方程，則法方程變?yōu)樯鲜较喾Q于下列誤差方程聯(lián)合構成的法方程上式的第一式為觀測值的誤差方程，第二式可以看作是為求最小范數(shù)解而人為增設的d個虛擬誤差方程，因此附加條件法又叫偽觀測值法。=2*GB3②該措施的特點就是用求凱利逆替代了求廣義逆，因此便于計算和計算機編程，但首要條件是必須懂得附加陣，有關附加陣確實定問題，本教材不準備作詳細討論，下面直接給出常見控制網(wǎng)的附加陣及其原則化后的矩陣的詳細形式：水準網(wǎng)（設有